2022-2023学年广东省深圳某中学高二（上）期中数学试卷

2022-2023学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷

1.复数f-（i是虚数单位）的虚部是（）

1—1

A.1B.iC.D.i

2.直线低+1=0的倾斜角为（）

A.30°B,60°C.120°D.150°

3.已知某圆锥的底面圆半径为5,它的高与母线长的和为25,则该圆锥的侧面积为（）

A.157rB.207rC.607rD.657r

4.己知五花为不共线的非零向量，AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b,则（）

A.A,B,C三点共线B.A,B、力三点共线C.B,C,。三点共线

D.A,C,力三点共线

5.已知：空间四边形ABC。如图所示，E、尸分别是48、4。的中点，G、，分别是BC,CD

上的点，且CG=4BC,CH=^DC,则直线FH与直线EG（）

6.记△力BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=[c=6於，且△ABC有两解，

o

则b的值可能是（）

A.3V3B.4V3C.6V3D.7V3

7.如图，在正方体力BCD-ABiGDi中，E是棱CCi的中点，F是

侧面BCCiBi内的动点，且4/与平面ZME的垂线垂直，则下列说,

法不正确的是（）

A.aF与DiE不可能平行

B.&F与BE是异面直线

C.点F的轨迹是一条线段A

D.三棱锥F-ABDI的体积为定值

8.若对圆0—1）2+（y—1）2=1上任意一点P（x,y）,|3x-4y+a|+|3x-4y—9|的取值与

x,y无关，则实数。的取值范围是（）

A.a<4B.—4<a<6C.a<-4或a>6D.a>6

9.已知椭圆C：16x24-4y2=1,则下列结论正确的是（）

A.长轴长为:B.焦距为f

24

C.焦点坐标为（0,士苧）D.离心率为苧

10.已知方程产+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0,则下列选项中a的值能满足方程表示圆

的有（）

A.-1B.0C.~D.-2

11.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的p

研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4//

米（如图所示），水轮中心。距离水面2米，水轮每60秒按逆时针/0/\

转动一圈，如果水轮上点尸从水中浮现时（图中P。）开始计时，则（）-----

A.点尸第一次达到最高点，需要20秒

B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米

C.在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米

D.点尸距离水面的高度八（米）与t（秒）的函数解析式为九=4sin（象-朗+2

12.已知正四棱柱4BC0-48=2,=a,点M为CQ点的中点，点P为上底

面4&GD1上的动点，下列四个结论中正确的为（）

A.当a=6且点P位于上底面的中心时，四棱柱P-4BCD外接球的表面积为竽

B.当a=2时，存在点P满足PA+PM=4

C.当a=2时，存在唯一的点P满足乙4PM=90。

D.当a=2时，满足BPJ.4M的点P的轨迹长度为近

13.已知|五|=4,|石|=3,a-b=-6,贝腺与方所成的夹角大小是.

14.空间向量句=（1,1,1）,K=（l,o,l）.c=（1,2,zn）,若三个向量苍,b,玦面,则实数〃?的

值为.

15.在四面体P-ABC中，PC1平面A8C,P4=PB=5,PC=4,48=3或，则四面体P-ABC

外接球的表面积为.

16.&、尸2是桶圆氏，+，=l（a>b>0）的左、右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x

轴上，满足NFIMN=4F2MN=60°,若3丽+5为弓=AMN,则椭圆E的离心率为.

17.求经过点4（-2,b）和点8（1,2遮）的椭圆的标准方程.

18.已知圆C：x2+（y—I）2=5,直线/：mx—y+1—m=0.

（1）求证：对me/?,直线/与圆C总有两个不同的交点；

（2）设直线/与圆C交于A、2两点，若|48|=g,求m的值.

19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCO为边长为2的菱形且对角线AC与8。交于点O,

Z.DAB=60°,POABCD,点E是PC的中点.

⑴求证：AP〃平面BQE；

(2)若三棱锥P-BOE的体积为次，求0P的长.

r2_n2

20.△4BC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知A为锐角，sinB-cosC=

lab

(1)求A；

(2)若6=(，且BC边上的高为2次，求△ABC的面积.

21.如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCO垂直，P是半圆弧上一点(端点除外)，AD

是半圆的直径，AB=1,AD=2.

(1)求证：平面P4B_L平面PAC；(2)是否存在P点，使得二面角B-PC-D的正弦值为苧？

若存在，求四棱锥P-ABCD的体积；若不存在，说明理由.

1

22.曲线r上动点M到4(一2,0)和到B(2,0)的斜率之积为-".

(1)求曲线r的轨迹方程；

(2)若点p(&,yo)(yo,。)为直线％=4上任意一点，PA,PB交椭圆r于c,。两点，求四边形

ACBO面积的最大值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解「.吉=君岛="3，

.・•复数4（i是虚数单位）的虚部是:.

故选：C.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简后得答案.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：直线乃》+\[2y—1=0整理得y=-y/3x+圣

故tan9=-V3,

由于。G[0,180"）.

故。=120°.

故选：C.

直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的夹角.

本题考查的知识要点：直线的方程之间的转换，直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运

算能力和数学思维能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：设圆锥的高为九母线长为/,

由题意得出？2,解得，=13.

.••圆锥的侧面积为S=兀X5x13=657r.

故选：D.

设圆锥的高为人，母线长为/,由题意列方程组求解/,再由圆锥侧面积公式求解.

本题考查圆锥侧面积的求法，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：■■-AB=a+5b,BC=-2a+8b,

.•.不存在九使荏=4就，

故A,B,C三点不共线，

故选项A错误；

BD-BC+CD=a+5b,

AB=BD,

.■.A,B、。三点共线，

故选项B正确；

"JC=-2a+8b,CD=3a-3b,

.•・不存在九使而=2万，

故8,C,。三点不共线，

故选项C错误；

"AC=AB+BC=-a+13b,CD=3a-3b,

.•・不存在九使旅=2万，

故A,D,C三点不共线，

故选项。错误；

故选：B.

利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可.

本题考查了向量共线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平行线分线段成比例定理，根据已知条件，判断出E尸〃HG且EFKHG,是解答本题的

关键.属于基础题，

由己知EF为三角形A8。的中位线，从而且EF=劭0,由CG=^BC,CH=^DC,得在

四边形E/7/G中，EF//HG,即E,F,G,//四点共面，且EFrHG,由此能得出结论.

【解答】

解：•••四边形A2C。是空间四边形，E、P分别是A&AO的中点，

•••EF为三角形ABO的中位线，

EF//BDS.EF=^BD,

又,•・CG=^1BC,1CH=：DC,

•••△CDB,S.HG//BD,HG=^BD,

.•.在四边形E77/G中，EF//HG,

即E,F,G,”四点共面，且EFKHG,

.,・四边形EFG//是梯形，

直线尸”与直线EG相交,

故选B.

6.【答案】B

【解析】解：过4点作401BC,垂足为。，如图所示:

因为c=6g,B=g且使得角C有两个解，

所以4。<b<AB,即csinB<b<c,

所以3遮<b<6V3.

故选：B.

根据题意画出图形，结合题意求出6的取值范围，即可得出正确的选项.

本题考查了解三角形的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题.

7.【答案】A

【解析】解：设平面。14E与直线8c交于G,连接AG,EG,

则G为8c的中点，分别取BiB,&G的中点M,N,

连接&M,MN,ArN,

如图，r&AV/DiE,&MC平面M4E,u平面Dp4E,

.•・&M〃平面DiAE,同理可得MN〃平面DiAE,

又4M、MN是平面4MN内的两条相交直线，

二平面4MN〃平面DiAE,而4/7/平面DME,二A/u平面&MN,

得点F的轨迹为一条线段，故C正确；

并由此可知，当尸与M重合时，4/与D】E平行，故A错误；

••・平面&MN〃平面Di4E,BE和平面相交，•••&F与BE是异面直线，故B正确；

•­•MN//EG,则点F到平面Dp4E的距离为定值，.•.三棱锥F—ABDi的体积为定值，故。正确.

故选：A.

设平面OME与直线BC交于G,连接AG,EG,则G为BC的中点，分别取&B,当酊的中点M,

M连接&M,MN,A/,证明平面4MN〃平面。通心即可分析选项A8C的正误；再由MN〃EG,

得点F到平面。送E的距离为定值，可得三棱锥F-4BD1的体积为定值判断D.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，考查推理

论证能力，是中档题.

8.【答案】D

【解析】解：设z=|3x-4y+可+|3x-4y-

QI_匚/3x_4y+a|,|311-9卜

j32+42^32+42

故|3x-4y+a\+\3x-4y-9|可以看作点

P(x,y)到直线

m：3x—4y+a=0与直线/：3x—4y—9=0距

离之和的5倍，

：|3x—4y+可+|3x-4y-9］的取值与x,y无

关，

这个距离之和与点P在圆上的位置无关,

如图所示：可知直线，”平移时，

P点与直线机，/的距离之和均为相，/的距离,

即此时圆在两直线内部，

当直线加与圆相切时，当f+a]=1,

j32+42

化简得|a-l|=5,

解得a=6或a=-4（舍去），

a>6.

故选：D.

由题意可得故|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作点P到直线〃?：3x-4y+a=0与直线/：3x-

4y-9=0距离之和的5倍，进一步分析说明圆位于两直线内部，再由点到直线的距离公式求解

直线3x-4y+a=0与圆相切时的4值，则答案可求.

本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想方法，属于难题.

9.【答案】CD

【解析】解：椭圆G：16合+4丫2=1,则标准方程为：竿+牛=1,

164

可得焦点在y轴上，且。2=；,c2=a2-b2=可得c=手

所以长轴长2a=2x：=1,故4不正确；

焦距2c=2x苧=条所以B不正确；

焦点坐标（0,士《）,所以C正确；

离心率6=（=等=与，所以。正确；

故选：CD.

将椭圆的方程化为标准方程，可得焦点所在的轴及“，匕的值，再由“，h,C之间的关系求出C的

值，进而可判断所给命题的真假.

本题考查椭圆的标准方程的化简及性质，属于基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：方程/+产一+2ay+2a2+a-1=0,表示圆,

可得a?+4a2—4（2ci2+a-1）>0,解得a€（-2,§,

故选：ABC.

化简圆的一般方程，求解半径，即可得到选项.

本题考查圆的一般方程的应用，是基础题.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用，考查y=Asin3x+g）型函数的图象和性质，考查运算求解能力，

是中档题.

由题意设出函数解析式/i=4sin（3t+0）+8,由最大值与最小值列式求得A与3的值，由周期

求得3,再由t=0时，h=0求解仍得到函数解析式，进而根据函数解析式即可求解.

【解答】

解：设点P距离水面的高度为无（米）和t（秒）的函数解析式为h=Asin（3t+3）+B（A>0,3>

0，1刎V9

由题意，"max=6，/imin=一2,

•53,解得｛*,

•­,T=—=60,・••侬=冬=器则九-4sin忌t+口）+2・

a）T30、30丁/

当£=0时，九=0,・•・4sin@+2=0,则sin（p=一标

又・,・>=/

九=4sin篇t一卷）+2,故。正确；

令/i=4sin（养七一强+2=6,0<t<60,

,.sin篇"》=1，得”20秒,故A正确;

当t=155秒时，h=4sin（^x155-^）+2=4sin57r4-2=2,故8正确；

4sin（^-xt—g）+2>2,令0V^xt-g<7r,解得5<t<35,

DUo3Uo

故有30秒的时间，点尸距水面超过2米，故C错误.

故选：ABD.

12.【答案】ACD

【解析】解：对于A，设正方形ABC。的中心为H,。为球心，。在P”线段上,

因为4B=2,所以，BH=V2,且PH=a=g,

设外接球半径为R,则OP=OB=R,

在RtABOH中，可得R2一（收一/?）2=2,解得R2=1|,

所以，四棱柱P-ABCD外接球的表面积为4兀/?2=等，A正确；

当a=2时，以4为坐标原点，AB1，&D1，4送所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

所以4(0,0,2),M(2,2,l),B(2,0,2),

因为P为上底面上的动点，设P(m,科0),且0W7HW2,0<n<2,

对于&点M关于平面的对称点为M'(2,2,-1),4M'=V22+22+32=g>4,

所以不存在点尸满足PA+PM=4,B错误;

对于C,AP—(m,n,—2),MP=(m-2,n—2,—1),

因为而■MP=m2—2m+n2—2n+2=(m—I)2+(n—I)2,

当且仅当m=l,n=l时，AP-MP=0,所以AP1MP,

故当a=2时，存在唯一的点尸满足44PM=90。，C正确；

对于。，BP=(rn-2,n,-2),AM=(2,2,-1),

若BPIAM,则有而•加=2m-4+2。+2=2m+2?1-2=0,即?n+n=l,

又因为04THW2,0<n<2,所以，点P的轨迹长度为-F+/=或,。正确；

故选：ACD.

设外接球半径为凡在直角三角形中利用勾股定理建立方程，求解可判断4

建空间直角坐标系，得到力(0,0,2),M(2,2,l),B(2,0,2),P为上底面为B1CW1上的动点，可设

P(m,n,0),且0<m<2,0<n<2,进而对各个选项进行计算验证，即可判断并得到答案.

本题考查了立体几何的综合计算问题，属于中档题.

13.【答案】y

【解析】解：设为与方所成的夹角大小是6,。6[0,初,

v|a|=4,|b|=3,a-b=-6,

而_-6___1

・•・COS0=

|a||E|"4x3"~2f

27r

故答案为：—.

根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解.

本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：若五=(1,1,1),b=(1,0,1),1=(l,2,m)共面,

则存在实数九〃使得=Aa.+fib=(2+〃,〃,/1+〃)，

故此

所以m=1.

故答案为：1.

由已知结合向量共面的条件即可求解.

本题主要考查了向量共面的应用，属于基础题.

15.【答案】347r

【解析】解：如图所示,

PCABC,PA=PB=5,PC=4,由勾股定理得，AC=BC=3,

又AB=3V2,得4c2+BC2=AB2t则41BC,

设外接球的半径为R,则(2R)2=PC2+AC2+BC2=34,解得R=等，

所以外接球的表面积为S=4TTR2=34兀，

故答案为：347r.

根据线面垂直的性质定理及勾股定理，结合长方体的体对角线为外接球的直径，求出半径，再利

用球的表面积公式即可求解.

本题主要考查棱锥的外接球表面积，属于中档题.

16.【答案】\

O

【解析】解:由题意可设F1(-C,O),尸2(60)，MQoJo)，W(%1，O)(-C<Xi<c)；

_

则：3MF；+5MF；=(-3c-3x0,-3y0)+(5c-5x0/5y0)=(2c-8x0,-8y0)，

AMN=(Axx—Ax0,-Ay0),

由3福+5丽=4丽可得：吃-产1-啊解得，二%即Ng。)；

(一即。=_Qo-44

由NF1MN=乙F2MN=60°,可知MV是NF1MF2的角平分线，

可得M=M=b=

IF2MIF2Ml33'

4

又|&M|+|F2MI=2a,则16Ml=为，|F2M|=*a；

在40MF2中：C0S4&MF2=印)+浮J—=cosi20。=-1,解得：-=1

2X沁制2a8

故答案为：7

O

先由3研+5研=AWV,可解得N(J,O),然后利用角平分线的性质可求得|BM|=Ja,|F2Ml=

在^&MF2中利用余弦定理即可求出离心率?的值.

本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面向量的坐标运算，是中档题.

17.【答案】解：设椭圆的标准方程为：5+9=1，皿>°，"°，

该椭圆经过点/(-2,百)和8(1,2次)，

生+三=1(-=-

可得:、仁「叱二5，

所以椭圆方程为：［+1=1,

即所求椭圆方程为：f1+y=l.

故答案为：4+1=1.

【解析】设出椭圆方程，利用已知条件，列出方程组求解即可.

本题考查椭圆方程的求法，是基础题.

18.【答窠】解：⑴•••直线/：y-1=m(x-1)过定点P(l,l),

且|PC|=V(i-o)2+(i-i)2=1<V5,即P点在圆C内，

•・•直线/与圆C总有两个不同的交点；

⑵•••圆半径r=V5,\AB\=V17,

二圆心(0,1)到/的距离d=卜_(鸣2=M，即"L=暂，

NZzVmz+1乙

解得：m=±V3.

【解析】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，

垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

(1)直线/解析式变形后得到直线/恒过(1,1)点，而(1,1)点在圆C内，即可确定出直线/与圆C总

有两个不同的交点；

(2)由圆的半径及弦长.利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线的距离d,利用点到直线的距离

公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值.

19.【答案】（1）证明：连接。E,

•••。是AC的中点，£是PC的中点，

OE//AP,

又AP仁平面BDE,OEu平面BDE,

4P〃平面BDE-,

(2)解：•・•点E是PC的中点，

1

•••^E-PBD=2^C-PBD，

乂4-PBD=^P-BDE=V3,

•••^C-PBD=2>/3=Vp-BCD'

•・•底面ABCD为边长为2的菱形且乙ZMB=60°,

**,SABCD=5x2x2x—=V3,

又PO，底面ABC。，

•••VP-BCD=xV3xPO=2⑰,

・•・PO=6.

【解析】（1）连接OE,根据。是AC的中点，E是PC的中点，得到0E〃4P,即可得证；

（2）根据点E是PC的中点，得到/_PHO=3%.P80,又%-PBD=2V3=Vp_BCD，P°，底面48。,

代入棱锥体积公式即可求解.

本题考查了线面平行的证明和三棱锥体枳的应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)因为sinB-cosC=}j,所以2absinB=c2-a2+2abeosC,

2222

由余弦定理得，c=a+b-2abeosC,所以2absinB=b9即2asin8=b,

由正弦定理得，-7=」^，所以2sinAsinB=sinB,

因为8为三角形ABC内角，所以sinB>0,故sin力=9，由A为锐角，A=1

L6

(2)由题意得，S=-2V3=^besinA=争所以be=4V3a,

因为b=*,所以c2=16a,b2=^=3a,

由余弦定理得，cos4=的萨=嘿等=第=亭解得a=7，

所以S=V3a=7A/3.

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式.属于基础题.

(1)由已知结合正弦定理，余弦定理进行化简可求sin4进而可求4；

(2)由已知结合三角形面积公式可得a,b,c之间关系，然后结合余弦定理可求”，再由三角形面

积公式可求.

21.【答案】解：(1)证明：・.•半圆所在的平面与矩形所在平面

A8C。垂直，

又DC14D,又半圆所在的平面与矩形所在平面A8C。的交

线为AD,

S.DCu面ABCD,

DC垂直半圆所在的平面，又PA在半圆所在的平面内，

■.DCLPA,又P是半圆弧上一点(端点除外)，AD是半圆的直径,

PAA.PD,且DCnPD=D,

•••PA，平面PDC,又P4u平面PAB,

平面PAB，平面PDC-,

(2)建系如图，根据题意可得：

4(1,0,0),5(1,1,0),€(-1,1,0),设P(cos8,0,sin。)，9G(0,7r),

由(1)知平面EDC的法向量元=AP=(cos0-1,0,sin。)，

又正=(一1-cosO,l,-sinJ),CB=(2,0,0),

设平面尸BC的法向量为访=(x,y,z),

则行.PC=(-l-cos0)x+y-zsin。=0,取沅=9通仇1),

Im-CF=2%=0

若二面角B-PC-。的正弦值为冬则二面角B-PC-。的余弦值的绝对值为卷

|cos<mfn>I=I:"6==

Jsin20+lxJ(cos-l)2+sin20

Vl-cos201

■■■———=—,

V2—cos20xV2—2cos02

Vl+cos^