2024数学中考压轴题-圆（九大题型和解题方法）

试题PAGE1试题专题01中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。目录：题型1：圆与三角形综合题型2：圆与四边形综合题型3：圆有关的动态问题题型4：圆与坐标系或函数题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题题型6：最值问题题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆题型8：定值问题题型9：在圆综合中求解三角函数值题型1：圆与三角形综合1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知，、为两条弦，于点E，连接，．(1)如图1，连接，求的度数；(2)如图2，连接，延长交于点N，点F为上一点，连接，在上方作等腰直角三角形，且，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，连接，，当点G落在线段上时，过点O做，交于点L，交于点T，若，求半径的长．2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：为的直径，点C为上一点，连接，点D为上一点，连接，过点D作的垂线，垂足为点F，交于点E，连接，分别交和于点H和点K，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，连接，过点H作的垂线交于点T，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点G，延长交的延长线于点M，若，，求的长．3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在中，直径垂直弦于点，连接，过点作于F，交于点H，交于点E，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，求证：；(3)如图3，连接，分别交于点，当，，求线段的长．4．（2024·浙江·模拟预测）如图1，内接于，作于点D．(1)连结，．求证：；(2)如图2，若点E为弧上一点，连结交于点F，若，，连结，求证：平分；(3)在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连结，．若，，求的长．题型2：圆与四边形综合5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，于点F交于点E．(1)设，试用含的代数式表示；(2)如图2，若，求的值；(3)在（2）的条件下，若交于点G，设，．①求y关于x的函数表达式．②若，求y的值．6．（2024·广东珠海·一模）如图1，为正方形边上一点，连接，在上取一点，以为半径作圆，恰好使得经过点且与相切于点．(1)若正方形的边长为4时，求的半径；(2)如图2，将绕点逆时针旋转后，其所在直线与交于点，与边交于点，连接．①求的度数；②求证：．题型3：圆有关的动态问题7．（2024·广东·一模）综合探究：如图，已知，以为直径作半圆O，半径绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接并延长到点D，使得，过点D作于点E，连接，．(1)如图1，当点E与点O重合时，判断的形状，并说明理由；(2)如图2，当时，求的长；(3)如图3，若点P是线段上一点，连接，当与半圆O相切时，判断直线与的位置关系，并说明理由．8．（2024·浙江湖州·一模）如图，在中，∠B是锐角，，，在射线上取一点P，过P作于点E，过P，E，C三点作．(1)当时，①如图1，若与相切于点P，连结，求的长；②如图2，若经过点D，求的半径长．(2)如图3，已知与射线交于另一点F，将沿所在的直线翻折，点B的对应点记为，且恰好同时落在和边上，求此时的长．9．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在中，是的直径，点M是直径上的一个动点，过点M的弦，交于点C、D，连接，点F为的中点，连接并延长，交于点E，交于点G．图1

图2

备用图(1)如图1，连接，过点G的直线交的延长线于点P．当点M与圆心O重合时，若，求证：是的切线；(2)在点M运动的过程中，（k为常数），求k的值；(3)如图2，连接，当是等腰三角形时，求的正切值．题型4：圆与坐标系或函数10．（2024·福建龙岩·一模）如图，抛物线与轴分别交于、两点点在点的左侧与轴交于点．

(1)直接写出、、三点的坐标；(2)如图(1)，是抛物线上异于，的一点，将点绕点顺时针旋转得到点，若点恰好在直线上，求点的坐标；(3)如图(2)，是抛物线上异于，的两个动点，直线与直线交于点，若直线经过定点，求证：点的运动轨迹是一条定直线．11．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中．若：，则称点Q为点P的“等和点”．(1)如图1，已知点，求点P在直线上“等和点”的坐标；(2)如图2，的半径为1，圆心A坐标为．若点在上有且只有一个“等和点”，求m的值；(3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为．当，两部分组成的图像上恰有点的两个“等和点”，请直接写出m的取值范围．12．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为，点B的坐标为．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线轴，直线l与的外接圆相交于点E．①仅用无刻度直尺找出图2中外接圆的圆心P．②连接、，与直线的交点记为Q，如图3，设的面积为S，在点D运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．13．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图，直线是函数的图像与正方形的一条“楚河汉界线”．(1)在直线，，，中，是图函数的图像与正方形的“楚河汉界线”的有______；（填序号）(2)如图，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，与的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图像与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围．题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题14．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．

15．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．题型6：最值问题16．（2024·湖南长沙·三模）如图1，为上不重合的三点，为的切线，．(1)求证：为的切线；(2)若为等腰三角形，，求的值；(3)如图2，若为直径，为线段上一点且，，，求的最大值．17．（2024·重庆·模拟预测）如图，在直角中，．点D为内一点，且，E为线段的中点，连接．

(1)如图1，若，，求的长；(2)如图2，连接，若，，过点E作交于F，求证：；(3)如图3，过点D作于点M，于点N，连接，若，，求的最小值．题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆18．（2024·福建泉州·一模）如图1，在中，平分交于点E，F是上一点，且．(1)求证：；(2)如图2，若，于点G，H是的中点，连接，，，且与相交于点K．①求证：；②若，求的值．题型8：定值问题19．（2024·浙江·模拟预测）如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，P点为劣弧上一个动点，且、．

(1)的度数为°；(2)如图2，连结，取中点，则的最大值为；(3)如图3，连接、、、．若平分交于点，求的长；(4)如图4，连接、，当点运动时（不与、两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．题型9：在圆综合中求解三角函数值20．（2024·湖南长沙·一模）如图1，在中，，，，是的中点．经过，，三点的交于点，连接．(1)求和的长；(2)如图2，两动点P、Q分别同时从点A和点C出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点B，P、Q停止运动，连接．①记，当的面积最大时，求x的值；②如图3，连接并延长交于点，连接、．当平分时，求的值．21．（2024·上海杨浦·一模）已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，连接．(1)如图，当的延长线经过点时，求的值；(2)如图，作，垂足为点，连接．试判断与的大小关系，并证明你的结论；当是等腰三角形，且，求的值．专题01中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。目录：题型1：圆与三角形综合题型2：圆与四边形综合题型3：圆有关的动态问题题型4：圆与坐标系或函数题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题题型6：最值问题题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆题型8：定值问题题型9：在圆综合中求解三角函数值题型1：圆与三角形综合1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知，、为两条弦，于点E，连接，．(1)如图1，连接，求的度数；(2)如图2，连接，延长交于点N，点F为上一点，连接，在上方作等腰直角三角形，且，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，连接，，当点G落在线段上时，过点O做，交于点L，交于点T，若，求半径的长．【答案】(1)(2)见详解(3)【分析】本题考查了圆与三角形的综合，涉及到全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线成比例，勾股定理，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练灵活运用知识点是解决本题的关键．（1）连接，证明即可；（2）过点G作交于点R，先证明，得，所以，得到，故．（3）过G作交的延长线于点R，连接，作于点K，于点H，先证明，∴，设，则，，证出，则，最后在中运用勾股定理求．【解析】（1）连接，∵为半径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）证明：过点G作交于点R，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴．（3）过G作交的延长线于点R，连接，作于点K，于点H，由（2）得，得，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，设，，∴，∴，∴，则，，在中，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，在中，，∴．2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：为的直径，点C为上一点，连接，点D为上一点，连接，过点D作的垂线，垂足为点F，交于点E，连接，分别交和于点H和点K，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，连接，过点H作的垂线交于点T，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点G，延长交的延长线于点M，若，，求的长．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)【分析】（1）证明，即可得出结论；（2）连接，证明，得到，证明，得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，得到，推出，证明，得到，再证明，即可证明结论；（3）连接，过点M作的垂线，垂足为点N，证明，得到，进而推出，证明，得到，进而推出，证明，得到，设，则，求出，设，则，利用勾股定理即可求解．【解析】（1）解：∵，∴∵∴∴；（2）解：如图2：连接，由（1）知，，，，，，，，∴，，，点F是的中点，，，，，，，，，∴；（3）解：如图3，连接，过点M作的垂线，垂足为点N，是直径，，，，设，则在中，即或(舍去)设，则，在中，即．【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形，全等三角形．3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在中，直径垂直弦于点，连接，过点作于F，交于点H，交于点E，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，求证：；(3)如图3，连接，分别交于点，当，，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12【分析】（1）连接，根据垂径定理和等弧所对的圆周角相等，结合等角的余角相等即可证明结论；（2）连接，运用同弧（等弧）所对的圆周角相等，结合同角的余角相等和等量代换即可证明；先证明，再证明；（3）根据已知设出和，结合（2）表示，进而用x表示半径、直径，结合勾股定理表示，结合，即可求解．【解析】（1）证明：连接，∵是的直径，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）连接，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，由（1）知：，∴，∵，∴，∴；（3）连接，则：，∵，∴设，则，∴，由（2）知，，∵，∴，∴，∴，，，∵，且，∴，∴，∴中，，中，，中，，∵，∴，∴，即：，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查圆的综合问题，涉及到垂径定理，圆周角定理，弧、弦、角之间的关系，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，熟悉圆的相关性质，会结合题意灵活运用勾股定理和方程思想，会借助相似三角形构建等量关系是解题的关键．4．（2024·浙江·模拟预测）如图1，内接于，作于点D．(1)连结，．求证：；(2)如图2，若点E为弧上一点，连结交于点F，若，，连结，求证：平分；(3)在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连结，．若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，且结合，即可作答；（2）先根据三角形的外角性质，得，等角对等边，得，即可证明，结合全等三角形的对应角相等，即可作答；（3）根据同弧所对的圆周角是相等，得，由三角形的内角和，得，等角对等边，得，进而证明，得，等角对等边，得，故，因为，，证明，得，解得，由勾股定理建立式子，即可作答．【解析】（1）证明：∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）证明：设，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴平分；（3）解：连接，过点E作于点M交的延长线于点N，由（2）得，，∴，∵，∴，∵，且，∴，，∴，，∴，∵，，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴.【点睛】本题考查了圆综合，涉及圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等综合内容，难度较大，综合性较强，学会灵活运用等角对等边以及作出正确的辅助线是解题的关键．题型2：圆与四边形综合5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，于点F交于点E．(1)设，试用含的代数式表示；(2)如图2，若，求的值；(3)在（2）的条件下，若交于点G，设，．①求y关于x的函数表达式．②若，求y的值．【答案】(1)(2)2(3)①②【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，结合三角形的内角和定理，即可得解；（2）圆周角定理得到，进而得到，推出，得到，设，求出的长，即可得出结果；（3）①过点作，得到，进而得到，根据，，推出，，利用结合进行求解即可；②作于，根据已知条件推出，设，，勾股定理求出，再根据求解即可．【解析】（1）解：∵四边形内接于，∴，∵，∴，∴；（2）∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴设，则：，∴，∴，∴（负值舍去）；∴；（3）①过点作，则：，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴，由（2）知：，∴；②如图，作于，∵，∴，设，，则：，，∵，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及到圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，求函数解析式，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，掌握圆周角定理，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键，注意计算的准确性．6．（2024·广东珠海·一模）如图1，为正方形边上一点，连接，在上取一点，以为半径作圆，恰好使得经过点且与相切于点．(1)若正方形的边长为4时，求的半径；(2)如图2，将绕点逆时针旋转后，其所在直线与交于点，与边交于点，连接．①求的度数；②求证：．【答案】(1)(2)①；②证明见解析【分析】（1）连接、，如图所示，先证明是的直径，再证明是梯形的中位线，设的半径为，由梯形中位线性质及正方形性质得到，，，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案；（2）①连接交于，如图所示，利用正方形性质、旋转性质及圆周角定理得到与重合，即可得到答案；②过点作于，于，如图所示，得到四边形是矩形，进而结合等腰直角三角形的判定、全等的判定与性质、正方形的判定与性质得到相应边的关系，设正方形的边长为，，则，，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，即可得到所证等式成立．【解析】（1）解：连接、，如图所示：，，，，在正方形中，，则，，，则，即，为的中点，，，即是中点，是梯形的中位线，则，设的半径为，则，，，在中，由勾股定理可得，即，解得；（2）解：①连接交于，如图所示：在正方形中，，是的直径，且将绕点逆时针旋转到，，，，，与重合，则；②过点作于，于，如图所示：四边形是矩形，由①知，则，是等腰直角三角形，即，四边形是正方形，，由①知是等腰直角三角形，即，，，设正方形的边长为，，则，，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，，．【点睛】本题难度较大，综合性强，涉及圆周角定理、梯形中位线的判定与性质、勾股定理、旋转性质、圆周角定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定，根据问题作出相应辅助线求解是解决问题的关键．题型3：圆有关的动态问题7．（2024·广东·一模）综合探究：如图，已知，以为直径作半圆O，半径绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接并延长到点D，使得，过点D作于点E，连接，．(1)如图1，当点E与点O重合时，判断的形状，并说明理由；(2)如图2，当时，求的长；(3)如图3，若点P是线段上一点，连接，当与半圆O相切时，判断直线与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2)的长为或(3)．理由见解析【分析】（1）由圆周角定理得到，结合已知条件和等腰三角形“三线合一”性质推知，再由等腰“三线合一”性质得到，即可得到结论；（2）分类讨论：点E在线段和线段上，借助勾股定理求得的长度；（3）由三角形中位线定理知，又由切线的性质知，根据平行线的性质即可得到答案．【解析】（1）是等边三角形，理由如下：如图1，是圆O的直径，，又，，点E与点O重合，，，，，，是等边三角形；（2），，当点E在上时，则，，，，在和中，由勾股定理得，即，解得，；当点E在上时，同理可得，解得，；综上所述，BC的长为或；（3）．理由如下：如图3，连接．点C是的中点，点O是的中点，是的中位线，又与半圆O相切，．【点睛】此题考查了圆周角定理，等边三角形的判定，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质等知识，根据点E的位置正确分类是解题的关键．8．（2024·浙江湖州·一模）如图，在中，∠B是锐角，，，在射线上取一点P，过P作于点E，过P，E，C三点作．(1)当时，①如图1，若与相切于点P，连结，求的长；②如图2，若经过点D，求的半径长．(2)如图3，已知与射线交于另一点F，将沿所在的直线翻折，点B的对应点记为，且恰好同时落在和边上，求此时的长．【答案】(1)①；②的半径长为；(2)．【分析】（1）①利用切线的性质得到，利用三角函数的定义求得的长，再利用勾股定理求解即可；②连结，，求得是的直径，利用三角函数的定义结合勾股定理即可求解；（2）过点作交的延长线于点，连结，，是直径，得到，求得和的长，再利用勾股定理求得．再求得平行四边形边上的高的长，设，利用勾股定理即可求解．【解析】（1）解：①，即，是的直径，与相切于点，．，，，根据勾股定理，得；②如图，连接，，，∴是的直径，，四边形是平行四边形，∴，，，，，，，，，根据勾股定理，得，．的半径长为；（2）解：如图，过点作交的延长线于点，连接，，记于交于点，，，，，，，是直径，，，，，，，，即．为平行四边形边上的高，，又，．设，则，，，，根据勾股定理，得，即，解得，．【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质．正确添加辅助线解决问题是解题的关键．9．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在中，是的直径，点M是直径上的一个动点，过点M的弦，交于点C、D，连接，点F为的中点，连接并延长，交于点E，交于点G．图1

图2

备用图(1)如图1，连接，过点G的直线交的延长线于点P．当点M与圆心O重合时，若，求证：是的切线；(2)在点M运动的过程中，（k为常数），求k的值；(3)如图2，连接，当是等腰三角形时，求的正切值．【答案】(1)见解析(2)(3)的正切值为或【分析】（1）连接，根据圆周角定理，结合等角的余角，求得，进而得到，即可得证；（2）过点F作，垂足为H，易得是的中位线，进而推出，证明，得到，即可得出结果；（3）分点M在圆心O的左侧和点M在圆心O的右侧，两种情况进行讨论求解即可．【解析】（1）证明：如图1，连接，则，∴，当点M与圆心O重合时，是的直径，∴，即，∵，∴，∴，即，∵是的半径，∴PG是的切线．（2）解：如图1，过点F作，垂足为H，则，图1∵点F为的中点，∴，∴为的中点，∴是的中位线，∴，∵是的直径，弦，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．（3）解：如图2，当点M在圆心O的左侧时，，连接，图2∵点F为的中点，∴，在和中，，∴，∴．在中，点F为的中点，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴；如图3，当点M在圆心O的右侧时，，，

图3∵点F为的中点，∴，∴，∴，，∴，∴，在中，点F为的中点，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴．综上所述，的正切值为或．【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，涉及切线的判定，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．题型4：圆与坐标系或函数10．（2024·福建龙岩·一模）如图，抛物线与轴分别交于、两点点在点的左侧与轴交于点．

(1)直接写出、、三点的坐标；(2)如图(1)，是抛物线上异于，的一点，将点绕点顺时针旋转得到点，若点恰好在直线上，求点的坐标；(3)如图(2)，是抛物线上异于，的两个动点，直线与直线交于点，若直线经过定点，求证：点的运动轨迹是一条定直线．【答案】(1)，(2)或(3)见解析【分析】（1）分别令，即可求解；（2）以为斜边向上作等腰直角三角形，得出，依题意，，是半径为的与抛物线的交点，设，其中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（3）设，分别表示出直线的解析式，进而联立抛物线解析式，得出，，依题意，直线的解析式为，即，联立抛物线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，进而得出关于的恒等式，即可求解．【解析】（1）解：对于抛物线，当时，，则，当，即解得：，∴（2）解：如图所示，以为斜边向上作等腰直角三角形，

∵，则，∴∴依题意，，∴是半径为的与抛物线的交点，设，其中∴，整理得解得：∵∴或则或；（3）解：设，∵，，设直线的解析式分别为∴，解得：，∴联立，消去得：，∴，即由可得依题意，直线的解析式为即联立则∴，，∴消去得：解得：（与直线重合，故舍去）或即点的运动轨迹是一条定直线．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中．若：，则称点Q为点P的“等和点”．(1)如图1，已知点，求点P在直线上“等和点”的坐标；(2)如图2，的半径为1，圆心A坐标为．若点在上有且只有一个“等和点”，求m的值；(3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为．当，两部分组成的图像上恰有点的两个“等和点”，请直接写出m的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．（1）设点P在直线上“等和点”的坐标为，由定义可列方程解答；（2）设点在上“等和点”的坐标为，由定义可知：，点P的“等和点”在直线上，根据点P在上有且只有一个“等和点”，得出直线与相切，即可求解；（3）当时，求出，因此当时，部分组成的图象上恰有2个“等和点”；函数与直线的交点为，当点在直线上时，解得或，结合图象可知：时，两部分组成的图象上恰有2个“等和点”．【解析】（1）解：设点P在直线上“等和点”的坐标为，由题知：，解得，∴点P在直线上“等和点”的坐标为．（2）设点在上“等和点”的坐标为，由题知：，∴点P的“等和点”在直线上，∵点P在上有且只有一个“等和点”，∴直线与相切，如图所示，，将代入，得解得或．（3）函数关于直线的翻折后的抛物线解析式为，设点在，两部分组成的图像上“等和点”的坐标为，由题知：，∴点P的“等和点”在直线上，联立方程组整理得，，解得，联立方程组，整理得，，解得，当时，与有两个交点，此时与有两个交点，∴时，两部分组成的图象上恰有2个“等和点”；当时，，∴函数与直线的交点为在直线上时，，解得或，当时，两部分组成的图象上恰有1个“等和点”，∴时，两部分组成的图象上恰有2个“等和点”；当时，两部分组成的图象上恰有3个“等和点”，∴时，两部分组成的图象上恰有2个“等和点”；∴时，两部分组成的图象上恰有2个“等和点”；综上所述：或时，两部分组成的图象上恰有2个“等和点”．12．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为，点B的坐标为．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线轴，直线l与的外接圆相交于点E．①仅用无刻度直尺找出图2中外接圆的圆心P．②连接、，与直线的交点记为Q，如图3，设的面积为S，在点D运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①图见解析②存在，2【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）①画出对称轴，根据三角形的外接圆在三边的中垂线上，结合抛物线和圆的轴对称性，得到两点关于对称轴对称，连接，得到，圆周角定理得到为圆的直径，则与对称轴的交点即为点；②连接，设相交于点，设，证明，求出的长，进而表示出，利用，列出二次函数解析式，求最值即可。【解析】（1）解：把，代入二次函数解析式，得：，解得：，∴；（2）①如图所示，点即为所求；

②存在；连接，设相交于点，设，则：，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴当时，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴当时，S有最大值为：2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数的解析式，三角形的外接圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．13．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图，直线是函数的图像与正方形的一条“楚河汉界线”．(1)在直线，，，中，是图函数的图像与正方形的“楚河汉界线”的有______；（填序号）(2)如图，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，与的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图像与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（）根据定义，结合图象，可判断出直线为或与双曲线及正方形最多有一个公共点，即可求解；（）先作出以原点为圆心且经过的顶点的圆，再过点作的切线，求出该直线的解析式即可；（）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出的取值范围即可．【解析】（1）解：如图，从图可知，与双曲线和正方形只有一个公共点，与双曲线和正方形没有公共点，、不在双曲线及正方形之间，根据“楚河汉界线”定义可知，直线，是双曲线与正方形的“楚河汉界线”，故答案为：；（2）解：如图，连接，以为圆心，长为半径作，作轴于点，过点作的切线，则，∵，轴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，把、代入得，，解得，∴，∴与的“楚河汉界线”为；（3）解：由得，，∵直线与抛物线有唯一公共点，∴，∴，解得，∴此时的“楚河汉界线”为，当正方形在直线上方时，如图，∵点是此正方形的中心，∴顶点，∵顶点不能在直线下方，得，解得；当正方形在直线下方时，如图，对于抛物线，当时，；当时，；∴直线恰好经过点和点；对于直线，当时，，由不能在直线上方，得，解得；综上所述，或．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题14．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）如图所示，过点A作于E，利用等边三角形的性质得到，再利用勾股定理得到，即可利用求出答案；（2）如图所示，延长到G使得，连接，证明，得到，再证明，得到，，则；（3）把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，则，；过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，则，解直角三角形得到，进而得到，即，则当的面积最小时，的面积最小；如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，设，由圆周角定理得到，则，推出，由于，则当r最小时，的面积最小，故当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为，则，即存在一个面积最小的，其最小值为．【解析】解：（1）如图所示，过点A作于E，∵是边长为5的等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴；

（2）如图所示，延长到G使得，连接，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，又∵，∴；

（3）把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，∴，∵，∴，过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴当的面积最小时，的面积最小；如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，设，∴，∴，∴，∵，∴当r最小时，的面积最小，∵，∴，∴，∴当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为，∴，∴存在一个面积最小的，其最小值为．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键．15．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5；（2）；（3）存在，最小值为米【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质得到，即可得到的面积；（2）证明，进一步得到，则证明点P在矩形内部以为直径的上运动，连接，交于点，进一求出，则，由，即可得到的最小值；（3）证明得到，则，再证明得到，证明点H在的劣弧上运动，求得，进一步求得米，勾股定理可得米，记与相交于点，则米，求出米，由米，即可得到答案．【解析】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴的面积为，故答案为：5（2）∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵∴∴∴点P在矩形内部以为直径的上运动，连接，交于点，∵，，∴，∴∵，∴当点P在点的位置时，取得最小值，最小值；（3）连接，作的外接圆，连接，如图3，∵四边形是菱形，∴米，，∵，∴∵∴∴，即∴，∴，∵∴∴∴点H在的劣弧上运动，∵∴，∵，∴，∴在中，米，，过点O作于点M，如图，则米，∴米，∴米，∴米，记与相交于点，则米，∴米，∵米，∴的最小值为的长，即的最小值为米【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、特殊平行四边形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、添加合适的辅助线是解题的关键．题型6：最值问题16．（2024·湖南长沙·三模）如图1，为上不重合的三点，为的切线，．(1)求证：为的切线；(2)若为等腰三角形，，求的值；(3)如图2，若为直径，为线段上一点且，，，求的最大值．【答案】(1)见解析(2)或(3)【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）设的半径为，连接交于点，连接，分为底边，为底边，为底边时，三种情况讨论解答即可；（3）延长交于点，根据等腰三角形的判定定理得到，进而证明四边形为矩形，则设，再根据得出关于x的二次函数利用其性质即可求解．【解析】（1）解：连接，为的切线，．．，．点在上，为的切线．（2）设的半径为，连接交于点，连接，，，且为的中点，，，，①当为底边，点A在弦所对的优弧上时，，易知，连接，四点共线，，；②当为底边时，，于点，令，则，，即，解得，，过点作的垂线，垂足为点，，四边形为矩形，，，由①知，；③当为底边时，由对称性，与为底边时的情况相同．综上所述，或．（3）延长交于点，，，由（1）得是的中点，，是的中点，连接，易知四边形为矩形，，，设，则，，，，当时，四边形的面积最大为【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，解直角三角形，正确地找出辅助线是解题的关键．17．（2024·重庆·模拟预测）如图，在直角中，．点D为内一点，且，E为线段的中点，连接．

(1)如图1，若，，求的长；(2)如图2，连接，若，，过点E作交于F，求证：；(3)如图3，过点D作于点M，于点N，连接，若，，求的最小值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）过点作于点，分别求得进而根据为线段的中点，即可求解；（2）过点作，，连接，设交于点，证明，得是等腰直角三角形，根据平行线分线段成比例可得得出，进而根据，，即可得证；（3）以为边作等边三角形，的外心为，过点分别作，垂足为，则，四点共圆，在上，为定值，当最小时，最小，连接，当在上时，最小，进而求得，设的中点，连接，过点作于点，设，则，求得，根据得出，进而即可求解．【解析】（1）解：如图所示，过点作于点，

∵，，∴，在中，，∴∵为线段的中点，∴；（2）解：如图所示，过点作，，连接，设交于点，

∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∵E为线段的中点，∴∴，∵∴又，∴∴（3）如图所示，如图所示，以为边作等边三角形，的外心为，过点分别作，垂足为，则

∵，，∴四点共圆，又∵，∴在上，∵，，，则，∴，即为定值，∴当最小时，最小，连接，当在上时，最小，∵，∴，∴∵∴又∵∴∴∴∴如图所示，设的中点，连接，过点作于点，

∴∴设，则∴又∵∴解得：∴即的最小值为【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，垂径定理，一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆18．（2024·福建泉州·一模）如图1，在中，平分交于点E，F是上一点，且．(1)求证：；(2)如图2，若，于点G，H是的中点，连接，，，且与相交于点K．①求证：；②若，求的值．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的意义可知，由，可知，进而可得，即可证明结论；（2）①由平行四边形的性质可证得是等边三角形，则，，由（1）知，，，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，则、、、四点共圆，圆心为，由圆周角定理可知，则是等边三角形，得，由圆的内接四边形可知，可得，即，可证，得，即可证得；②设，则，由平行四边形的性质及解直角三角形可得，，则，作交于，可得，由勾股定理得，则，由圆周角定理可知，，，可得，可知，得，，由，，得：，，即可求得的值．【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①证明：连接，∵四边形是平行四边形，，∴，∵，∴是等边三角形，则，，∵平分，∴，由（1）知，，∵，∴，∵为的中点，∴，则、、、四点共圆，圆心为，由圆周角定理可知，则是等边三角形，∴，由圆的内接四边形可知，∴，即，又∵，∴，∴，∴；②∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，设，则，∴，，∵平分，∴，∵，∴，，则，∴，，则，作交于，则，，∴，在中，，∴，由圆周角定理可知，，，∴，∴，∴，，又∵，，即：，得：，，∴．【点睛】本题属于几何综合，考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，圆周角定理，四点共圆，解直角三角形等知识点，利用相关图形的性质得则、、、四点共圆，圆心为是解决问题的关键．题型8：定值问题19．（2024·浙江·模拟预测）如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，P点为劣弧上一个动点，且、．

(1)的度数为°；(2)如图2，连结，取中点，则的最大值为；(3)如图3，连接、、、．若平分交于点，求的长；(4)如图4，连接、，当点运动时（不与、两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．【答案】(1)120(2)2(3)(4)为定值，证明见详解【分析】（1）由已知条件可以得到垂直平分，所以，由于，所以可以证得三角形为等边三角形，得到；（2）由于直径，根据垂径定理，可以得到是的中点，又是的中点，连接，则，，要求最大值，只需要求最大值，由于是劣弧上的一动点，故当，，三点共线，即为直径时，最大，此时最大；（3）由于直径，根据垂径定理，可以得到，所以，又平分，所以，可以证明，所以，由（1）可得，，所以；（4）由直径，可以得到垂直平分，所以，，将绕点顺时针旋转至，可以证明，，三点共线，所以，可以证明是顶角为的等腰三角形，过做于，由于，可以通过勾股定理或者三角函数证明，所以．【解析】（1）（1）连接，，

、，，，，，，，，的度数为．故答案为：120．（2）由题可得，为直径，且