2024-2025学年度北师版八上数学-专题5-一次函数中的综合问题【课外培优课件】

第四章一次函数专题5一次函数中的综合问题

1.

在平面直角坐标系中，已知一次函数

y

＝

mx

＋

b

（

m

，

b

均

为常数）与正比例函数

y

＝

nx

（

n

为常数）的图象如图所示，则

关于

x

的方程

mx

＝

nx

－

b

的解为（

A

）A.

x

＝3B.

x

＝－3C.

x

＝1D.

x

＝－1A2.

在平面直角坐标系中，直线

y

＝

kx

＋2与坐标轴交于

A

，

B

两

点，要使△

AOB

为等腰直角三角形，则这样的直线

y

＝

kx

＋2有

（

B

）A.1条B.2条C.3条D.4条B3.

甲、乙两车在某时段的速度随时间变化的图象如图所示.下

列结论错误的是（

C

）A.

乙车前4

s行驶的路程为48mB.

在0～8

s内甲车的速度每秒增加4

mC.

到第3

s时两车行驶的路程相等D.

在4～8

s内甲车的速度都大于乙车的速度（第3题图）C4.

如图，已知

A

（0，1），

D

（3，0），直线

l

绕点

A

旋转，与

x

轴交于点

P

（点

P

不与点

D

重合）.当△

OAP

与△

OAD

全等

时，点

P

的坐标为

⁠.（第4题图）（－3，0）

5.

小明家准备卖一种农作物，现有甲、乙两个商家在收购，已

知两个商家的收购总价

y

（元）与收购量

x

（kg）的关系如图所

示（说明：乙商家先支付240元订金，若卖给乙商家，则不需退

回；否则，需退回订金），则以下说法正确的有

（填

序号）.①③

（第5题图）①卖300kg时，两个商家的收购总价相同；②卖100kg时，卖给

甲商家更划算；③甲商家的收购单价为1.6元/kg.

（第6题图）4.8

7.

如图，在平面直角坐标系中，点

A

的坐标为（2，7），点

B

的坐标为（0，5），在

x

轴上找一点

C

，使△

ABC

的周长最

小，求点

C

的坐标.解：如答图，作点

A

关于

x

轴的对称点A'，连接A'B交

x

轴于点

C

，此时

CA

＋

CB

的值最小.又因为

AB

的长为定值，所以此时

△

ABC

的周长最小.因为点

A

的坐标为（2，7），所以点A'的坐标为（2，－7）.设直线A'B的函数表达式为

y

＝

kx

＋

b

（

k

≠0）.将A'（2，－7），

B

（0，5）代入

y

＝

kx

＋

b

，得2

k

＋

b

＝－7，

b

＝5.所以

k

＝－6.所以直线A'B的函数表达式为

y

＝－6

x

＋5.

答图8.

某游泳馆普通票价为20元/张，暑假为了促销，新推出两种优

惠卡.①金卡：600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡：150元/张，每次凭卡另收10元.暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数.设

游泳

x

次时，所需总费用为

y

元.（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，

y

与

x

之间的函数关

系式；（2）在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图

象如图所示，请求出点

A

，

B

，

C

的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式最划算.（2）当

x

＝0时，y

＝10

x

＋150＝150，故点

A

（0，150）.当10

x

＋150＝20

x

时，解得

x

＝15，则

y

＝300.故点

B

（15，300）.当

y

＝10

x

＋150＝600时，解得

x

＝45.故点

C

（45，600）.解：（1）由题意，得银卡消费时，

y

＝10

x

＋150；普通票消费时，

y

＝20

x

.（3）由点

A

，

B

，

C

的坐标，得当0＜

x

＜15时，选择普通票消费最划算；当

x

＝15时，选择银卡、普通票消费的总费用相同，均比选择金

卡划算；当15＜

x

＜45时，选择银卡消费最划算；当

x

＝45时，选择金卡、银卡消费的总费用相同，均比选择普通

票划算；当

x

＞45时，选择金卡消费最划算.

9.

若在直线

y

＝2

x

＋4上存在一点

P

到坐标轴的距离相等，则点

P

的坐标为

⁠.

10.

在一条笔直的公路上有

A

，

B

，

C

三个休息站，

C

休息站位

于

A

，

B

两个休息站之间.甲、乙两车分别从

A

，

B

两个休息站

出发，沿这条公路匀速行驶至

C

休息站停止.在甲车出发至甲车

到达

C

休息站的过程中，甲、乙两车各自与

C

地的距离

y

（km）与甲车行驶时间

x

（h）之间的函数关系如图所示.当甲

车出发

h时，两车相距350

km.1.5

【解析】由图可知，

C

休息站到

A

，

B

休息站的距离均为

240km，甲的速度为240÷4＝60（km/h），乙的速度为240÷

（4－1）＝80（km/h）.设甲出发

x

h时，甲、乙两车相距350

km.由题意，得60

x

＋80（

x

－1）＋350＝240×2，解得

x

＝

1.5.故甲车出发1.5

h时，两车相距350

km.故答案为1.5.

（1）直线

l2是否经过

x

轴上一定点？若经过，直接写出该定点

的坐标；若不经过，请说明理由.（2）过点

M

（0，6）作平行于

x

轴的直线

l3，点

Q

为直线

l3上的

一个动点.当△

QAB

是不以点

A

为顶角顶点的等腰三角形时，求

点

Q

的坐标.解：（1）经过一定点.因为

y

＝

kx

＋2

k

，所以

y

＝

k

（

x

＋2）.所以当

x

＝－2时，

y

＝0.所以直线

l2经过

x

轴上的定点（－2，0）.

所以点

B

的坐标为（0，3）.

所以点

A

的坐标为（6，0）.如图，设点

Q

的坐标为（

n

，6）.①当

QB

＝

QA

时，n2＋（6－3）2＝（6－

n

）2＋（6－0）2，

②当

BQ

＝

BA

时，

n2＋（6－3）2＝（6－0）2＋（3－0）2，

12.

（选做）如图，点

A

（8，6）在一个正比例函数的图象上，

点

B

的坐标为（16，0），连接

AB

，点

C

是线段

AB

的中点.点

P

在线段

OB

上以每秒2个单位长度的速度由点

O

向点

B

运动，点

Q

在射线

OA

上由点

O

向点

A

运动，

P

，

Q

两点同时运动，同时

停止.设运动时间为