《2.2基本不等式》应试拓展

高中数学精编资源2/2《基本不等式》应试拓展拓展1利用基本不等式求解最值、范围问题基本不等式又叫均值不等式,应用时,要注意构造满足基本不等式的条件,常用的解题技巧是合理拆分项或配凑因式,目的在于满足“和为定值或积为定值”,在应用时必须注意保证“一正、二定、三相等”一要正:各项必须为正数;二定值:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,否则求最值就会出错;三相等:要保证等号能成立,如果等号不能成立,那么求出的值仍不是最值.【例1】求的最大值.分析:认识变量的范围.由x<0,可知不满足各项必须是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,处理方法是加上负号变正数.解:∵,当且仅当,即时取等号.∴的最大值为−1.拓展2掌握基本不等式求最值时的一些技巧应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号,此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、“1”的整体代入、消元化归部分分式、三角换元等变形技巧,选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化,达到事半功倍的效果.1.配凑法配凑法的实质是代数式的灵活变形,即将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式.(如:凑成的形式等),然后利用基本不等式求解最值的方法.2.“1”的整体代入(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.3.消元法对于含有多个变量的条件最值问题,若直接运用基本不等式无法求最值时,可尝试减少变量的个数,即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系,然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题,即减元(三元化二元,二元化一元).【例2】已知,求的最小值.分析:要求的最小值,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种凑定值的方法.解:方法一:“1”的整体代入.∵.∵,当且仅当,即时取等号.又:当时,取得最小值16.方法二:消元化归部分分式由,得,当且仅当,即时,取等号,此时当时,取得最小值16.方法三:配凑定值.由,得,且,当且仅当时取等号.又当时,取得最小值16.【关键技巧】本题给出了应用基本不等式求最值的三种思维方法,涉及的变形技巧有“‘1’的整体代入”“消元化归部分分式”“配凑定值”,突显应用中的整体思维和配凑出基本不等式满足条件的目标意识,要学会观察,善于积累,注意被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.拓展3多次应用基本不等式求最值时等号同时成立的条件多次应用基本不等式求最值时,一定要求出同时取等号的变量的值,只有保证每次取等号的条件相同,即等号步步传递,才能求得最后的最大(小)值.若多次不能同时取等号,此时可应用整体代入、恒等变换等技巧,凑出定值,再应用基本不等式求解.【例3】若a>b>0,求的最小值及取得最小值时a,b的值.分析:本题很难寻求到正确的求解途径,究其原因是对题设中隐含条件的挖掘、对基本不等式凑定值的方法和技巧应用不到位,注意到条件a>b>0和b(a−b),可先求出b(a−b)的最大值,即得到(当且仅当时取等号),注意,两次应用基