2023-2024学年河南省郑州七中高一（下）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省郑州七中高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1−i)⋅z=|1+i|，则z−A.22−22i B.2.已知△ABC所在平面内一点P，满足PA+PB+PC=A.12AB+12AC B.13.已知a、b为单位向量，且|a−2b|=|a+b|A.π6 B.π3 C.2π34.已知向量a=(1,−2)，b=(x,−1)，c=(−4,x)，若2a+b，aA.−7 B.3 C.3或−7 D.−3或75.下列命题正确的是(

)A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱

B.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥

C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱

D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=13c,D，D为边BC上一点，CD=2BD=2，AD=3，则A.34 B.34 C.37.如图，在等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=5，AD=4，DC=1，E是线段AB上一点，且AE=4EB，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上，则DP⋅AC的最大值为(

)A.3−21

B.238.已知某圆锥的母线长为35，底面积为9π，记该圆锥的体积为V，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为V27的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为A.60π B.40π C.30π D.20π9.已知等边△ABC的边长为6，D在AC上且AD=2DC，E为线段AB上的动点，则|AE+BD|A.[23,4] B.[23,210.如图，△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若AD=4，BD=2，点M为线段CE上的动点，则(AM−BC)⋅MDA.169

B.214

C.6

二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。11.已知复数z1，z2∈C，下列结论正确的有A.若z=z1z2，|z|=|z1||z2|

B.若|z1|=|z2|，则z1=±12.下列命题中正确的是(

)A.两个非零向量a，b，若|a−b|=|a|+|b|，则a与b共线且反向

B.已知c≠0，且a⋅c=b⋅c，则a=b

C.若13.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′=O′A′=2O′B′=2，则以下说法正确的是(

)A.△ABC是钝角三角形

B.△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍

C.△ABC是等腰直角三角形

D.△ABC的周长是4+414.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量OP=a=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系A.a⋅b=−3 B.|a|=7

C.a⊥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。15.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，16.已知非零向量a、b、c两两不平行，且a//(b+c)，b//(a+c)，设c17.如图，点P为∠BAC内一点，|PA|=1，∠BAP=30°，∠CAP=45°，过点P作直线分别交射线AB，AC于D，E两点，则1|PD|+1|PE|四、解答题：本题共5小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题12分)

设m∈R，复数z=(2+i)m2−3(i+1)m−2(1−i)．

(1)当m满足什么条件时，复数z是纯虚数？

(2)当m满足什么条件时，复数19.(本小题12分)

已知向量a=(−1,0),b=(m,1)，且a与b的夹角为π4．

(1)求m及|a+2b|；

(2)20.(本小题12分)

如图，在△ABC中，已知|AB|=3，|AC|=23，∠BAC=30°，且BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．

(1)求|AP|21.(本小题12分)

如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=2BD．

(1)若cos∠ADC=−14，AC=8，AD=4，求AB；

(2)若△ABC是锐角三角形，B=π22.(本小题13分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B+cos2C−cos2A=1．

(1)求A；

(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；

(3)设点参考答案1.A

2.B

3.B

4.A

5.C

6.C

7.C

8.B

9.B

10.D

11.AD

12.AD

13.CD

14.BCD

15.4116.−3

17.1+18.解：(1)由题意得，z=2m2+m2i−3mi−3m−2+2i=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i，

当z是纯虚数时，2m2−3m−2=0m2−3m+2≠0，解得m=−12，

即19.解：(1)因为a=(−1,0),b=(m,1)，且a与b的夹角为π4，

所以cos<a,b>=cosπ4=−m1×m2+1=22,−2m=m2+1，解得m=−1，

则a=(−1,0),b=(−1,1),a+2b=(−1,0)+(−2,2)=(−3,2)，20.解：(1)设AP=tAM，

则根据题意可得AP=tAM=t2(AB+AC)=t2AB+tAN，

又P，B，N三点共线，∴t2+t=1，∴t=23，

∴AP=13(AB+AC)，

21.解：(1)根据余弦定理，在△ACD中，

cos∠ADC=AD2+CD2−AC22×CD×AD=CD2−488CD=−14，

则CD=6，所以BC=23CD=9，

则cos∠C=CD2+AC2−AD22×CD×AC=36+64−162×6×8=78，

在△ABC中，

AB2=AC2+BC2−2AC×BC×cosC

=64+81−2×8×9×78=19，

所以AB=19；

(2)以22.解：(1)由已知△ABC中cos2B+cos2C−cos2A=1，即1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1，

故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，

故△ABC直角三角形，

即A=π2；

(2)由(1)可得A=π2，所以三角形ABC的三个角都小于120°，

则由