2024年高考数学一轮复习素养训练六数学建模含解析文

PAGEPAGE8素养训练(六)数学建模1．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A．[4，8]B．[6，10]C．[4%，8%]D．[6%，10%]2．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发傜三百七十八人，欲以算数多少衰出之，问各几何？”意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是()A．102B．112C．130D．1363．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()4．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“

”处应填入()A．eq\f(a－2,21)∈ZB．eq\f(a－2,15)∈ZC．eq\f(a－2,7)∈ZD．eq\f(a－2,3)∈Z5．中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公细致算相还，”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从其次天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最终一天走了()A．6里B．12里C．24里D．96里6.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，则该扇形的半径为()A．50eq\r(5)mB．50eq\r(7)mC．50eq\r(11)mD．50eq\r(19)m7．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验标准》(GB/T19522～2010)于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般状况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的改变规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x))＋13，0≤x<2，,90e－0.5x＋14，x≥2，))则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40)()车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类型阈值(mg/100mL)饮酒后驾车≥20，<80醉酒后驾车≥80A．5hB．6hC．7hD．8h8．已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，在下列命题中：①若m⊥n，l⊥n，则m∥l②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β③若m∥l，m⊥α，l⊂β，则α⊥β④若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β.其中正确命题的序号为()A．①③B．③④C．②④D．①③④9．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A．eq\f(25,12)mB．eq\f(25,6)mC．eq\f(9,5)mD．eq\f(18,5)m10．计算机内部运算通常运用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应．现有一个2024位的二进制数，其第一个数字为1，其次个数字为0，且在第k个0和第(k＋1)个0之间有(2k＋1)个1(k∈N*)，即101110111110……2024个，则该数的全部数字之和为()A．1973B．1974C．1975D．197611．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲种产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙种产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲种产品的利润是300元，每桶乙种产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的支配中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理支配生产支配，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司可获得的最大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元12．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1260,x＋1)，0<x≤20，,90－3\r(5)·\r(x)，20<x≤180，))则当该服装厂所获效益最大时，x＝()A．20B．60C．80D．4013．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传闻中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从四个阴数中随机抽取2数．则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是________．14．“九天揽月”是中华民族的宏大幻想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．15．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在将来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．依据几个月运营发觉，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满意函数关系式x＝3－eq\f(2,t＋1).已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．16．传闻中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的，这定海神针在变形时恒久保持为圆柱体，其底面半径原为12cm且以每秒1cm等速率缩短，而长度以每秒20cm等速率增长．已知神针的底面半径只能从12cm缩到4cm，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm时其体积最大．假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________cm.素养训练（六）数学建模1．答案：A解析：依据题意，要使附加税不少于128万元，需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].2．答案：B解析：由题意得，三乡总人数为8758＋7236＋8356＝24350.∵共征集378人，∴需从西乡征集的人数是eq\f(7236,24350)×378≈112，故选B.3．答案：B解析：函数h＝f（t）是关于t的减函数，故解除C，D，一起先，h随着时间的改变，改变缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的改变，改变加快，故对应的图象为B，故选B.4．答案：A解析：依据题意可知，此程序框图的功能是找一个满意下列条件的数a：a＝3k＋2，a＝5n＋3，a＝7m＋2，k，n，m∈Z.依据程序框图可知，数a已经满意a＝5n＋3，n∈Z，所以还要满意a＝3k＋2，k∈Z和a＝7m＋2，m∈Z，并且还要用一个条件给出，即a－2既能被3整除又能被7整除，所以a－2能被21整除，故在“

”处应填入eq\f(a－2,21)∈Z，故选A.5．答案：A解析：由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{an}，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则q＝eq\f(1,2)，依题意有eq\f(a1（1－q6）,1－q)＝378，解得a1＝192，则a6＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)＝6，最终一天走了6里，故选A.6．答案：B解析：设该扇形的半径为rm，连接CO.由题意，得CD＝150（m），OD＝100（m），∠CDO＝60°，△CDO中，依据余弦定理得，CD2＋OD2－2CD·OD·cos60°＝OC2，即1502＋1002－2×150×100×eq\f(1,2)＝r2，解得r＝50eq\r(7)m．7．答案：B解析：由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整数故为6个小时，故选B.8．答案：B解析：如正方体同一个顶点的三条棱，满意①的条件，但三条棱相交，故①错；如图，α∥β，故②错；因为m∥l，m⊥α，则l⊥α，l⊂β，所以α⊥β，故③正确；由面面垂直的性质知，④正确．故正确的命题为③④.故选B.9．答案：D解析：建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的解析式为x2＝－2py，p>0，∵抛物线过点（6，－5），∴36＝10p，可得p＝eq\f(18,5)，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为eq\f(18,5)m．故选D.10．答案：C解析：将数字从左往右只有以0为分界进行分组，第一组为10，数字之和为1；其次组为1110，数字之和为3；第三组为111110，数字之和为5；以此类推，故第n组的数字之和是以1为首项，2为公差的等差数列，即第n组数字之和为2n－1.由题知共2024个数字，则前44组共有44×2＋eq\f(44×43,2)×2＝1980个数字，则前1980个数字之和为44×1＋eq\f(44×43,2)×2＝1936，剩余数字个数为2024－1980＝39，则全部数字之和为1936＋39＝1975，故选C.11．答案：C解析：设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，相应的利润为z元，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12，z＝300x＋400y.,x，y∈N，))作出可行域，如图中阴影部分所示．由图可知，当z＝300x＋400y经过点A时，z取得最大值．解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝12，,2x＋y＝12))得A点坐标为（4，4），所以zmax＝300×4＋400×4＝2800.故每天生产甲种产品4桶、乙种产品4桶时，公司可获得最大利润，为2800元．12．答案：C解析：设该服装厂所获效益为f（x）元，则f（x）＝100xq（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(126000x,x＋1)，0<x≤20，,100x（90－3\r(5)·\r(x)），20<x≤180.))当0<x≤20时，f（x）＝eq\f(126000x,x＋1)＝126000－eq\f(126000,x＋1)，f（x）在区间（0，20]上单调递增，所以当x＝20时，f（x）有最大值120000.当20<x≤180时，f（x）＝9000x－300eq\r(5)·xeq\r(x)，则f′（x）＝9000－450eq\r(5)·eq\r(x)，令f′（x）＝0，∴x＝80.当20<x<80时，f′（x）>0，f（x）单调递增，当80≤x≤180时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，所以当x＝80时，f（x）有极大值，也是最大值240000.故选C.13．答案：eq\f(1,3)解析：从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满意题意的取法有两种：4，6和2，8，∴能使这两数与居中阳数之和等于15的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).14．答案：85解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝100＋r，,a－c＝15＋r，))解得2c＝85.即椭圆形轨道的焦距为85千米．15．答案：37.5解析：由题意知t＝eq\f(2,3－x)－1（1<x<3），设该公司的月利润为y万元，则y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(48＋\f(t,2x)))x－32x－3－t＝16x－eq\f(t,2)－3＝16x－eq\f(1,3－x)＋eq\f(1,2)－3＝45.5－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(16（3－x）＋\f(1,3－x)))≤45.5－2eq\r(16)＝37.5，当且仅当x＝eq\f(11,4)时取等号，即最大月利润为37.5万元．16．答案：4解析：设神针原来的长度为acm，t秒时神针的体积为V（t）cm3，则V（t）＝