2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.2等差数列的前n项和公式(精练)(原卷版+解析)

4.2.2等差数列的前n项和公式（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））已知为等差数列的前项和，若，则（

）A．450 B．400 C．350 D．2252．(2023·全国·高二课时练习）在中国古代，有一道“八子分棉”的名题：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．”题意是把996斤棉分给8个子女做盘缠，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．则第一个孩子分到的棉是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤3．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．(2023·江苏省镇江中学高二开学考试）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（

）A．2021 B．-2021 C．-2022 D．20225．(2023·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k的值为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20236．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（

）A．4045 B．4044 C．2023 D．20227．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，且，则数列的前n项和（

）A． B．C． D．8．(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，下列为真命题的序号为（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．②④ D．③④二、多选题9．(2023·辽宁抚顺·高二期末）古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则（

）A． B．C． D．10．(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列中，，公差，则使其前项和取得最大值的自然数是（

）A． B． C． D．三、填空题11．(2023·全国·高一课时练习）数列的前n项和（，n为正整数），且，则______．12．(2023·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））已知等差数列的前n项和为，满足，且，则的最大值为___________.四、解答题13．(2023·四川省高县中学校高二阶段练习）已知数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.14．(2023·四川省开江中学高三开学考试（理））已知​为数列​的前​项和，​是公差为1的等差数列.(1)求​的通项公式；(2)证明：​.B能力提升15．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足，且数列的前项和为．(1)求数列的通项公式;(2)已知，记数列的前项和为，求证:．16．(2023·湖南湘潭·高三开学考试）设数列的前项和为，，数列是等差数列，其前项和是，且．(1)求数列和的通项公式;(2)求使得是数列中的项的的取值集合．C综合素养17．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式.18．(2023·广东·石门高级中学高二阶段练习）从条件①，，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，，_________.(1)求的通项公式；(2)表示不超过的最大整数，记，求的前100项和.19．(2023·河北·大名县第一中学高二期末）已知数列中，，（，），数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求；(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．4.2.2等差数列的前n项和公式（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））已知为等差数列的前项和，若，则（

）A．450 B．400 C．350 D．225答案：D【详解】由解得，所以.故选:D.2．(2023·全国·高二课时练习）在中国古代，有一道“八子分棉”的名题：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．”题意是把996斤棉分给8个子女做盘缠，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．则第一个孩子分到的棉是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤答案：A【详解】记8个子女依次分棉斤、斤、斤、…、斤，则数列为公差为17的等差数列．因为棉的总数为996斤，所以，解得．故选：A3．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【详解】当时，，故可知当时，单调递增，故为递增数列只需满足，即故选：B4．(2023·江苏省镇江中学高二开学考试）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（

）A．2021 B．-2021 C．-2022 D．2022答案：C【详解】解：因为数列为等差数列，故，则，当时，，则，所以数列为等差数列，设其公差为d．又，即，又，所以，所以，即．故选：C.5．(2023·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k的值为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023答案：C【详解】设等差数列公差为，所以，所以可看成关于n的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，可得，解得．故选：C．6．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（

）A．4045 B．4044 C．2023 D．2022答案：D【详解】等差数列的前项和为，且，，，，，，，公差，则当时最小．故选：D7．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，且，则数列的前n项和（

）A． B．C． D．答案：B【详解】因，当时，，则，而满足上式，因此，，即，则，，即是首项为4、公差为4的等差数列，所以．故选：B8．(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，下列为真命题的序号为（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．②④ D．③④答案：B【详解】由，可得，即，，故可得等差数列的公差，选项③正确；把已知的两式相加可得整理可得结合上面的判断可知故有，，故选项②正确；由于，，则，故选项①错误；由公差可得，结合等差数列的列的性质，可得，从而可得，故，即选项④错误．故选：B．二、多选题9．(2023·辽宁抚顺·高二期末）古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则（

）A． B．C． D．答案：ABD【详解】解：由题意可知，，故B正确；，所以，故A正确；，故D正确；所以，故C不正确．故选：ABD.10．(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列中，，公差，则使其前项和取得最大值的自然数是（

）A． B． C． D．答案：CD【详解】因为，则数列为单调递减数列，由可得，则，所以，，则，，所以，当或时，取得最大值.故选：CD.三、填空题11．(2023·全国·高一课时练习）数列的前n项和（，n为正整数），且，则______．答案：【详解】由得：当时,进而得，因为，所以，故，故答案为：12．(2023·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））已知等差数列的前n项和为，满足，且，则的最大值为___________.答案：1【详解】∵，，，，当且仅当时取等号，∴的最大值为1．故答案为：1．四、解答题13．(2023·四川省高县中学校高二阶段练习）已知数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.答案：(1)(2)（1）当时，，即，当时，，因为满足上式，所以，（2）由（1）得，所以数列的前n项和为14．(2023·四川省开江中学高三开学考试（理））已知​为数列​的前​项和，​是公差为1的等差数列.(1)求​的通项公式；(2)证明：​.答案：(1)；(2)证明见解析.（1）因是公差为1的等差数列，而，则，因此，即，当时，，满足上式，所以的通项公式是.（2）由（1）知：，所以.B能力提升15．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足，且数列的前项和为．(1)求数列的通项公式;(2)已知，记数列的前项和为，求证:．答案：(1)(2)证明见解析（1）记数列的前n项和为，则．当时．，当时，，则，∴．（2）由题意得，，∴．16．(2023·湖南湘潭·高三开学考试）设数列的前项和为，，数列是等差数列，其前项和是，且．(1)求数列和的通项公式;(2)求使得是数列中的项的的取值集合．答案：(1)，(2)（1）由知，．当时，，所以，所以数列是等比数列，故数列的通项公式为．又因为，所以数列的公差为，故数列的通项公式为；（2）由（1）知，，而，所以当且仅当时，是数列中的项．即所求的m的取值集合为C综合素养17．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式.答案：证明见解析，【详解】∵，∴，∵，又，∴，又由，∴是以1为首项，1为公差的等差数列.∴，∴，当时，，当时，，符合上式，∴.18．(2023·广东·石门高级中学高二阶段练习）从条件①，，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，，_________.(1)求的通项公式；(2)表示不超过的最大整数，记，求的前100项和.答案：(1)若选①或②，；选③，(2)若选①或②，92；选③，145（1）若选择①，因为，所以，两式相减得，整理得，即，所以为常数列，，所以，若选择②，因为，所以，两式相减，得，因为，∴，所以是等差数列，所以；若选择③，（1）由变形得，，所以，易知，所以，所以为等差数