10.1.3古典概型（3）高一数学下学期人教A版2019

10.3.1古典概型（3）2.古典概型的概率计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率

1.古典概型特征：(1)

：样本空间的样本点只有

个；(2)

：每个样本点发生的可能性

．复习引入3.求解古典概型问题的一般思路:（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.说明：我们一般用列举法（树状图法，列表法，前推法）列出所有的样本点.例１：从两名男生(记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人.（1）分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.解：根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间Ω1={(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}.

不放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，

(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}

可用列表法得到例题课本237页例３：从两名男生(记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人.（1）分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.解：（1）按性别等比例分层抽样，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间：Ω3={(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}.（2）设事件A=“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，

A={(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}．因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以且这是一个古典概型．因此

课本237页例３：从两名男生(记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人.（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.解：设事件A=“抽到两名男生”，则对于不放回简单随机抽样，

A={(B1，B2)，(B2，B1)}．因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．因此

（2）按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A=Ø，因此P(A)=0．

课本237页思考２：

通过例３，对于不同的抽样方法有什么区别？从两台台式电脑(记为A和B)、两台笔记本电脑(记为C和D)中任意抽取两台.(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按类型等比例分层随机抽样的样本空间；解：设第一次抽到电脑记为x，第二次抽到的电脑记为y，则可用数组(x，y)表示两次抽取的样本点.根据相应的抽样方法可知，有放回简单随机抽样的样本空间：Ω1＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，(D，D)}.可用列表法得到练习解：不放回简单随机抽样的样本空间：Ω2＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)}.按类型等比例分层随机抽样，先从台式电脑中抽一台，再从笔记本电脑中抽一台，其样本空间：Ω3＝{(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)}.(2)在三种抽样方法下，分别计算抽到的两台都是笔记本电脑的概率.解：设事件E＝“抽到两台笔记本电脑”，则对于有放回简单随机抽样，E＝{(C，C)，(C，D)，(D，C)，(D，D)}.因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.对于不放回简单随机抽样，E＝{(C，D)，(D，C)}.因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因为按类型等比例分层随机抽样，不可能抽到两台笔记本电脑，所以E＝∅，因此P(E)＝0.例2：在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得的成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；解：因为这6位同学的平均成绩为75分，解得x6＝90.所以标准差s＝7.例题(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率.解：从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩的样本点有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种.恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.前推法概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决，解决此类题目的步骤主要有：第一步：根据题目要求求出数据(有的用到分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识)；第二步：列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数；第三步：找出所求事件包含的样本点个数；第四步：根据古典概型概率计算公式求解；第五步：明确规范地表述结论.反思归纳练习前推法1.一次掷两枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是_____.解析：样本点共有36个.因为方程有实根，所以Δ＝(m＋n)2－16≥0.所以m＋n≥4，其对立事件是m＋n<4，其中有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个样本点.随堂检测2.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都被选中的概率为______.解析：从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共10个样本点，甲、乙都被选中的样本点有3个，故所求的概率为答案：前推法3.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设两次记录的数分别为x，y，奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}.其中共有16个样本点.记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数为5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1).列表法(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解：记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C，则事件B包含的样本点个数为6，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，事件C包含的样本点个数为5，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.4.某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名.(1)请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部样本点；解：从6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，组成人员的全部样本点有12个，分别为：(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，(A2，B1，C)，(A2，B1，D)，(A2，B2，C)，(A2，B2，D)，(A2，C，D)，(B1，C，D)，(B2，C，D).前推法(2)求教师A1被选中的概率；(3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率.解：组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，共5个，解