2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第二章　§2.4　函数的对称性含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第二章§2.4函数的对称性-5bca847e64fd§2.4函数的对称性课标要求1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．知识梳理1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)．2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．(√)(2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)(3)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称．(×)(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(√)2．函数f(x)＝eq\f(x＋1,x)的图象的对称中心为()A．(0,0)B．(0,1)C．(1,0)D．(1,1)答案B解析因为f(x)＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，由y＝eq\f(1,x)的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋eq\f(1,x)的图象，又y＝eq\f(1,x)的图象关于点(0,0)对称，所以f(x)＝1＋eq\f(1,x)的图象关于点(0,1)对称．3．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则()A．f(－1)<f(3) B．f(0)>f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)答案A解析因为f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3)．4．(2023·南昌检测)已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点________．答案(－1,2)解析y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2).题型一轴对称问题例1(1)(2024·株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x＋1)为偶函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝x3，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))等于()A.eq\f(1,8)B．－eq\f(1,8)C.eq\f(27,8)D．－eq\f(27,8)答案A解析由函数f(x＋1)为偶函数，可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2＋x)＝f(－x)，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)，可得函数f(x)的周期为4，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))3＝eq\f(1,8).(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________．答案(－1,1)解析∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，∴－x2>－1，即x2<1，∴－1<x<1，∴原不等式的解集为(－1,1)．思维升华函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．跟踪训练1(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是()A．f(－1)<f(1)<f(2)B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1)D．f(－1)<f(2)<f(1)答案D解析因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以f(x)的对称轴为直线x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)．(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则所有交点的横坐标之和为()A．0B．mC．2mD．4m答案C解析依题意，函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，所以若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则x1＋x2＋…＋xm＝4×eq\f(m,2)＝2m.题型二中心对称问题例2(1)(多选)下列说法中，正确的是()A．函数f(x)＝eq\f(2x－1,x＋2)的图象关于点(－2,2)中心对称B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1,0)中心对称C．若函数y＝f(x)过定点(0,1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)D．函数y＝eq\f(x－1,x－b)的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2答案ABC解析对于A，f(x)＝eq\f(2x－1,x＋2)＝eq\f(2x＋2－5,x＋2)＝2－eq\f(5,x＋2)，其图象可以由y＝－eq\f(5,x)的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－eq\f(5,x)的图象关于原点对称，故f(x)＝eq\f(2x－1,x＋2)的图象关于点(－2,2)中心对称，A正确；对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确；对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)，C正确；对于D，函数y＝eq\f(x－1,x－b)＝eq\f(x－b＋b－1,x－b)＝1＋eq\f(b－1,x－b)的图象关于点(3，c)中心对称，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－b＝0，,c＝1，))解得b＝3，c＝1，所以b＋c＝4，D不正确．(2)(2024·南京模拟)已知函数y＝f(x)的图象既关于直线x＝1对称，又关于点(2,0)对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝eq\f(x,2024)，则f(2024)等于()A.eq\f(3,2024)B.eq\f(1,2024)C.eq\f(1,1012)D．0答案D解析因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－x)＝f(2＋x)，因为函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(－x)＝－f(4＋x)，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0.思维升华函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心对称．跟踪训练2(1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是()A．(－1,2)B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案D解析因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1,0)对称，因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)在R上单调递减，所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1，所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于()A．－3B．－1C．1D．3答案C解析∵f(x)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝0，又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋6＝0，,4a＋12＝0，,10＋4a＋2b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1.))题型三两个函数图象的对称例3已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于直线x＝3对称C．关于直线y＝3对称D．关于点(3,0)对称答案A解析设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．思维升华函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq\f(b－a,2)对称．跟踪训练3下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ex－1 B．y＝e1－xC．y＝e2－x D．y＝lnx答案C解析与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.课时精练一、单项选择题1．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝lg|x|C．y＝tanx D．y＝x3答案A解析y＝eq\f(1,x)的图象关于y＝x、坐标原点(0,0)分别成轴对称和中心对称，故A正确；y＝lg|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，但无对称中心，故B错误；y＝tanx关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)成中心对称，但无对称轴，故C错误；y＝x3为奇函数，其图象关于坐标原点(0,0)成中心对称，但无对称轴，故D错误．2．(2024·聊城检测)函数y＝2－x与y＝－2x的图象()A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x轴对称答案C解析令f(x)＝2x，则－f(－x)＝－2－x，∵y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，∴y＝2－x与y＝－2x的图象关于原点对称．3．(2023·襄阳模拟)已知函数f(x)＝2x＋eq\f(4,2x)(x∈R)，则f(x)的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于点(1,0)对称C．关于直线x＝0对称D．关于原点对称答案A解析由已知可得，f(2－x)＝22－x＋eq\f(4,22－x)＝eq\f(4,2x)＋4·eq\f(2x,4)＝eq\f(4,2x)＋2x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确；因为f(2－x)＝2x＋eq\f(4,2x)，则f(2－x)≠－f(x)，故B项错误；f(－x)＝2－x＋eq\f(4,2－x)＝4·2x＋eq\f(1,2x)，则f(－x)≠f(x)，故C项错误；因为f(－x)＝4·2x＋eq\f(1,2x)，则f(－x)≠－f(x)，故D项错误．4．(2023·赣州联考)已知函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上单调递增，满足对任意x∈R，都有f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，若f(x)在区间(a,2a－1)上单调递减，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))) D．(－∞，2]答案C解析由f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，得函数f(x)图象的对称轴是直线x＝eq\f(3,2)，因为函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上单调递增，所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上单调递减，因为f(x)在区间(a,2a－1)上单调递减，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1≤\f(3,2)，,a<2a－1，))解得1<a≤eq\f(5,4).所以实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))).5．已知函数f(1－x)的图象与函数f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m等于()A．3B.eq\f(3,2)C．－1D．－eq\f(1,2)答案D解析设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点Q(x′，y′)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋x′＝2m，,y＝y′，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2m－x′，,y＝y′，))则y′＝f(1－2m＋x′)，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，得m＝－eq\f(1,2).6．(2023·重庆模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则()A．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0 B．f(0)＝1C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0 D．f(1)＝1答案B解析因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2,1)对称，且f(2)＝1，所以f(0)＝f(2)＝1.二、多项选择题7．设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是()A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增B．f(x)为奇函数C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．f(x)的图象关于点(1,0)对称答案ABD解析∵f(x)＝2x－1＋21－x，∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，即f(x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，A，D错误；∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数，故B错误．8．(2023·恩施模拟)定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1,2]上单调递减，则下列结论正确的是()A．直线x＝1是f(x)的图象的对称轴B．周期T＝2C．函数f(x)在[4,5]上单调递增D．f(5)＝0答案AC解析因为f(x－1)＝f(3－x)，所以直线x＝1是f(x)的图象的对称轴，故选项A正确；因为f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，又因为f(x)的对称轴为x＝1，所以f(x)的周期T＝4，故选项B错误；直线x＝1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1,2]上单调递减，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，又f(x)的周期T＝4，所以函数f(x)在[4,5]上单调递增，故选项C正确；因为f(x)的周期T＝4，f(4)＝f(0)＝0，则f(5)>f(4)＝0，故选项D错误．三、填空题9．(2023·苏州模拟)写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常数函数，f(x)＝________.答案cosπx(形如acosπx＋b或aeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(πx,2)))＋b或aeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinπx))＋b或aeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)))＋b等)解析因为f(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数的周期T＝2，函数的对称轴为直线x＝1，故可取函数f(x)＝cosπx.10．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝________.答案2解析因为函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.11．(2024·玉溪统考)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x＋3)是偶函数，当x≥3时，f(x)＝log2x，则不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集为________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－3或x>\f(5,3)))))解析∵y＝f(x＋3)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝3对称．∵当x≥3时，f(x)＝log2x，∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增，∴|2x＋2－3|>|x－1－3|，即|2x－1|>|x－4|，∴(2x－1)2>(x－4)2，即3x2＋4x－15>0，解得x<－3或x>eq\f(5,3).12．(2023·荆州统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(－x)，设函数f(x)与函数y＝eq\f(1,x－1)的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则eq\i\su(i＝1,n,)(xi＋yi)的值为________．答案n解析∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则f(2－x)＋f(x)＝0，∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，∵函数y＝eq\f(1,x－1)的图象是由函数y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位长度得到的，∴函数y＝eq\f(1,x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数f(x)与函数y＝eq\f(1,x－1)的图象的交点也关于点(1,0)对称，∴eq\i\su(i＝1,n,)(xi＋yi)＝eq\i\su(i＝1,n,x)i＋eq\i\su(i＝1,n,y)i＝2×eq\f(n,2)＋0×eq\f(n,2)＝n.四、解答题13．(2023·邢台检测)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x.(1)判断并证明函数f(x)的对称性；(2)求f(x)的单调区间．解(1)f(x)的图象关于直线x＝2对称．证明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4，f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．(2)设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x，当x>2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增，故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增．又f(x)的图象关于直线x＝2对称，故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．14．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心；(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．解(1)设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－3＝0，,a3－3a2－b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2)．(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．15．设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＝f(x＋4)D．f(x＋6)为奇函数答案D解析因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)关于(－2,0)和(2,0)对称，所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝－f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函数．16．(多选)(2024·大连质检)若定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，且g(x)＝f(x)＋1，则下列结论一定成立的是()A．g(2)＝1B．g(0)＝1C．不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集为(－∞，0)D．g(－1)＋g(2)<2答案BCD解析∵定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，将y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位长度即可得到函数y＝f(x)的图象，∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∵g(x)＝f(x)＋1，∴g(0)＝f(0)＋1，∴g(0)＝1，故B选项正确；∵y＝f(x－2)为减函数，∴f(x)为减函数，∴g(x)＝f(x)＋1为减函数，又g(0)＝1，则g(2)≠1，故A选项错误；∵f(x＋1)>f(1－2x)，且f(x)为减函数，∴x＋1<1－2x，解得x<0，故C选项正确；g(－1)＋g(2)＝f(－1)＋f(2)＋2＝－f(1)＋f(2)＋2，∵f(1)>f(2)，∴g(－1)＋g(2)<2，故D选项正确．§2.3函数的奇偶性、周期性课标要求1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．函数奇偶性常用结论奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x的值：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(×)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(×)(3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数．(×)(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期．(√)2．(2023·济南统考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)等于()A．－7B．－5C．5D．7答案C解析因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝5.3．(2023·盐城检测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2024.5)等于()A.eq\f(17,16)B.eq\f(5,4)C．2D．1答案B解析由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，∴f(2024.5)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2024＋\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4).4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示．则不等式xf(x)>0的解集为________．答案(－2,0)∪(0,2)解析根据奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)的图象如图所示．xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．题型一函数奇偶性的判断例1(1)(多选)下列函数是奇函数的是()A．f(x)＝tanx B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝eq\f(ex－e－x,2) D．f(x)＝ln|1＋x|答案AC解析对于A，函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，关于原点对称，且f(－x)＝tan(－x)＝－tanx＝－f(x)，故函数为奇函数；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝eq\f(e－x－ex,2)＝－f(x)，故函数为奇函数；对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数．(2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案奇解析由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2]．故f(x)＋2为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．跟踪训练1(2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是()A．f(x)＝x＋sinxB．f(x)＝(x－1)eq\r(\f(x＋1,x－1))C．f(x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)D．f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)答案B解析A项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)为奇函数；B项，令eq\f(x＋1,x－1)≥0，解得x≤－1或x>1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数；C项，因为x2＋1>x2，所以eq\r(x2＋1)－x>0恒成立，即f(x)的定义域为R，又f(－x)＋f(x)＝ln(eq\r(x2＋1)＋x)＋ln(eq\r(x2＋1)－x)＝0，故f(x)为奇函数；D项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝f(x)知，f(x)为偶函数．题型二函数奇偶性的应用命题点1利用奇偶性求值(解析式)例2(1)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2025,2025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于()A．0B．2C．1D．3答案B解析由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x，则函数g(x)为奇函数，∴g(x)在区间[－2025,2025]上的最大值与最小值之和为0，即M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2.(2)(2023·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝________.答案－ex＋2x＋1解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x＝0时，f(0)＝0.当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1，又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1.命题点2利用奇偶性解不等式例3(2023·龙岩模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为()A．(－∞，－1)∪(2,5) B．(－∞，－1)∪(0,5)C．(－1,0)∪(2,5) D．(－1,0)∪(5，＋∞)答案C解析因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0，当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0，所以由xf(x－2)<0，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,－3<x－2<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,0<x－2<3，))解得－1<x<0或2<x<5，即x∈(－1,0)∪(2,5)．抽象函数抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性．(1)判断抽象函数单调性的方法①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1·\f(x2,x1)))－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2·\f(x1,x2))).(2)常见的抽象函数模型①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；②幂函数f(x)＝xa，对应f(xy)＝f(x)f(y)或f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝eq\f(fx,fy)；③指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝eq\f(fx,fy)；④对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(x)；⑤正弦函数f(x)＝sinx，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；⑥余弦函数f(x)＝cosx，对应f(x)＋f(y)＝2f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))

f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－y,2)))，来源于cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)·coseq\f(α－β,2)；⑦正切函数f(x)＝tanx，对应f(x±y)＝eq\f(fx±fy,1∓fxfy)，来源于tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).典例(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(－2)＝－1C．不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞)D．f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝2023答案AB解析对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确；对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又因为x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，故C错误；对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2024)＋f(2024)＝f(－2023)＋f(2023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，又f(0)＝0，故f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝0，故D错误．(2)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x，y满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且f(－2)＝f(1)≠0，则下列说法正确的是()A．f(0)＝1B．函数g(2x＋1)的图象关于点(1,0)对称C．g(1)＋g(－1)＝0D．若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝1答案D解析对于A，令x＝y＝0，代入已知等式得f(0)＝f(0)g(0)－g(0)f(0)＝0，得f(0)＝0，故A错误；对于B，取f(x)＝sineq\f(2π,3)x，g(x)＝coseq\f(2π,3)x，满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)及f(－2)＝f(1)≠0，因为g(3)＝cos2π＝1≠0，所以g(x)的图象不关于点(3,0)对称，所以函数g(2x＋1)的图象不关于点(1,0)对称，故B错误；对于C，令y＝0，x＝1，代入已知等式得f(1)＝f(1)g(0)－g(1)f(0)，可得f(1)[1－g(0)]＝－g(1)f(0)＝0，结合f(1)≠0得1－g(0)＝0，g(0)＝1，再令x＝0，代入已知等式得f(－y)＝f(0)g(y)－g(0)f(y)，将f(0)＝0，g(0)＝1代入上式，得f(－y)＝－f(y)，所以函数f(x)为奇函数．令x＝1，y＝－1，代入已知等式，得f(2)＝f(1)g(－1)－g(1)f(－1)，因为f(－1)＝－f(1)，所以f(2)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]，又因为f(2)＝－f(－2)＝－f(1)，所以－f(1)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]，因为f(1)≠0，所以g(1)＋g(－1)＝－1，故C错误；对于D，分别令y＝－1和y＝1，代入已知等式，得以下两个等式：f(x＋1)＝f(x)g(－1)－g(x)f(－1)，f(x－1)＝f(x)g(1)－g(x)f(1)，两式相加易得f(x＋1)＋f(x－1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＋f(x)＝－f(x＋1)，即f(x)＝－f(x＋1)－f(x＋2)，有－f(x)＋f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)－f(x＋1)－f(x＋2)＝0，即f(x－1)＝f(x＋2)，所以f(x)为周期函数，且一个周期为3，因为f(1)＝1，所以f(－2)＝1，所以f(2)＝－f(－2)＝－1，f(3)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，所以eq\i\su(n＝1,2023,f)(n)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝f(2023)＝f(1)＝1，故D正确．思维升华(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练2(1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于()A．eB．－eC．e＋1D．－e－1答案B解析因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.(2)若f(x)＝sinx＋x3＋x，则不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) B．(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))答案C解析f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin(－x)－x3－x＝－sinx－x3－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，f′(x)＝cosx＋3x2＋1>0，所以f(x)在R上是增函数，由f(x＋1)＋f(2x)>0，得f(x＋1)>－f(2x)＝f(－2x)，所以x＋1>－2x，解得x>－eq\f(1,3)，所以不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞)).(3)(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln

eq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a等于()A．－1B．0C.eq\f(1,2)D．1答案B解析方法一因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln

eq\f(1,3)＝(－1＋a)ln3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln

eq\f(2x－1,2x＋1).由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>eq\f(1,2)或x<－eq\f(1,2)，则其定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln

eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝(－x)ln

eq\f(2x＋1,2x－1)＝(－x)ln

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))－1＝xln

eq\f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，此时f(x)为偶函数，符合题意．故a＝0.方法二设g(x)＝ln

eq\f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，且g(－x)＝ln

eq\f(－2x－1,－2x＋1)＝ln

eq\f(2x＋1,2x－1)＝－ln

eq\f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln

eq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.题型三函数的周期性例4(1)(2024·安康统考)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))等于()A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)答案C解析因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为2，故f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－4))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,2).(2)(2023·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)的值是()A．2024B．2023C．1D．0答案D解析因为f(x)的周期为3，f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2，因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝675×0＝0.思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练3(多选)(2023·深圳模拟)已知非常数函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则()A．f(2)＝0B．f(x＋4)为偶函数C．f(x)为周期函数D．f(x)的图象关于点(－4,0)对称答案ACD解析因为f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一个周期是4，故C正确；又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(0)＝0，所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正确；又f(x)的一个周期为4，且为奇函数，所以f(x＋4)为奇函数，故B不正确；因为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(－4,0)对称，故D正确．课时精练一、单项选择题1．(2023·宁波统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2024)等于()A．－1B．0C．1D．2答案B解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2024)＝f(0)＝0.2．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函数，则a等于()A．－2B．－1C．1D．2答案D解析因为f(x)＝eq\f(xex,eax－1)为偶函数，则f(x)－f(－x)＝eq\f(xex,eax－1)－eq\f(－xe－x,e－ax－1)＝eq\f(x[ex－ea－1x],eax－1)＝0，又因为x≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.3．(2023·长沙模拟)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()A．f(－1)<f(0)<f(－6.5)B．f(－6.5)<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)D．f(0)<f(－6.5)<f(－1)答案D解析∵f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，∵偶函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1)．4．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(2－x＋1,1＋x)＝eq\f(2,1＋x)－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.5．(2023·绍兴统考)若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x，则f(0)＋g(1)等于()A．1B．2C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,4)答案D解析f(x)＋g(x)＝2x，①则f(－x)＋g(－x)＝2－x，又f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴－f(x)＋g(x)＝2－x，②①②两式相加除以2得g(x)＝eq\f(2x＋2－x,2)，相减除以2得f(x)＝eq\f(2x－2－x,2)，∴f(0)＝0，g(1)＝eq\f(2＋\f(1,2),2)＝eq\f(5,4)，∴f(0)＋g(1)＝eq\f(5,4).6．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝2－|x|＋eq\f(2,x2＋11)，则使得不等式f(2m)<f(m＋1)成立的实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪(1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)答案C解析因为f(－x)＝2－|x|＋eq\f(2,x2＋11)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，又因为当x>0时，y＝2－x和y＝eq\f(2,x2＋11)单调递减，所以f(x)＝2－|x|＋eq\f(2,x2＋11)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(2m)<f(m＋1)，所以|m＋1|<|2m|，即(m＋1)2<(2m)2，展开可得3m2－2m－1>0，解得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪(1，＋∞)．二、多项选择题7．(2023·松原模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是()A．f(x)＝x－sinxB．f(x)＝x2cosxC．f(x)＝x＋x3D．f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)答案AC解析对于A，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又f′(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)在R上单调递增，故A正确；对于B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误；对于C，显然y＝x与y＝x3在R上既是奇函数又单调递增，所以f(x)＝x＋x3在R上既是奇函数又单调递增，故C正确；对于D，f(－x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)＝－f(x)，所以f(x)为(－2,2)上的奇函数，f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)＝ln

eq\f(2－x,x＋2)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(4,x＋2)))，显然f(x)为减函数，故D错误．8．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)满足()A．f(0)＝0B．y＝f(x)为奇函数C．f(x)在R上单调递增D．f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1}答案ABD解析由题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)为奇函数，故B正确；对于C，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，因为x1<x2，所以x1－x2<0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减，故C错误；对于D，由f(x－1)＋f(x2－1)>0，可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2)，由C知函数f(x)在R上单调递减，所以x－1<1－x2，解得－2<x<1，所以f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1}，故D正确．三、填空题9．(2024·太原模拟)写出一个最小正周期为3的偶函数________．答案f(x)＝coseq\f(2π,3)x(答案不唯一)解析由最小正周期为3的偶函数，可考虑三角函数中的余弦型函数f(x)＝Acosωx＋b(A≠0)，满足f(－x)＝Acosωx＋b＝f(x)，即是偶函数．根据最小正周期T＝eq\f(2π,ω)＝3，可得ω＝eq\f(2π,3).令A＝1，b＝0，f(x)＝coseq\f(2π,3)x.10．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))为偶函数，则a＝________.答案2解析∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋cosx＝x2＋(a－2)x＋1＋cosx，且函数为偶函数，∴a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意．11．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝2，则f(2023)＋f(2024)＝__________.答案－2解析因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，又因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋4)，对比以上两式得f(x)＝－f(x＋4)，从而f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，即函数f(x)是一个周期为8的周期函数，所以f(2023)＋f(2024)＝f(253×8－1)＋f(253×8)＝f(－1)＋f(0)，又因为f(1)＝2，所以f(2023)＋f(2024)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.12．(2023·南昌联考)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，且当0<x<3时，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，若f(2023)＝3，则eq\f(1,a)＋e