新教材2024年高中数学第3章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1空间向量基本定理素养作业北师大版选择性必修第一册

第三章§33.1A组·素养自测一、选择题1．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，且有6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，则(B)A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面[解析]由6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋3(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))共面．又三个向量的基线有同一公共点P，∴P，A，B，C四点共面．2．已知点M在平面ABC内，并且对空间随意一点O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则x的值为(D)A．1 B．0C．3 D．eq\f(1,3)[解析]∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，且M，A，B，C四点共面，∴x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，∴x＝eq\f(1,3).3．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则肯定共线的三点是(A)A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D[解析]因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，故eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))有公共点A，所以A，B，D三点共线．4．给出下列命题：①若A，B，C，D是空间随意四点，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD；④对空间随意一点O与不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中错误命题的个数是(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]明显①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间随意两点，假如有eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(AA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))，那么M必(C)A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内[解析]本题主要考查四点共面的推断方法．由于eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(AA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(BA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1A1,\s\up6(→))＋6eq\o(BA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PA1,\s\up6(→))＋6(eq\o(PA1,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))－4(eq\o(PD1,\s\up6(→))－eq\o(PA1,\s\up6(→)))＝11eq\o(PA1,\s\up6(→))－6eq\o(PB,\s\up6(→))－4eq\o(PD1,\s\up6(→))，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C．6．(多选)若空间中随意四点O，A，B，P满意eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，则结论正确的有(ACD)A．P∈直线AB B．P∉直线ABC．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线[解析]因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－n)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝n(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝neq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))共线．又eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))有公共起点A，所以P，A，B三点在同始终线上，即P∈直线AB.因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，故O，A，B，P四点共面．二、填空题7．已知空间四边形OABC如图所示，M是AB的中点，点N在CM上，且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NM,\s\up6(→))，用基底{a，b，c}表示eq\o(ON,\s\up6(→))，则eq\o(ON,\s\up6(→))＝_eq\f(1,6)a＋eq\f(1,6)b＋eq\f(2,3)c__.[解析]eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(1,3)(c－a＋c－b)＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,6)b＋eq\f(2,3)c.8．已知a，b，c不共面，且m＝3a＋2b＋c，n＝x(a－b)＋y(b－c)－2(c－a)，若m∥n，则x＋y＝_－4__.[解析]∵n＝(x＋2)a＋(y－x)b－(y＋2)c，∴eq\f(x＋2,3)＝eq\f(y－x,2)＝－(y＋2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－3y＋4＝0，,x－3y－4＝0，))解得x＝－2，y＝－2，∴x＋y＝－4.三、解答题9．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p，q，r是否共面？[解析]假设存在实数λ，μ，使p＝λq＋μr，则a＋b－c＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c.∵a，b，c不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－7μ＝1，,－3λ＋18μ＝1，,－5λ＋22μ＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(5,3)，,μ＝\f(1,3)，))即存在实数λ＝eq\f(5,3)，μ＝eq\f(1,3)，使p＝λq＋μr，∴p，q，r共面．10．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z.[解析](1)eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，∴A，E，C1，F四点共面．(2)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，∴x＋y＋z＝eq\f(1,3).B组·素养提升一、选择题1．若e1，e2是同一个平面α内的两个向量，则(D)A．平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)B．若存在实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0C．若e1，e2不共线，则空间任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)D．若e1，e2不共线，则平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)[解析]由共面对量定理知选D．2．给出下列两个命题：①假如向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C肯定共面．其中正确的命题是(B)A．仅① B．仅②C．①② D．都不正确[解析]可判定①不正确，②正确．故选B．3．G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝(A)A．4eq\o(PG,\s\up6(→)) B．3eq\o(PG,\s\up6(→))C．2eq\o(PG,\s\up6(→)) D．eq\o(PG,\s\up6(→))[解析]eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PG,\s\up6(→))＋eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＝4eq\o(PG,\s\up6(→))＋(eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))＋(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→)))∵四边形ABCD是正方形，G是它的中心，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＝0，∴原式＝4eq\o(PG,\s\up6(→))，∴选A．4．如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．1 D．2[解析]方法1：连接AE，∵E，G分别是CD，BE的中点，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＋y＋z＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝1.方法2：因为B，C，D，G四点共面，由共面对量定理的推论可知x＋y＋z＝1.二、填空题5．给出下列几个命题：①a＝“从上海往正北平移9km”，b＝“从北京往正北平移3km”，那么a＝3b；②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；③有直线l，且l∥a，在l上有点B，若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝2a，则C∈l.其中正确的命题是_①②③__.[解析]①正确．因为向量相等与始点无关；②正确，因为向量运算满意安排律和结合律；③正确，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝2a，所以eq\o(CB,\s\up6(→))与l平行，又B在l上，所以C∈l.6．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满意任三点均不共线，但四点共面，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2xeq\o(BO,\s\up6(→))＋3yeq\o(CO,\s\up6(→))＋4zeq\o(DO,\s\up6(→))，则2x＋3y＋4z＝_－1__.[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))＝－2xeq\o(OB,\s\up6(→))－3yeq\o(OC,\s\up6(→))－4zeq\o(OD,\s\up6(→))，由A，B，C，D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，∴2x＋3y＋4z＝－1.三、解答题7．已知非零向量e1，e2不共线，假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D四点共面．[证明]令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋υ(3e1－3e2)＝0，则(λ＋2μ＋3υ)e1＋(λ＋8μ－3υ)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\