中考数学二轮复习 重难点07 三角形的6种模型（A字、8字、飞镖、老鹰抓小鸡、双角平分线模型、三角形折叠）（原卷版）

重难点突破07三角形的6种模型（A字、8字、飞镖、老鹰抓小鸡、双角平分线模型、三角形折叠）目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01A字模型题型028字模型题型03飞镖模型题型04老鹰抓小鸡模型题型05双角平分线模型题型06三角形折叠模型题型01A字模型【模型介绍】图形像“A”字，故曰“A”字模型.已知图示结论（性质）已知△ABC，延长AB至D，延长AC至E∠1+∠2=∠A+180°1．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1=125°，则∠2的度数为（

）A．35° B．40° C．45° D．55°2．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（）A．210° B．110° C．150° D．100°3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（

）结论①：变成五边形后外角和不发生变化；结论②：变成五边形后内角和增加了360°；结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°；

A．只有①对 B．①和③对 C．①、②、③都对 D．①、②、③都不对4．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2=度．5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在四边形纸片中，∠D＝50°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1

6．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证∠DBC+∠ECB=180°+∠A．题型028字模型【模型介绍】图形像“8”字，故曰“8”字模型.已知图示结论（性质）已知AD，BC相交于O∠A+∠B=∠C+∠D已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD∠P=12(∠B+∠7．（2023下·北京海淀·七年级北京市十一学校校考期中）如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD．下列结论正确的是（

）A．∠BOD=∠B B．∠AOC<∠DC．∠BOD=∠C+∠D D．∠AOC=∠A+∠C8．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C=28°，∠D=22°，则∠P的度数为（）

A．22° B．25° C．28° D．30°9．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，AD与BC交于点O，甲、乙两人要证明∠A+∠B=∠D+∠C，做法如下：甲：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角，∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C，故得证．乙：作一圆通过A，B，C，D四点，∵∠A与∠C对同弧BD，∠B与∠D对同弧AC．∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=∠D+∠C．对于甲、乙两人的做法，以下结论正确的是（

）A．甲、乙两人的做法都是正确的 B．甲的做法正确，乙的做法错误C．乙的做法正确，甲的做法错误 D．甲、乙两人的做法都是错误的10．（2023·陕西榆林·统考一模）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D．(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D=°．(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．11．（2020·全国·九年级专题练习）阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．12．（2020·全国·九年级专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．13．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．14．（2021下·江苏苏州·七年级苏州市第十六中学校考阶段练习）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如图②，AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD，若∠ABC=36°,∠ADC=16°，求∠P的度数．（3）如图③，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=α,∠ADC=β，则∠P=________用α、β的代数式表示）15．（2019下·河南新乡·七年级校联考期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．题型03飞镖模型【模型介绍】图形像“飞镖”，故曰飞镖模型.已知图示结论（性质）已知四边形ABCD∠C=∠A+∠B+∠D已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC∠O=12(∠A+∠16．（2013·湖北鄂州·中考真题）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（

）A．165° B．120° C．150° D．135°17．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点F是△ABC的内心，连接BF，CF，若∠BFC=112°，则∠A=（

）A．44° B．45° C．50° D．55°18．（2023上·河北邯郸·八年级统考期末）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD（填“增大”或“减小”）°．19．（2023·河北邯郸·统考一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不变，则将图中∠D20．（2021·全国·九年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是（

）．A．72° B．70° C．65° D．60°21．（2021·全国·九年级专题练习）如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．22．（2019·全国·九年级专题练习）如图，ΔABC(1)若∠ABC、∠ACB的三等分线交于点O1、O2，请用∠A表示∠BO(2)若∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2⋅⋅⋅⋅⋅⋅On−1（O1、O223．（2020下·七年级统考课时练习）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，直接写出②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、⋯24．（2021下·江苏镇江·七年级统考期中）模型规律：如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，则∠BOC=__________°；②如图3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展应用：①如图4，∠ABO、∠ACO的2等分线（即角平分线）BO1、CO1交于点O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如图5，BO、CO分别为∠ABO、∠ACO的10等分线(i=1,2,3,…,8,9)．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，则③如图6，∠ABO、∠BAC的角平分线BD、AD交于点D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，则∠ADB=__________°；④如图7，∠BAC、∠BOC的角平分线AD、OD交于点D，则∠B、∠C、∠D之间的数量关系为__________．题型04老鹰抓小鸡模型已知图示结论（性质）∠A+∠O=∠1+∠2口诀：腋下两角之和等于上下两角之和∠A+∠O=∠2-∠125．（2019上·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°26．（2022上·湖北恩施·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，∠A=60°，∠1=96°，则∠2的度数为（

）A．30° B．24° C．25° D．26°27．（2020下·江苏常州·七年级校联考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于(

)A．40° B．60° C．80° D．140°28．（2022下·河南南阳·七年级校考阶段练习）如图，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，将纸片折叠，使点C，D落在AB边上的点C'，D'处，折痕为EF，则∠1+∠2=（

A．40° B．50° C．60° D．70°29．（2023下·河南郑州·八年级校考开学考试）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1−∠2）与∠A的数量关系．

(1)如图①，若∠A＝60°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝．(2)如图②，翻折后，点A落在点A'处，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C(3)如图③，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠1=80°，∠2=28°，则∠A的度数为30．（2022下·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．(1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．(2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．31．（2019下·江苏宿迁·七年级校联考期中）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C’的位置，（1）①若∠1=200,∠2=50②若∠C=420，则∠1+∠2=③探索∠C、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；（2）直接按照所得结论，填空：①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=；②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则∠1+∠2+⋯+∠8=；③若将n边形A1A2A（3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC边AC上方点C'的位置，探索∠C、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由.题型05双角平分线模型已知图示结论（性质）已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB∠D=90°+12∠已知BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB∠D=90°-12∠已知BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD∠E=12∠32．（2023·青海·统考一模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC的度数是．33．（2023·山东青岛·统考一模）【阅读理解】三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于180°．如图②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，点D是AB延长线上一点．由平角的定义可得∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【初步应用】如图③，点D，E分别是△ABC的边AB，（1）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠ACB=______（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠CBD+∠BCE=______（3）若∠A=m°，则∠CBD+∠BCE=______°．【拓展延伸】如图④，点D，E分别是△ABC的边AB，（4）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC=______°；（5）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的三等分线交于点O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13（6）若∠A=m°，分别作∠CBD和∠BCE的n等分线交于点O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n34．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．35．（2021·全国·九年级专题练习）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD36．（2021·全国·九年级专题练习）（1）如图所示，在△ABC中，BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，证明：∠BOC=90°+1（2）如图所示，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：∠BDC=90°−1（3）如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：∠D=137．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.①当∠A=60∘时，求②猜想∠A与∠D有什么数量关系？并证明你的结论.（2）如图（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.

题型06三角形折叠模型已知图示结论（性质）将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在线段AC上时∠2=2∠C将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠2将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时2∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2-∠38．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，在△ABC中，∠A=20°，D为AB的中点，E为AC边上一点，将△ADE沿着DE翻折，得到△A'DE，连接A'B．当A39．（2023·江西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A'处，若A'P∥AC，则40．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，有