专题14对数（原卷版）

20232024高一数学必修第一册20232024高一数学必修第一册专题14对数№考向解读专题14对数№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第四章指数函数与对数函数专题14对数→➊考点精析←1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．知识点诠释：对数式中各字母的取值范围是：且，，．2、对数（且）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；知识点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：，，．5、对数恒等式：6、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．→➋题型突破←【题型一】对数的定义1.已知对数式有意义，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由有意义可知，解得且，所以a的取值范围为.故选：B2.若有意义，则实数k的取值范围是______.【答案】【解析】若有意义，则满足，解得.故答案为：【题型二】指数式与对数式互化及其应用3.有以下四个结论，其中正确的是（

）A． B．C．若，则 D．【答案】B【解析】因为，，所以A错误，B正确；若，则，故C错误；，而没有意义，故D错误．故选：B.4.将（且）转化为对数形式，其中错误的是（

）A．； B．；C．； D．．【答案】D【解析】根据对数式与指数式的关系，若，则，即，所以A正确；若，则，即，所以B正确；若，则，即，所以C正确；由得，与已知不等，所以D错误.故选：D.【题型三】利用对数恒等式化简求值5.计算：___________.（可保留根式）【答案】【解析】.故答案为：6．（2022·贵州·遵义四中高一期末）______．【答案】【解析】.故答案为：.【题型四】积、商、幂的对数7．（2022·全国·高一专题练习）计算(1)(2)【解析】（1）;（2）.8.计算=________.【答案】【解析】.故答案为：.【题型五】一类与对数有关方程的求解问题9.（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）解关于的方程.(1)；(2).【解析】（1）即，令（），原方程可化为，解得（舍）或，∴，∴，即.∴原方程的解为.（2）原方程中需满足，即，∵∴∴，∴即，解得（舍）或∴原方程的解为.10.解关于的方程：(1)；(2)；【解析】（1）令，则原可式化为，解得（舍去），（可取），即，∴；（2）令，则原式变为，即，解得或，当时，解得或，都不符合题意，舍去，当时，解得，解得（舍去）或（可取），综上.【题型六】对数运算法则的应用11．（2022·全国·高一课时练习）计算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）方法一：（直接运算）原式．方法二：（拆项后运算）原式．（2）原式．（3）原式．【题型七】换底公式的运用12．（2022·全国·高一单元测试）化简____________【答案】2【解析】原式.故答案为：2.13．（2022·全国·高一专题练习）若，且，，，则的值是____．【答案】4【解析】令．则，，．，

，，，则，则．故答案为：4.【题型八】由已知对数求解未知对数式14.（2022·全国·高一课时练习）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B15．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知，，试用表示；（2）已知，，试用表示．【解析】（1），，，，；（2），，．【题型九】证明常见的对数恒等式16．（2022·江苏·高一课时练习）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明：（1）；（2）（，，）.【解析】证明：（1）因为a，b均为不等于1的正数，所以左边右边，所以，（2）因为a，b均为不等于1的正数，，，所以左边右边，所以（，，）→➌专题精练←1．（2022·江苏·南通一中高一阶段练习）已知且，则m等于（

）A． B．6 C．12 D．362．（2022·全国·高一单元测试）设，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高一单元测试）计算：（

）A．0 B．1 C．2 D．34．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为()A．a>eq\f(1,2)且a≠1 B．0<a<eq\f(1,2)C．a>0且a≠1 D．a<eq\f(1,2)5.(1)(2021·全国高一专题练习)已知，则()A． B． C． D．(2)(2021·全国高一课时练习)设，且，则()A． B．10 C．20 D．1006．(2021·全国高一专题练习)下列指数式与对数式互化正确的一组是()A．与lg1＝0 B．＝与log27＝－C．log39＝2与＝3 D．log55＝1与51＝57．(2021·江苏)已知，，则()A． B． C．10 D．18．(2021·全国高一专题练习)对于a>0，且a≠1，下列说法中，正确的是()①若M=N，则logaM=logaN；②若logaM=logaN，则M=N；③若logaM2=logaN2，则M=N；④若M=N，则logaM2=logaN2.A．①③ B．②④C．② D．①②③④9．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（

）A．若，且，则，，B．若，且，则，，C．，，D．，，10．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知，，则的值不可能是（

）A． B． C． D．11．(2021·全国高一专题练习)求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).12．(2021·安徽芜湖一中高一月考)计算(1)(2)13