2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第二章　§2.2　函数的单调性与最值含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第二章§2.2函数的单调性与最值§2.2函数的单调性与最值课标要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值常用结论1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的单调性相反．4．复合函数的单调性：同增异减．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上单调递增．(×)(2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3)．(×)(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．(√)(4)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)2．下列函数中，在其定义域上是减函数的是()A．y＝－2x＋1 B．y＝x2＋1C．y＝eq\r(x) D．y＝2x答案A解析y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确；y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；y＝eq\r(x)在[0，＋∞)上是增函数，故C错误；y＝2x在R上是增函数，故D错误．3．(2023·宜春统考)函数y＝－eq\f(1,x＋1)在区间[1,2]上的最大值为()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(1,2)C．－1 D．不存在答案A解析y＝－eq\f(1,x＋1)在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－eq\f(1,x＋1)在区间[1,2]上单调递增，所以ymax＝－eq\f(1,2＋1)＝－eq\f(1,3).4．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))解析∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，∴2x－1≥0，即x≥eq\f(1,2)，又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，∴2x－1<eq\f(1,3)，即x<eq\f(2,3)，则x的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))).题型一确定函数的单调性命题点1函数单调性的判断例1(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝x－eq\f(1,x) B．y＝|x2－2x|C．y＝2x＋2cosx D．y＝lg(x＋1)答案ACD解析∵y＝x与y＝－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；∵y′＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx是R上的增函数，故C正确；函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．命题点2利用定义证明函数的单调性例2试讨论函数f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解方法一定义法设－1<x1<x2<1，因为f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，所以f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq\f(ax2－x1,x1－1x2－1)，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．方法二导数法f′(x)＝eq\f(ax′x－1－axx－1′,x－12)＝eq\f(ax－1－ax,x－12)＝－eq\f(a,x－12).故当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法．(2)导数法．(3)图象法．(4)性质法．跟踪训练1(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．[1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)答案B解析g(x)＝x·|x－1|＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1，x≥1，,－x2＋x＋1，x<1，))画出函数图象，如图所示，根据图象知，函数的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝的单调递增区间为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))解析令t＝2x2－3x－2>0，解得x>2或x<－eq\f(1,2)，则f(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(2，＋∞)，由f(t)＝在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(2023·湘潭统考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0，则()A．f(－2)<f(3)<f(4)B．f(－2)>f(3)>f(4)C．f(3)<f(4)<f(－2)D．f(4)<f(－2)<f(3)答案A解析因为对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)<f(3)<f(4)，又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)<f(3)<f(4)．命题点2求函数的最值例4(2023·四川外国语大学附中模拟)函数f(x)＝x－eq\f(2,x)＋1在[1,4]上的值域为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(9,2))) B．[0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(9,2)))答案C解析由y＝x在[1,4]上单调递增，且y＝eq\f(2,x)在[1,4]上单调递减，可得f(x)＝x－eq\f(2,x)＋1在[1,4]上单调递增，又f(1)＝0，f(4)＝eq\f(9,2)，故值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,2))).求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．(3)数形结合法．(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”．(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式．典例(多选)下列函数中，值域正确的是()A．当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6)B．函数y＝eq\f(2x＋1,x－3)的值域为RC．函数y＝2x－eq\r(x－1)的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞))D．函数y＝eq\r(x＋1)＋eq\r(x－1)的值域为[eq\r(2)，＋∞)答案ACD解析对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．对于B，(分离常数法)y＝eq\f(2x＋1,x－3)＝eq\f(2x－3＋7,x－3)＝2＋eq\f(7,x－3)，显然eq\f(7,x－3)≠0，∴y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．对于C，(换元法)设t＝eq\r(x－1)，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋eq\f(15,8)，由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)).对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，∵y＝eq\r(x＋1)与y＝eq\r(x－1)在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝eq\r(x＋1)＋eq\r(x－1)在[1，＋∞)上为增函数，∴当x＝1时，ymin＝eq\r(2)，即函数的值域为[eq\r(2)，＋∞)．命题点3解函数不等式例5函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．答案[－1,1)解析依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2，,－2≤2a≤2，,a＋1>2a))⇒－1≤a<1.所以实数a的取值范围是[－1,1)．命题点4求参数的取值范围例6(2024·恩施模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,x2－ax＋6，x≥1))满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围是()A．[2，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) D．[1,2]答案C解析对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，所以函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,x2－ax＋6，x≥1))在R上是增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1>0，,\f(a,2)≤1，,3a－1＋4a≤1－a＋6，))解得eq\f(1,3)<a≤1，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).思维升华(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx＋1，x≥0，,－2x2，x<0，))则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是()A．(－2,1)B．(0,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(1，＋∞)答案C解析由函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx＋1，x≥0，,－2x2，x<0))的图象(图略)可得f(x)在R上是增函数，则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2，则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．(2)若函数f(x)＝eq\f(x＋a－3,x－1)在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案[1,2)解析f(x)＝eq\f(x＋a－3,x－1)＝eq\f(x－1＋a－2,x－1)＝1＋eq\f(a－2,x－1)，∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,a≥1))⇒1≤a<2.课时精练一、单项选择题1．(2023·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是()A．y＝－x2＋1 B．y＝eq\r(x)C．y＝eq\f(1,x) D．y＝3－x答案B解析y＝－x2＋1在区间(0,1)上单调递减，故A不符合题意；y＝eq\r(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以在区间(0,1)上单调递增，故B符合题意；y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0,1)上单调递减，故C不符合题意；y＝3－x在区间(0,1)上单调递减，故D不符合题意．2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[0,2] D．[0，＋∞)答案B解析∵y＝|x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2，,－x＋2，x<2，))∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)．3．(2024·邵阳统考)已知f(x)是偶函数，f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小关系为()A．f(1)>f(－2)>f(－3)B．f(－2)>f(－3)>f(1)C．f(－3)>f(1)>f(－2)D．f(－3)>f(－2)>f(1)答案D解析因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．因为f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(3)>f(2)>f(1)，所以f(－3)>f(－2)>f(1)．4．已知函数f(x)＝eq\f(2x,x－1)，则f(x)在区间[2,6]上的最大值为()A.eq\f(12,5)B．3C．4D．5答案C解析∵f(x)＝eq\f(2x,x－1)＝2＋eq\f(2,x－1)在[2,6]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝4.5．(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝x＋lnx－1，则不等式f(x)<0的解集为()A．(e，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0,1) D．(0，＋∞)答案C解析函数f(x)＝x＋lnx－1的定义域为(0，＋∞)．因为y＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x＋lnx－1在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝1＋ln1－1＝0，所以不等式f(x)<0的解集为(0,1)．6．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>－1，则下列说法正确的是()A．y＝f(x)＋x是增函数B．y＝f(x)＋x是减函数C．y＝f(x)是增函数D．y＝f(x)是减函数答案A解析不妨令x1<x2，∴x1－x2<0，∵eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2，令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)，又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数．二、多项选择题7．下列说法中，正确的是()A．若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，则y＝f(x)在I上单调递增B．函数y＝x2在R上是增函数C．函数y＝－eq\f(1,x)在定义域上是增函数D．函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)答案AD解析对于A，若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，则有f(x1)<f(x2)，由函数单调性的定义可知y＝f(x)在I上单调递增，故A正确；对于B，由二次函数的性质可知，y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；对于C，由反比例函数单调性可知，y＝－eq\f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，故C错误；对于D，由反比例函数单调性可知，y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故D正确．8．(2023·广州联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝eq\f(fx,x)在区间[1，＋∞)上一定()A．单调递减 B．单调递增C．有最小值 D．有最大值答案BC解析∵函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，∴函数图象的对称轴应当位于区间(－∞，1)内，∴a<1，g(x)＝eq\f(fx,x)＝x＋eq\f(a,x)－2a(x≥1)，任取1≤x1<x2，g(x1)－g(x2)＝x1＋eq\f(a,x1)－x2－eq\f(a,x2)＝x1－x2＋eq\f(ax2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\f(x1x2－a,x1x2)，由a<1,1≤x1<x2，有x1－x2<0，x1x2>1>0，x1x2－a>0，则g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)，所以g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2a在区间[1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为g(1)＝1－a，无最大值．三、填空题9．函数f(x)＝eq\r(－x2＋2x＋3)的单调递增区间为______．答案[－1,1]解析要使函数f(x)有意义，则－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根据复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,1]．10．(2023·松原联考)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(3x－1)<f(1－x)的解集为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析函数y＝2x与y＝－2－x均在R上是增函数，故f(x)在R上是增函数，f(3x－1)<f(1－x)等价于3x－1<1－x，得x<eq\f(1,2).11．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是________________．答案f(x)＝(x－1)2(答案不唯一，如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，0<x<4，,1，x＝4，))只要满足题意即可)解析由题意知，令f(x)＝(x－1)2，满足f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，但函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，所以函数f(x)＝(x－1)2可以说明命题p为假命题．12．(2023·临川一中模拟)已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)在[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．答案[2,4)解析函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)在[0,1]上单调递减，当0<a<1时，x2－ax＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋3－eq\f(a2,4)≥3－eq\f(a2,4)>0恒成立，而函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上不单调，因此0<a<1不符合题意；当a>1时，函数y＝logau在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性，得函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上单调递减，因此eq\f(a,2)≥1，并且12－a×1＋3>0，解得2≤a<4，所以实数a的取值范围是[2,4)．四、解答题13．(2023·昆明统考)给定函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R.(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；(2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性．解(1)f(x)，g(x)的图象如图所示．(2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减；当0<a≤2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，a]上单调递增；当a>2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，a]上单调递减．14．(2023·重庆联考)已知f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)(x∈R)．(1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(2)解关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0.解(1)f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)在R上是增函数．证明：在R上任取x1，x2且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝，由x1<x2可知，所以，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．即f(x)在R上是增函数．(2)易知f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，由(1)知，函数f(x)在R上是增函数，由f(t2－3)＋f(2t)<0，可得f(t2－3)<－f(2t)＝f(－2t)，所以t2－3<－2t，即t2＋2t－3<0，解得－3<t<1，即关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0的解集为{t|－3<t<1}．15．(多选)(2024·长沙模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且对于y＝f(x)(x∈R)，当x1，x2∈(－∞，0)且x1≠x2时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0恒成立，若f(2ax)<f(2x2＋1)对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围可以是()A．(－eq\r(2)，－1) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))C．[0，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，＋∞)答案ABC解析由题意得y＝f(x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，故y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(2ax)<f(2x2＋1)，故f(|2ax|)<f(2x2＋1)，所以|2ax|<2x2＋1，当x＝0时，|0|<1恒成立，满足要求，当x≠0时，|2a|<eq\f(2x2＋1,|x|)＝2|x|＋eq\f(1,|x|)在x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立，其中2|x|＋eq\f(1,|x|)≥2eq\r(2|x|·\f(1,|x|))＝2eq\r(2)，当且仅当2|x|＝eq\f(1,|x|)，即|x|＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立，故|2a|<2eq\r(2)，解得－eq\r(2)<a<eq\r(2)，综上，a的取值范围为－eq\r(2)<a<eq\r(2)，A选项，由于(－eq\r(2)，－1)⊆(－eq\r(2)，eq\r(2))，A正确；B选项，eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))⊆(－eq\r(2)，eq\r(2))，B正确；C选项，[0，eq\r(2))⊆(－eq\r(2)，eq\r(2))，C正确；D选项，(eq\r(2)，＋∞)显然不是(－eq\r(2)，eq\r(2))的子集，D错误．16．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－x2，x≥0，,－2x，x<0.))若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则实数a的取值范围为__________；若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则实数t的取值范围为__________．答案(－∞，0](2,4]解析若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则f(x)在R上是减函数，则eq\f(a,2)≤0，即a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]；当a>0时，若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝eq\f(a2,2)－eq\f(a2,4)＝4，解得a＝4或a＝－4(舍去)，又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，所以2<t≤4；当a≤0时，f(x)在[－1，t)上单调递减，则f(x)在[－1，t)上的最大值为f(－1)＝2，不符合题意，所以实数t的取值范围为(2,4]．§2.1函数的概念及其表示课标要求1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)任何一个函数都可以用图象法表示．(×)(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．(√)(4)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥0，,x2，x<0))的定义域为R.(√)2．(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是()答案ACD解析在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中，图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函数图象．3．(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是()A．y＝eq\f(\r(x＋3),\r(3－x))与y＝eq\r(\f(x＋3,3－x))B．y＝x2与y＝(x－1)2C．y＝eq\r(x2)与y＝xD．y＝1与y＝x0答案BCD解析对于A选项，y＝eq\f(\r(x＋3),\r(3－x))的定义域是[－3,3)，y＝eq\r(\f(x＋3,3－x))的定义域是[－3,3)，并且eq\f(\r(x＋3),\r(3－x))＝eq\r(\f(x＋3,3－x))，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；对于B选项，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数；对于C选项，y＝eq\r(x2)＝|x|，所以两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；对于D选项，y＝1的定义域是R，y＝x0的定义域是{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数．4．已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是________________．答案f(x)＝x2＋6x解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.题型一函数的概念例1(1)(多选)下列说法中正确的有()A．f(x)＝eq\f(|x|,x)与g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))表示同一个函数B．函数f(x)＝eq\r(x＋1)－eq\f(1,x)的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞)C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数D．若f(x)＝|x－1|－x，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝0答案BC解析对于A，函数f(x)＝eq\f(|x|,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，由题意，在f(x)＝eq\r(x＋1)－eq\f(1,x)中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x≠0，))解得x≥－1且x≠0，故B正确；对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝f(0)＝1，故D错误．(2)(2024·济南检测)已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数f(2x－1)的定义域为________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))解析由－2≤2x－1≤3，解得－eq\f(1,2)≤x≤2，所以函数f(2x－1)的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)).思维升华函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应．(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数．跟踪训练1(1)下列各组函数表示同一个函数的是()A．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝eq\f(1,x)－1，g(x)＝eq\f(1,x－1)C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝eq\f(x2－1,x－1)答案C解析对于A，f(x)＝eq\r(x2)的定义域为R，g(x)＝(eq\r(x))2的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数；对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝eq\f(x2－1,x－1)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数．(2)(2023·衡阳模拟)已知函数f(x)的定义域为[2,8]，则函数h(x)＝f(2x)＋eq\r(9－x2)的定义域为()A．[4,16] B．(－∞，1]∪[3，＋∞)C．[1,3] D．[3,4]答案C解析要使函数h(x)＝f(2x)＋eq\r(9－x2)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2≤2x≤8，,9－x2≥0，))解得1≤x≤3，所以函数h(x)的定义域为[1,3]．题型二函数的解析式例2(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq\f(1,x4)，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．解(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0,2]，则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)．(2)(配凑法)f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq\f(1,x4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2－2，又x2＋eq\f(1,x2)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＝2，当且仅当x2＝eq\f(1,x2)，即x＝±1时等号成立．设t＝x2＋eq\f(1,x2)，则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)，∴f(x)＝x2－2(x≥2)．(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,5a＋b＝17，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7.))∴f(x)＝2x＋7(x∈R)．(4)(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2，①∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2，②由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，∴f(x)＝3x－2(x∈R)．思维升华函数解析式的求法(1)配凑法．(2)待定系数法．(3)换元法．(4)解方程组法．跟踪训练2(1)若f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，则f(x)＝________.答案eq\f(1,x－1)(x≠0且x≠1)解析f(x)＝eq\f(\f(1,x),1－\f(1,x))＝eq\f(1,x－1)(x≠0且x≠1)．(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝________________.答案2x＋3或－2x－9解析因为f(x)为一次函数，所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)，所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)，因为f(f(x))＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝4，,bk＋1＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝－9，))所以f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.题型三分段函数例3(1)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－2≤x<1，,－x＋2，x≥1，))则下列关于函数f(x)的结论正确的是()A．f(x)的定义域为RB．f(x)的值域为(－∞，4]C．若f(x)＝2，则x的值是－eq\r(2)D．f(x)<1的解集为(－1,1)答案BC解析函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－2≤x<1，,－x＋2，x≥1))的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－eq\r(2)，故C正确；当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1,1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误．(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－3x＋2，x<－1，,2x－3，x≥－1，))若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f(a)＝4，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1，,－a2－3a＋2＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,2a－3＝4，))解得a＝－2或a＝5.若f(a)≥2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1，,－a2－3a＋2≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,2a－3≥2，))解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)(2023·济宁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log22－x，x≤0，,fx－3，x>0，))则f(2023)等于()A．0B．1C．2D．3答案C解析由题设，当x>0时，f(x)＝f(x－3)，即当x>0时，函数f(x)是周期为3的周期函数，则f(2023)＝f(3×674＋1)＝f(1)＝f(－2)＝log2[2－(－2)]＝log24＝2.(2)(多选)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x<1，,－x2＋3，x≥1，))则()A．f(f(eq\r(3)))＝3B．若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3C．f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)D．若∀x∈R，a>f(x)，则a≥3答案BCD解析对于A，因为f(eq\r(3))＝－(eq\r(3))2＋3＝0，所以f(f(eq\r(3)))＝f(0)＝2，所以A错误；对于B，当x<1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，综上，x＝2或x＝－3，所以B正确；对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确；对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为∀x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确．课时精练一、单项选择题1．(2023·西安模拟)函数f(x)＝eq\f(x＋1,\r(－x2＋x＋6))＋ln(1－x)的定义域是()A．(－2,1) B．(－3,1)C．(1,2) D．(1,3)答案A解析由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x＋6>0，,1－x>0，))解得－2<x<1.故函数f(x)的定义域是(－2,1)．2．函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)的值域是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)D．(－∞，1)∪(1，＋∞)答案D解析f(x)＝eq\f(x,x＋2)＝eq\f(x＋2－2,x＋2)＝1－eq\f(2,x＋2)，∵eq\f(2,x＋2)≠0，∴1－eq\f(2,x＋2)≠1，从而可知函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．3．(2023·驻马店统考)已知函数f(2x＋1)＝2x－x2－3，则f(3)等于()A．－4B．－2C．2D．4答案B解析令2x＋1＝3，得x＝1，则f(3)＝2－1－3＝－2.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是()答案A解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加的由快变慢，中间增加的最慢，最后增加的由慢变快，由图可知选项A符合．5．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≥0，,x2＋2x，x<0，))实数a满足f(a)<f(－a)，则a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(0,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2,0)∪(0,2)D．(－2,0)∪(2，＋∞)答案D解析由题意可知，a≠0.当a<0时，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a，所以由f(a)<f(－a)可得a2＋2a<－a2－2a，即a2＋2a<0，解得－2<a<0，当a>0时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a，所以由f(a)<f(－a)可得－a2＋2a<a2－2a，即a2－2a>0，解得a>2，所以a的取值范围是(－2,0)∪(2，＋∞)．6．(2024·广州质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2ax＋3a，x<1，,lnx，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))D．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案C解析∵当x≥1时，f(x)＝lnx≥ln1＝0，又f(x)的值域为R，故当x<1时，f(x)的值域包含(－∞，0)．故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a>0，,1－2a＋3a≥0，))解得－1≤a<eq\f(1,2).二、多项选择题7．(2023·汕头模拟)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”．下列函数是“[0,1]交汇函数”的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝eq\r(1－x)C．y＝1－x2 D．y＝eq\r(1－x2)答案BD解析由“[a，b]交汇函数”定义可知，“[0,1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0,1]．y＝eq\r(x)的定义域A＝[0，＋∞)，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，＋∞)，A错误；y＝eq\r(1－x)的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0,1]，B正确；y＝1－x2的定义域A＝R，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝(－∞，1]，C错误；y＝eq\r(1－x2)的定义域A＝[－1,1]，值域B＝[0,1]，则A∩B＝[0,1]，D正确．8．下列说法正确的是()A．函数f(x＋1)的定义域为[－2,2)，则函数f(x)的定义域为[－1,3)B．f(x)＝eq\f(x2,x)和g(x)＝x表示同一个函数C．函数y＝eq\f(1,x2＋3)的值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))D．定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x＋1，则f(x)＝eq\f(x,3)＋1答案ACD解析对于A，对于f(x＋1)，令t＝x＋1⇒x＝t－1∈[－2,2)，则t∈[－1,3)，所以f(t)，即f(x)的定义域为[－1,3)，故A正确；对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，不是同一个函数，故B不正确；对于C，因为x2＋3≥3，所以0<eq\f(1,x2＋3)≤eq\f(1,3)，故函数y＝eq\f(1,x2＋3)的值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，故C正确；对于D，由2f(x)－f(－x)＝x＋1可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2fx－f－x＝x＋1，,2f－x－fx＝－x＋1，))可得f(x)＝eq\f(x,3)＋1，故D正确．三、填空题9．函数f(x)＝eq\f(\r(2－x),lnx)的定义域为________．答案(0,1)∪(1,2]解析要使函数f(x)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x≥0，,lnx≠0，,x>0，))解得0<x≤2且x≠1，故函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2]．10．若f(eq\r(x)＋1)＝x－1，则f(x)＝________.答案x2－2x(x≥1)解析令eq\r(x)＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1)⇒f(x)＝x2－2x(x≥1)．11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<1，,x2，x≥1，))则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝________；若f(a)>a，则a的取值范围是________．答案4(－1,1)∪(1，＋∞)解析因为f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×eq\f(1,2)＋1＝2，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝f(2)＝22＝4.当a≥1时，f(a)>a⇔a2>a，解得a>1；当a<1时，f(a)>a⇔2a＋1>a，解得－1<a<1，所以不等式的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)．12．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝________.答案eq\r(2)解析作出函数f(x)的图象，如图所示．因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋2>0，))即－2<a≤3，此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝eq\r(a＋2)，所以a＝eq\r(a＋2)，a>0，解得a＝2，则f(a)＝eq\r(2).四、解答题13．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5，x≤0，,x＋5，0＜x≤1，,－2x＋8，x＞1.))(1)求f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))，f(－1)的值；(2)画出这个函数的图象；(3)求f(x)的最大值．解(1)∵eq\f(3,2)＞1，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－2×eq\f(3,2)＋8＝5.∵0＜eq\f(1,π)＜1，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))＝eq\f(1,π)＋5＝eq\f(5π＋1,π).∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.(2)此分段函数的图象如图所示．在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分．图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.14．(2023·曲靖检测)已知函数f(x)＝eq\f(x2,x2＋1).(1)求f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\v