高一寒假(清北班)材料1(函数的周期性)

...wd......wd......wd...专题一：函数的周期性〔一〕函数的周期性对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么为周期函数，为这个函数的一个周期。假设为一个周期，那么也为周期。假设周期函数的正周期中有一个最小者，这个周期就叫最小正周期。〔1〕函数对任意实数，都有，那么是的一个周期。证明：因为，所以，，所以是以为周期的周期函数。〔2〕函数对任意实数，都有，那么是的一个周期。证明：因为，令，那么，于是对于恒成立，所以是以为周期的周期函数。〔3〕函数对任意实数，都有，那么是的一个周期。证明：由，所以是以为周期的周期函数。〔4〕函数对任意实数，都有，那么是的一个周期。证明：由，于是，所以是以为周期的周期函数。如：还有“〞、“〞等也是周期函数。〔二〕函数的对称性与周期性及关系：〔1〕函数对于定义域上的任意，如果都有或，那么函数关于直线对称，反之也成立。〔2〕函数对于定义域上的任意，如果都有或，那么函数关于点对称，反之也成立。〔3〕一般地，函数有两种及以上的对称性时，那么函数是周期函数。〔详见补充中的定理3〕如：函数对任意实数，都有且，那么是的一个周期。证明：不妨设，于是，∴是的一个周期；当时同理可得。所以，是的周期。补充：定理1：函数的图象关于点对称的充要条件是。证明：〔必要性〕设点是图象上任一点，∵点关于点的对称点也在图象上，∴，即，故，必要性得证。〔充分性〕设点是图象上任一点，那么，∵，∴，即。故点也在图象上，而点与点关于点对称，充分性得征。推论：函数的图象关于原点对称的充要条件是。定理2：函数的图象关于直线对称的充要条件是，即。〔证明留给读者〕推论：函数的图象关于轴对称的充要条件是。定理3：①假设函数图象同时关于点和点成中心对称，那么是周期函数，且是其一个周期。②假设函数图象同时关于直线和直线成轴对称，那么是周期函数，且是其一个周期。③假设函数图象既关于点成中心对称又关于直线成轴对称，那么是周期函数，且是其一个周期。①的证明留给读者，②已证明，以下给出③的证明：∵函数图象既关于点成中心对称，∴，用代得：…………〔*〕又∵函数图象直线成轴对称，∴代入〔*〕得：…………〔**〕，用代得代入〔**〕得：，故是周期函数，且是其一个周期。1．函数的周期性：例1．是实数集上的函数，且对任意恒成立。〔1〕求证：是周期函数；〔2〕，求的值。变式训练〔1〕设偶函数对任意，都有，且当时，，那么的值是〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕〔2〕，定义，那么〔〕A．B．C．D．2．函数奇偶性、周期性、对称性与综合应用：例2．〔1〕定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，那么的值为〔〕 A． B． C．0 D．1〔2〕是定义在上的且以2为周期的偶函数，当时，，如果直线与曲线恰有两个交点，那么实数的值是〔〕A.B.C.或D.以上答案都不对〔3〕函数是定义域为的周期为的奇函数，且当时，那么方程在区间上的解的个数是。〔4〕定义在R上的偶函数满足：①对任意都有成立；②；③当且时，都有．那么：〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕假设方程在区间上恰有３个不同实根，那么实数的取值范围是________。例3．设函数在上满足，且在闭区间上，只有。〔1〕试判断函数的奇偶性；〔2〕试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。例4．函数是定义域为的奇函数，且它的图象关于直线对称。〔1〕求的值；〔2〕证明函数是周期函数；〔3〕假设，求时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。例5．函数是定义在上的偶函数，且对任意实数，都有成立。当时，。〔1〕求时，函数的表达式；〔2〕求时，函数的表达式；〔3〕假设函数的最大值为，解关于的不等式。例6．设是定义在区间上的函数，假设对任何实数以及中的任意两个实数恒有那么称为定义在上的“函数〞.〔1〕试判断函数是否为各自定义域上的函数，并说明理由；〔2〕假设是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数.课后作业1．设是上的奇函数，，当时，，那么〔〕A.B.C.D.2．函数为奇函数，函数为偶函数，且，那么＝__________。3．设f〔x〕是R上的奇函数，它在[-1，0]上是增函数，且，那么〔〕A．＜f〔1〕＜B．＜f〔1〕＜C．＜＜f〔1〕D．＜＜f〔1〕4.定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期。假设将方程在闭区间上的根的个数记为，那么可能为〔〕A.0 B.1 C.3 D.55．是周期为2的奇函数，当时，，设那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6.〔安徽卷〕函数对于任意实数满足条件，假设那么_______________。7．是定义在上的偶函数，且在上是增函数，那么与的大小关系是____________________。8．是定义在R上的函数，且，假设，那么的值为__________________。9．函数是上的奇函数，满足，当∈〔0，3〕时，那么当∈〔，〕时，=〔〕A.B.C.D.10．假设存在常数，使得函数满足，那么的一个正周期为_____。11．函数f(x)的定义域为R，且,那么f(2006)=__________。12．〔08四川〕设定义在上的函数满足，假设，那么〔〕A．13 B．2 C． D．13.在上定义的函数是偶函数，且，假设在区间上是减函数，那么〔〕Ａ.在区间上是增函数，在区间上是增函数Ｂ.在区间上是增函数，在区间上是减函数Ｃ.在区间上是减函数，在区间上是增函数Ｄ.在区间上是减函数，在区间上是减函数14．定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，那么的值为〔〕A． B． C．0 D．115．函数〔xR〕满足，且x[-1，1]时，,那么与的图象的交点个数为〔〕A．2B．3C．4D．516．定义在R上的奇函数f(x)以4为周期，那么的值为____.17.设f(x)是定义在R上的偶函数，且,当－1≤x≤0时，，那么_________。18.设f(x)是定义在区间(－∞,＋∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用表示区间(2k－1,2k+1],x∈时，，求f(x)在上的解析式。课后作业答案1．2．周期为8，故。3．D4.Ｄ提示：，，故。5．D提示：是周期为2的奇函数，当时，，设，，<0，∴，选D。6.解：由得，所以，那么。7．提示：∵在上是偶函数，且，∴，∴，∴是以2为周期的偶函数，∴,。又∵在(0.1)上是增函数，0.1与0.2且,∴，∴。8.解：，即函数的周期为8，故。9.B10．提示：令，依题意有，此式对任意都成立，而>0且为常数，因此，说明是一个周期函数，为最小正周期。11．12．C13.Ｂ 14．D15