上海市普陀区沪科版八年级上期末数学试卷含解析初二数学

20152016学年上海市普陀区八年级（上）期末数学试卷

一'填空题（本大题共有14题，每题2分，满分28分）

1.化简：［18x2（x>0）=.

2.方程2x?-x=0的根是.

3.函数：尸的定义域是—.

4.某件商品原价为100元，经过两次促销降价后的价格为64元，如果连续两次降价的百分率相同,

那么这件商品降价的百分率是—.

5.在实数范围内分解因式：2x2+3x-1=.

6.如果函数f（x）二3,那么f（而）=—.

x+1

7.关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是—.

8.正比例函数y=（2a-1）x的图象经过第二、四象限，那么a的取值范围是—.

9.已知点，A（x“y,）和点B（x2,y2）,在反比例函数y=上的图象上，如果当OVx^Vx2,可得八

X

>y2,那么k-0.（填“>”、"="、）

10.经过定点A且半径为2cm的圆的圆心的轨迹是_.

11.请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：—.

12.如图，在aABC中，Z0=90°,NCAB的平分线AD交BC于点D,BC=5,BD=3,那么点D到AB

的距离是—.

13.如果点A的坐标为（-3,1）,点B的坐标为（1,4）,那么线段AB的长等于—.

14.在RtaABC中，ZC=90°,将这个三角形折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M,交BC

于点N,如果BN=2AC,那么NB=____度.

二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）

15.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.4x2=3yB.x（x+1）=5x2-1C.-3=5x2-D._^_+3x-1=0

16.已知等腰三角形的周长等于20,那么底边长y与腰长x的函数解析式和定义域分别是()

A.y=20-2x(0<x<20)B.y=20-2x(0<x<10)

C.y=20-2x(5<x<10)D.y=—■--(5<x<10)

2

17.下列问题中，两个变量成正比例的是()

A.圆的面积S与它的半径r

B.正方形的周长C与它的边长a

C.三角形面积一定时，它的底边a和底边上的高h

D.路程不变时，匀速通过全程所需要的时间t与运动的速度v

18.如图，在aABC中，AB=AC,ZA=120°,如果D是BC的中点，DELAB,垂足是E,那么AE：BE

的值等于()

三'(本大题共有7题，满分60分)

19.计算：Wo.5-6^^)-.

20.用配方法解方程：3X2+6X-1=0.

21.已知y=y1+y2,W与x成正比例,y?与x-2成反比例，且当x=1时，y=-1；当x=3时,y=5.求

y与x的函数关系式.

22.已知：如图，在4ABC中，ZACB=45°,AD是边BC上的高，G是AD上一点，联结CG,点E、F

分别是AB、CG的中点，且DE=DF.求证：△ABDgACGD.

23.已知：如图，在aABC中，ZACB=90°,AD为4ABC的外角平分线，交BC的延长线于点D,且

NB=2ND.求证：AB+AC=CD.

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=J^x与反比例函数y=k的图象交于点A,

x

且点A的横坐标为1,点B是x轴正半轴上一点，且AB_LOA.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求点B的坐标；

(3)先在NAOB的内部求作点P,使点P到NAOB的两边OA、0B的距离相等，且PA=PB；再写出点

P的坐标.(不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点P)

25.如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE,过点D作DF_LDE交边BC于

点F(点F与点B、C不重合)，延长FD到点G,使DG=DF,联结EF、AG,已知AB=1O,BC=6,AC=8.

(1)求证:AC±AG；

(2)设AE=x,CF=y,求y与x的函数解析式，并写出定义域；

(3)当4BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长.

20152016学年上海市普陀区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有14题，每题2分，满分28分）

1.化简：（x>0）=3bx.

【考点】二次根式的性质与化简.

【分析】根据二次根式的性质，即可解答.

【解答】解：V18x2（x>0）=3^x,

故答案为：3yx.

【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质.

2.方程2x2-x=0的根是Xi=0,.

【考点】解一元二次方程因式分解法.

【分析】将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零得到两个一元一次方程；

解这两个一元一次方程可得.

【解答】解：左边因式分解，得：x（2x-1）=0,

.,.x=0或2x-1=0,

解得：x^O,xz=y>

故答案为：X[=0,x2=-^-.

【点评】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，通过将方程左边因式分解，把原方程进行了降

次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题是因式分解法解一元二次方程的关键.

3.函数：g/TE的定义域是x32.

【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件.

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0,可知：x-2》0,解得x的范围.

【解答】解：根据题意得：x-220,

解得：xN2.

【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.

4.某件商品原价为100元，经过两次促销降价后的价格为64元，如果连续两次降价的百分率相同,

那么这件商品降价的百分率是20%.

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】增长率问题.

【分析】设每次降价的百分率为x,第一次降价后价格变为100(1-x),第二次在第一次降价后的

基础上再降，变为100(x-1)(x-1),从而列出方程，求出答案.

【解答】解：设每次降价的百分率为x,第二次降价后价格变为100(x-1)2元，

根据题意得：100(x-1)J64,

即x-1=0.8,

解之得％=1.8,x2=0.2.

因x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2.

即每次降价的百分率为0.2,即20%.

故答案为：20%.

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的

基础，另外还要注意解的取舍，难度一般.

5.在实数范围内分解因式：2X2+3X-1=2(X-二"/互)(X-二3二面)

43

【考点】实数范围内分解因式.

【分析】利用公式法分解因式.

【解答】解：令2x?+3x-1=0,则

x__3+V17-3-^/17

X1------------------------,x2---------------；-----------,

44

.-.2x2+3x-1=2(X--3+VTV)(

4

故答案是：2-三叵)(X-

【点评】本题考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结

果一般要分到出现无理数为止.

6.如果函数f(x);二，那么f(V3)='巧7.

x+1

【考点】函数值.

【分析】把*=加代入函数关系式，即可解答.

【解答】解,f(J3)=」______2，T)__=2G/1+1)2(g-l)=时

【解口［解"3)V3+1-(V3+1)(V3-1)(V3)2-l2273.

【点评】本题考查了函数值，解决本题的关键是利用代入法求函数值.

7.关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是kV2且k入0.

4

【考点】根的判别式.

【专题】方程思想.

【分析】根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b?-4ac>0,然后据此列出关

于k的方程，解方程即可.

【解答】解：.「kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，

.-.△=1-4k>0,且k/O,

解得，k<［且k#0；

4

故答案是：■且k=/=0.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式.解题时，注意一元二次方程的“二次项系数

不为0"这一条件.

8.正比例函数y=(2a-1)x的图象经过第二、四象限，那么a的取值范围是.

【考点】正比例函数的性质.

【分析】先根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可.

【解答】解：:.正比例函数y=(2a-1)x的图象经过第二、第四象限，

.,.2a-1<0,

.一I

••a—.

2

故答案为：a〈费.

【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数y=kx(k/O),k>0时，图象在一三象限，呈

上升趋势，当kVO时，图象在二四象限，呈下降趋势.

9.已知点，A(x,,y)和点B(x2,y2),在反比例函数y=k的图象上，如果当(Xx^Vx2,可得八

x

>y2,那么k>0.(填“>”、"=”、)

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y产且，y2=—,则上->且，然后利用OVxi

x।x2X]x2

VX2可确定k的符号.

【解答】解：..・点A(x“y,)和点B(x2,y2)在反比例函数y=K的图象上，

X

kk

・.•n=『，y=-»

X12x2

,•*yi>y2>

kk

・•・一>一,

X1x2

而0VxiVxz,

.'.k>0.

故答案为〉.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=K(k为常数，k*0)的图象

x

是双曲线，图象上的点(X,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.本题还可以利用反比例函数的

增减性求解.

10.经过定点A且半径为2cm的圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，2cm为半径的圆.

【考点】轨迹.

【分析】求圆心的轨迹实际上是求距A点2厘米能画一个什么图形.

【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于2厘米的点的集合，因此应该是一个以点A

为圆心，2cm为半径的圆，

故答案为：以点A为圆心，2cm为半径的圆.

【点评】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆.

11.请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：两个角相等三角形是等腰三角形.

【考点】命题与定理.

【专题】应用题.

【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题.

【解答】解：.•・原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，

..・命题”等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”，

故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形.

【点评】本题考查了逆命题的概念，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命

题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原

命题的逆命题，难度适中.

12.如图，在aABC中，NC=90°,NCAB的平分线AD交BC于点D,BC=5,BD=3,那么点D到AB

【考点】角平分线的性质.

【分析】过点D作DE_LAB于点E,根据角平分线的性质可得，DE=DC,根据BC=5,BD=3,求得CD即

可求解.

【解答】解：过点D作DELAB于点E,

••,ZC=90°,AD是AABC中NCAB的角平分线，DE-LAB于E,

.,.DE=CD,

.,.BC=5,BD=3,

；.CD=BC-BD=5-3=2,

，DE=2.

故答案为：2.

C

/\D

EB

【点评】此题主要考查角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题

的关键.

13.如果点A的坐标为（-3,1）,点B的坐标为（1,4）,那么线段AB的长等于5.

【考点】点的坐标.

【分析】利用勾股定理列式计算即可得解.

［解答］解：AB=-y（-3-1）2+（1-4）2=5-

故答案为：5.

【点评】本题考查了点的坐标，此类题目，利用两点的坐标结合勾股定理求解.

14.在RtZ\ABC中，ZC=90°,将这个三角形折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M,交BC

于点N,如果BN=2AC,那么NB=15度.

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【分析】根据折叠的性质得到N1=NB=15°,NA=NB,再利用三角形的外角定理得N2=2NB,然后根

据三角函数的定义即可得到结论.

【解答】解：如图，

••.三角形折叠，得点B与点A重合，折痕交AB于点M,交BC于点N,

N仁NB,NA=NB,

■.,BN=2AC,

；.AN=2AC,

,/ZC=90°,

Z2=30",

■.,Z2=2ZB,

ZB=15°,

故答案为：15.

B

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即得到对应角相等，对应线段相等.也考

查了含30度的直角三角形三边的关系.

二、选择题(本大题共有4题，每题3分，满分12分)

15.下列方程中，是一元二次方程的是()

A.4x2=3yB.x(x+1)=5x2-1C.3=5/-娓D.+3x-1=0

【考点】一元二次方程的定义.

【分析】根据一元二次方程的定义求解.一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数

是2；(2)二次项系数不为0.由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可.

【解答】解：A、4x?=3y是二元二次方程，故A错误；

B、x(x+1)=5x2-1是一元二次方程，故B正确；

C、3=5x?-46是无理方程，故C错误；

D、3+3x-1=0是分式方程，故D错误；

x

故选：B.

【点评】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做

一元二次方程，一般形式是ax'+bx+cR(且a/0).特别要注意a手0的条件.这是在做题过程中

容易忽视的知识点.

16.已知等腰三角形的周长等于20,那么底边长y与腰长x的函数解析式和定义域分别是()

A.y=20-2x(0<x<20)B.y=20-2x(0<x<10)

C.y=20-2x(5<x<10)D.-X(5<x<10)

【考点】根据实际问题列一次函数关系式；等腰三角形的性质.

【分析】根据等腰三角形的周长等于20列出方程，整理变形得出底边长y与腰长x的函数解析式,

再根据三角形三边的关系确定义域即可.

【解答】解：..,等腰三角形的周长等于20,底边长y,腰长x,

.,.2x+y=20,

/.y=20-2x,

,••两边之和大于第三边，

，2x>20-2x

x+20-2x〉x'

解得5<x<10.

故选C.

【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据

三角形周长的定义列出方程是解答本题的关键.

17.下列问题中，两个变量成正比例的是（）

A.圆的面积S与它的半径r

B.正方形的周长C与它的边长a

C.三角形面积一定时，它的底边a和底边上的高h

D.路程不变时，匀速通过全程所需要的时间t与运动的速度v

【考点】正比例函数的定义.

【分析】根据正比例函数的定义计算.

【解答】解：A、圆的面积=11〉半径一不是正比例函数，故本选项错误；

B、正方形的周长=边长X4,是正比例函数，故本选项正确；

C、三角形面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系s=aah,不是正比例函数，故本选项错

误；

D、设路程为s,则依题意得s=vt,则v与t不是正比例关系.

故选B.

【点评】本题考查正比例函数的定义：一般地，两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx

（k为常数，且k手0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数.

18.如图，在△ABC中，AB=AC,NA=120°,如果D是BC的中点，DELAB,垂足是E,那么AE：BE

的值等于（）

E

A.

35

【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质.

【分析】连接AD,根据直角三角形的性质得到AD=^AB,AE=《AD,得到AE=^AB,结合图形得到答

224

案.

【解答】解:连接AD,

■.,AB=AC,NA=120°,

ZBAD=60°,NB=30°,

.,.AD=—AB,AE=—AD,

22

.-.AE=—AB,

4

.'.AE：BE」，

3

故选:A.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半.

三、（本大题共有7题，满分60分）

19.计算：（而铲6停-（虐-瓦）.

【考点】二次根式的加减法.

【分析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式得出答案.

【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键.

20.用配方法解方程:3x2+6x-1=0.

【考点】解一元二次方程配方法.

【分析】先把方程两边都除以3,使二次项的系数为1,然后再配上一次项系数一半的平方，利用配

方法解方程.

【解答】解：把方程x?+2x-的常数项移到等号的右边，得

x2+2x=—,

3

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得

,1

X+2x+1=—+1

3

配方得(x+1)J最，

开方得X+仁士手，

解得x=±2叵-1.

3

【点评】本题考查了配方法解方程.配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1;

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

21.已知y=%+yz,人与x成正比例，%与x-2成反比例，且当x=1时，y=-1；当x=3时，y=5.求

y与x的函数关系式.

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；二元一次方程的解.

【专题】待定系数法.

【分析】根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的

系数则可.

k9

【解答】解：设当=«(k#0),y2=——

x-2

.•.y=k|X+—J

x-2

•..当x=1时，y=-1；当x=3时，y=5,

’如=1

k2=2

所以y=x+------

x-2

【点评】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，难度稍大.

22.已知：如图，在AABC中，ZACB=45°,AD是边BC上的高，G是AD上一点，联结CG,点E、F

分别是AB、CG的中点，且DE=DF.求证：4ABD且ACGD.

【考点】全等三角形的判定；直角三角形斜边上的中线.

【专题】证明题.

【分析】先根据直角三角形的性质，得到AB=GC,再根据等腰直角三角形的性质，得到AD=CD,最后

判定RtAABD^RtACGD即可.

【解答】证明：TAD是边BC上的高，点E、F分别是AB、CG的中点，

.-.DE=—AB,DF=&C,

22

•.'DE=DF,

.,.AB=GC,

；NACB=45°,AD是边BC上的高，

ZCAD=45°,

ZCAD=ZACD,

.,.AD=CD,

在RtZXABD和RtZ\CGD中,

AD=CD

AB=CG'

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定方法，证明时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等

于斜边的一半，即直角三角形的外心位于斜边的中点.

23.已知：如图，在aABC中，ZACB=90°,AD为AABC的外角平分线，交BC的延长线于点D,且

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】过点D作DE_LAB,垂足为点E,由“在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可

知DE=DC,再证明RtZkACDgRtZXAED,由此可得AC=AE,在证明BE=DE即可.

【解答】证明：过点D作DE_LAB,垂足为点E,

又；NACB=90°（已知），

.'.DE=DC（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.

在RtAACD和RtAAED中

DE=DC（已证）

'AD=AD（公共边）

.,.RtAACD^RtAAED（H.L）.

；.AC=AE,NCDA二NEDA.

ZB=2ZD（已知），

ZB=ZBDE.

，BE=DE.

又：AB+AE=BE,

.,.AB+AC=CD.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线使得AB与AC在同一条直线上才好

证AB+AC=CD.

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线与反比例函数y=k«丰0)的图象交于点A,

x

且点A的横坐标为1,点B是x轴正半轴上一点，且AB_LOA.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求点B的坐标；

(3)先在NA0B的内部求作点P,使点P到NA0B的两边0A、0B的距离相等，且PA=PB；再写出点

P的坐标.(不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点P)

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】(1)利用待定系数法先求出点A纵坐标，再求出反比例系数k即可.

(2)过点A作AC，OB_L,垂足为点C,在RT4A0C中先求出0A,再在RT^AOB中求出0B即可解决

问题.

(3)画出NAOB的平分线0M,线段AB的垂直平分线EF,0M与EF的交点就是所求的点P,设点P

(叫返m),根据PA2=PB2,列出方程即可解决问题.

3

【解答】解：(D由题意，设点A的坐标为(1,m),

•・•点A在正比例函数y=«x的图象上，

・,山=正.，点A的坐标(1,向)，

•・・点A在反比例函数y=k的图象上，

X

Vs=y-，解得

・•.反比例函数的解析式为厂区.

x

(2)过点A作AC_LOB_L,垂足为点C,

可得0C=1,AC二风.

,/AC±OB,

ZAC0=90°.

由勾股定理，得A0=2,

.-.OC=yAO,

/.Z0AC=30°,

/.ZAC0=60°,

•.'AB±OA,

Z0AB=90°,

/.ZAB0=30°,

/.0B=20A,

二•OB=4,

・•.点B的坐标是(4,0).

(3)如图作NAOB的平分线0M,AB的垂直平分线EF,0M与EF的交点就是所求的点P,

•/ZP0B=30°,

二可以设点P坐标(m,4m),

'.•PA2=PB2,

(m-1)2+2-(m-4)2+(^^m)2,

解得m=3,

【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，直角三角形中30度角所对的直角边等于

斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用两点

间距离公式列方程解决问题，属于中考常考题型.

25.如图，在AABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE,过点D作DF_LDE交边BC于

点F(点F与点B、C不重合)，延长FD到点G,使DG=DF,联结EF、AG,已知AB=10,BC=6,AC=8.

(1)求证:AC±AG；

(2)设AE=x,CF=y,求y与x的函数解析式，并写出定义域；

(3)当ABDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长.

【考点】三角形综合题.

【分析】(1)根据勾股定理的逆定理得到4ABC是直角三角形，由D是AB的中点，得到AD=BD,根

据全等三角形的性质得到N