2023-2024学年辽宁省沈阳市于洪区高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年辽宁省沈阳市于洪区高一（下）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−3<x<4}，B={x|3<x<5}，则{x|4≤x<5}=(

)A.A∩(∁RB) B.∁R(A∩B) 2.若xlog36=1，则6xA.376 B.6 C.103 3.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2m，4m，侧棱长为3m的正四棱台，则该台基的体积约为(

)A.2873m3 B.284.在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′，则A′到平面EFD的距离为(

)A.1 B.23 C.43 5.若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为(

)A.12 B.23 C.326.三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为(

)A.11 B.12 C.13 D.147.已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ=m，β∩γ=n，则“m/​/n”是“α/​/β”的(    )条件．A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要8.设向量a=(12,m)，b=(2m,6)，若a/​/b，则A.−6 B.0 C.6 D.±6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知e1,e2A.e1+e2和−e2 B.3e1−e2和10.如图，在边长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1A.若DP/​/平面CEF，则点P的轨迹长度为22

B.若AP=17，则点P的轨迹长度为2π

C.若AP=17，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是21717

D.11.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有(

)A.复数z=3−2i的共轭复数的虚部为2 B.若z2∈R，则z∈R

C.若(1+i)z=1−i，则|z|=1 D.若z三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若函数f(x)=x2+ax,x≥0bx213.如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为2cm的正方形O′A′B′C′，则原图形的周长是______cm．14.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，若a：b：c=2：3：4，则cosC=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=1，AA1=2，∠CAB=120°．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示．

(1)求A，ω的值；

(2)求f(x)的单调增区间；

(3)求f(x)在区间[−17.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A−CD−P为直二面角．

(1)求证：PB⊥PD；

(2)当PC=PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．18.(本小题17分)

已知幂函数f(x)=(3m2−2m)xm(m∈R)在定义域上不单调．

(1)试问：函数f(x)是否具有奇偶性？请说明理由；

(2)若19.(本小题17分)

如图，在三棱锥P−ABC中，AC⊥平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且PA=AC=2，AB=1，EF=52．

(1)证明：AB⊥PC．

(2)求二面角F−AE−C

参考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.B

7.B

8.D

9.ABD

10.ACD

11.AC

12.−3

13.814.−115.解：(1)AB=AC=1，AA1=2，∠CAB=120°，

则直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为AA1⋅S△ABC=AA116.解：(1)由图象知A=1，

由图象得函数的最小正周期为2×(2π3−π6)=π，

则由2πω=π得ω=2，

(2)∵−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，

∴−2π3+2kπ≤2x≤π3+2kπ．

∴−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z．

所以f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π17.解：(1)证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则BC⊥CD，

由于二面角A−CD−P为直二面角，则BC⊥平面PCD，

由于PD⊂平面PCD，则PD⊥BC，又PC⊥PD，PC∩BC=C，PC、BC⊂平面PBC，

则PD⊥平面PBC，由于PB⊂平面PBC，则PB⊥PD．

(2)取CD中点F，连PF、BF，由PC=PD知PF⊥CD，由于二面角A−CD−P为直二面角，

则PF⊥平面ABC，于是PF⊥BF，由于底面ABCD是边长为2的正方形，则PF=12CD=1，

BF=CF2+BC2=5，于是PB=PF2+BF2=6，同理PA=618.解：(1)由题意3m2−2m=1，解得m=−13或m=1，

当m=1时，f(x)=x，

函数f(x)=x在R上单调递增，不合题意；

当m=−13时，f(x)=x−13，

函数f(x)=x−13的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，

函数f(x)=x−13在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减，

但f(−1)=−1，f(1)=1，

所以函数f(x)=x−13在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上不单调，符合题意，

所以f(x)=x−13，

因为函数f(x)=x−13的定义域关于原点对称，

且f(−x)=(−x)−13=−x−13=−f(x)，19.解：(1)证明：在三棱锥P−ABC中，E，F分别为BC，PC的中点，

则有EF/​/PB且EF=12PB，

而EF=52，则有PB=2EF=5，

又由AB=1，PA=2，则PB2=PA2+AB2，则有AB⊥PA，

又由AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，

而PA∩AC=A，PA⊂面PAC，AC⊂面PAC，

则AB⊥面PAC，则有AB⊥PC；

(2)根据题意，取AC的中点M，过点M作MN⊥AE，交AE于点N，连接FM、FN、ME，

F为PC的中点，M为AC的中点，则FM//PA且FM=12PA=1，

又由PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，AB⊂面A