对角行列式总结

对角行列式总结第1篇对角行列式总结第1篇1.主对角行列式

D=\begin{vmatrix}a_{11}&&\\&\ddots&\\&&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&&\\*&\ddots&\\*&*&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&*&*\\&\ddots&*\\&&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}...a_{nn}

2.副对角行列式

D=\begin{vmatrix}&&a_{1n}\\&...&\\a_{n1}&&\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}*&*&a_{1n}\\*&...&\\a_{n1}&&\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}&&a_{1n}\\&...&*\\a_{n1}&*&*\end{vmatrix}=-a_{n1}...a_{1n}.

对角行列式总结第2篇1.形式：

2.思路：先展开第一行，再展开第一列，寻找递推公式。

3.例题：D_n=\begin{vmatrix}2a&1&&&\\a^2&2a&1&&\\&a^2&2a&\ddots&\\&&\ddots&\ddots&1\\&&&a^2&2a\end{vmatrix}

展开第一行：2a\times(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}2a&1&&\\a^2&2a&\ddots&\\&\ddots&\ddots&1\\&&a^2&2a\end{vmatrix}+1\times(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}a^2&1&&\\&2a&\ddots&\\&\ddots&\ddots&1\\&&a^2&2a\end{vmatrix}

再展开后面一项的一列：2a\times(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}2a&1&&\\a^2&2a&\ddots&\\&\ddots&\ddots&1\\&&a^2&2a\end{vmatrix}+1\times(-1)^{1+2}\timesa^2\times(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}2a&1&\ddots\\a^2&\ddots&1\\\ddots&a^2&2a\end{vmatrix}

即：D_n=2aD_{n-1}-a^2D_{n-2}

由数列知识，我以前总结过的特征根法：

其中：D_1=2,D_2=3a^2.

则容易知道：D_n=(n+1)a^n.

对角行列式总结第3篇

对角行列式总结第4篇1.原理：利用\left|A\right|=\begin{vmatrix}1&*\\0&A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0\\*&A\end{vmatrix},其中*可以随意构造从而化简。

2.例题：\begin{vmatrix}1+a_1&1&...&1\\2&2+a_2&...&2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n&n&...&n\end{vmatrix}

发现每一列都有1,2，...,n，想消除它们，于是加边：\begin{vmatrix}1&0&0&...&0\\1&1+a_1&1&...&1\\2&2&2+a_2&...&2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n&n&n&...&n+a_n\end{vmatrix}

第一列与之后的每一列都相减得到\begin{vmatrix}1&-1&-1&...&-1\\1&a_1&0&...&0\\2&0&a_2&...&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n&0&0&...&a_n\end{vmatrix}

成为了箭形行列式，把第i行的\frac{1}{a_i}加到第一行：\begin{vmatrix}1+\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a_i}&0&0&...&0\\1&a_1&0&...&0\\2&0&a_2&...&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n&0&0&...&a_n\end{vmatrix}

展开得到：(1+\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a_i})(a_1a_2...a_n)=(1+\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a_i})\prod_{i=1}^{n}a_i.

对角行列式总结第5篇1.公式：\begin{vmatrix}A&0\\0&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&C\\0&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&0\\D&B\end{vmatrix}=\left|A\right|\left|B\right|

\begin{vmatrix}0&A_{n\timesn}\\B_{m\timesm}&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&A\\B&C\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}D&A\\B&0\end{vmatrix}=(-1)^{mn}\left|A\right|\left|B\right|.

2.技巧：逐行逐列交换，凑成公式的样子。

3、例题：\begin{vmatrix}0&a&b&o\\a&0&0&b\\0&c&d&0\\c&o&0&d\end{vmatrix}

二三行交换：(-1)\begin{vmatrix}0&a&b&0\\0&c&d&0\\a&0&0&b\\c&0&0&d\end{vmatrix}

第二列与第一列交换，再第三列与第二列交换：(-1)(-1)^2\begin{vmatrix}a&b&0&0\\c&d&0&0\\0&0&a&b\\0&0&c&d\end{vmatrix}

再利用拉普拉斯定理：-\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}

最后得到：-(ad-bc)^2.

对角行列式总结第6篇1.形式：

2.思路：直接展开“直角边”所在一排，通过递推式和三角型行列式解决。

3.例题：（以下出现0的，用空白代替）

D_n=\begin{vmatrix}2&&&&2\\-1&2&&&2\\&-1&\ddots&&\vdots\\&&\ddots&2&2\\&&&-1&2\end{vmatrix}

展开第一行：D_n=(-1)^{1+1}\times2\begin{vmatrix}2&&&2\\-1&\ddots&&\vdots\\&\ddots&2&2\\&&-1&2\end{vmatrix}+2\times(-1)^{n+1}\begin{vmatrix}-1&2&&\\&-1&\ddots&\\&&\ddots&2\\&&&-1\e