2025年高考数学一轮复习-第九章-第七节-抛物线【课件】

必备知识·逐点夯实第七节抛物线第九章直线与圆、圆锥曲线核心考点·分类突破【课标解读】

【课程标准】1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的几何性质.(范围、对称性、顶点、离心率)2.通过抛物线与方程的学习,进一步体会数形结合思想.3.了解抛物线几何性质的简单应用.【核心素养】数学运算、逻辑推理、直观想象.【命题说明】考向考法抛物线的方程与性质是高考常考内容,多以选择题或填空题的形式出现,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现,试题难度中等.预测预计2025高考抛物线的标准方程、几何性质仍会出题.一般在选择题或填空题中出现,直线与抛物线的考查比较灵活,各种题型都可能涉及.必备知识·逐点夯实知识梳理·归纳1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的______,直线l叫做抛物线的______.微点拨若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.相等焦点准线2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点坐标______对称轴x轴y轴O(0,0)焦点坐标__________________________离心率e=1准线方程___________________范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下

基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号13241.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称.(

)提示:(1)抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形;(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(

)提示:(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心;×√(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(

)提示:(3)所有抛物线的离心率为1,所以抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同;(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.(

)提示:(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,都为2,离心率也相同.√√

核心考点·分类突破

(2)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为(

)A.抛物线 B.双曲线

C.椭圆

D.圆【解析】选A.由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.

解题技法1.利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化.2.求抛物线的标准方程的方法(1)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.(2)因为未知数只有p,所以只需利用待定系数法确定p的值.

2.(2024·北京模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-1的距离为3,则|MF|=(

)A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选A.如图所示:根据题意可得抛物线的准线方程为x=-2,若M到直线x=-1的距离为MM2=3,则M到抛物线的准线x=-2的距离为MM1=4,利用抛物线定义可知MF=MM1=4.

6

解题技法应用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合的思想.

考点三抛物线的综合问题考情提示抛物线的综合问题一直是高考命题的热点,重点考查直线与抛物线的位置关系,常与函数、方程、不等式等内容相结合.

角度2直线与抛物线的相交问题[例4](2024·潍坊模拟)倾斜角为60°的直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,(1)求抛物线的准线方程;【解析】(1)由已知可得,p=2,焦点在x轴上,所以,抛物线的准线方程为x=-1.

解题技法(1)直线与抛物线的弦长问题注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.对点训练1.(2024·湛江模拟)已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,过F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与圆x2+(y-2)2=4交于D,E两点,A,D在y轴的同侧,则|AD|·|BE|=(

)A.1 B.4 C.8

D.16

重难突破

抛物线的结论及其应用【考情分析】(1)过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重点,这是因为在这一关系中具有很多性质,并通过这些性质及运算推导出很多有用的结论,常常是高考命题的切入点.(2)熟悉并记住抛物线焦点弦的结论,在解选择题、填空题时可直接运用,减少运算量;在做解答题时也可迅速打开解题思路.【常用结论】我们以抛物线y2=2px(p>0)为例来研究

【结论证明】通常在证明上述结论时,设出直线的方程与抛物线方程联立,利用根与系数关系求解,特别地,还要讨论斜率存在与否的情况,过程烦琐,运算量大.下面我们提供比较简单的证明结论的方法:

类型二焦半径、弦长问题[例2]已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过