新冀教版九年级下册初中数学全册教案

第二十九章直线与圆的位置关系

29.1点与圆的位置关系

学习目标

1.能从点和圆的位置关系，判断点和圆心的距离与半径的大小关系.

2.学会用已知点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点与圆的位置关系.

3.认识三角形的外接圆，三角形的外心的概念，会画三角形的外接圆.

教学过程

一、情境导入

同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击

中靶子不同位置所决定的；如图是一位运动员射击6发子弹在靶上留下的痕迹.你知道这

个运动员的成绩吗？请同学们算一算.(击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、

8、…、1环)

二、合作探究

探究点一：点和圆的位置关系

【类型一】判断点和圆的位置关系

例1如图，已知矩形4%/的边46=3cm,4A4cm.

(1)以点/为圆心，4cm为半径作。4则点8C,〃与。力的位置关系如何？

(2)若以点A为圆心作使B,C,。三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆

外，则。4的半径r的取值范围是什么？

解：(1)cm<4cm,.•.点8在。｛内；cm,.•.点〃在。/上；'：AC=

,32+42=5cm>4cm,...点C在。4外.

(2)由题意得，点6一定在圆内，点C一定在圆外....3cm<r<5cm.

【类型二】点和圆的位置关系的应用

例2如图，点。处有一灯塔，警示。。内部为危险区，一渔船误入危险区点尸处，该

渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由.

解：渔船应沿着灯塔。过点尸的射线8方向航行才能尽快离开危险区.理由如下：设

射线8交。。与点A,过点P任意作一条弦CD,连接01),在△aw中，OD—OPVPD,又

：：OD=OA,：.OA-OP<PD,：.PA<PD,即渔船沿射线方向航行才能尽快离开危险区.

探究点二：确定圆的条件

【类型一】经过不在同一直线上的三个点作一个圆

例3已知：不在同一直线上的三个已知点A,B,。(如图)，求作：Q0,使它经过点

A,B,C.

分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边48、比的垂直平

分线相交于点。，以。为圆心，以。为半径，作出圆即可.

解：(1)连接46、BC-,

(2)分别作出线段/反8c的垂直平分线DE、GF,两垂直平分线相交于点0,则点。就

是所求作的。。的圆心；

(3)以点。为圆心，％长为半径作圆.则。。就是所求作的圆.

方法总结：线段垂直平分线的作法，需熟练掌握.

探究点三：三角形的外接圆

【类型一】与圆的内接三角形有关的角的计算

例4如图，比1内接于。0,Z(245=20°,则/。的度数是_______.

解析：由0A=0B,知/。18=/施4=20°,所以//加=140°,根据圆周角定理，得

NC="4淅70°.

方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也可

以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系.

【类型二】与圆的内接三角形有关线段的计算

例5如图，在△/回中，0是它的外心，BC=24cm,0到」%的距离是5cm,求△/阿

的外接圆的半径.

解：连接0B,过点。作ODVBC,则a?=5cm,止^以7=12cm.在Rt△物中，0B=

-^OEf+BEr=^/52+122=13cm.即的外接圆的半径为13cm.

方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于0B,过点。作ODVBC,易得初=12

cm.由此可求它的外接圆的半径.

三、板书设计

教学反思

教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相离，它是三角形三边

垂直平分线的交点.在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.

29.2直线与圆的位置关系

学习目标

1.了解直线和圆的不同位置关系.

2.了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念.

3.能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.

教学过程

一、情境导入

你看过日出吗，如果把海平面看做一条直线，太阳看做一个圆，在日出过程中，二者

会出现几种位置关系呢？如图二者是什么关系呢？

二、合作探究

探究点一：直线与圆的位置关系

【类型一】根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系

例1已知。。的半径为5,点尸在直线，上，且8=5,直线，与。〃的位置关系是

（）A.相切B.相交C.相离D.相切或相交

解析：我们考虑圆心到直线/的距离，如果距离大于半径，则直线/与。。的位置关

系是相离；若距离等于半径，则直线/与。。相切；若距离小于半径，则直线/与。。相

交.分两种情况讨论：（1）加直线则圆心到直线/的距离为5,此时直线/与◎。相

切.（2）若8与直线,不垂直，则圆心到直线的距离小于5,此时直线/与。。相交.所以

本题选D.

方法总结：判断直线与圆的位置关系，主要看该圆心到直线的距离，所以要判断直线

与圆的位置关系，我们先确定圆心到直线的距离.

例2在中，48=10cm,47=8cm,BC=6cm,以点6为圆心、6cm为半径作

。区则边力C所在的直线与。8的位置关系是.

解析：根据圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.本题根据勾股定理的逆定理

可知△/阿1是直角三角形，AC,外是直角边，则圆心8到直线4c的距离是6cm,等于。8

的半径，所以所在的直线与。8相切.

方法总结：根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状同时求出圆心到直线的距离是

解题的关键.

【类型二】坐标系内直线与圆.的位置关系的应用

例3如图，在平面直角坐标系.中，。/与y轴相切于原点。，平行于x轴的直线交

于亚/V两点.若点"的坐标是（一4,—2）,则点N的坐标为（）

A.（一1,—2）B.（1,2）

C.(-1.5,-2)D.(1.5,-2)

解析：过点A作40L眦于Q,连接AN,设半径为r,由垂径定理有MQ=NQ,所以AQ

=2,AN—r,NQ=\-r,利用勾股定理可以求出NQ=1.5,所以N点.坐标为（一1,—

2）.故选A.

方法总结：在圆中如果有弦要求线段的长度，通常要将经过圆心的半径画出，利用垂

径定理和勾股定理解决问题.

【类型三】由直线和圆的位置关系确定圆心到直线的距离

例4已知圆的半径等于5,直线1与圆没有交点，则圆心到直线1的距离d的取值范

围是.

解析：因为直线1与圆没有交点，所以直线1与圆相离，所以圆心到直线的距离大于

圆的半径，即45.

【类型四】由直线和圆的位置关系确定圆的半径

例5直线1与半径为r的。。相交，且点。到直线1的距离为8,则r的取值范围是

解析1因为直线/与半径为r的。。相交，所以即8<r,所以填r>8.

三、板书设计

教学反思

教学过程中，强调学生从实际生活中感受，体会直线与圆的几种位置关系，并会用数学语

言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程.

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29.3切线的性质和判定

学习目标

1.掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明（重

点）；

2.掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明（重点,

难点）;

3.能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.

教学过程

一、情境导入

约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子一一圆形的木盘，你能设计

一个办法测量这个圆形物体的半径吗？

二、合作探究

探究点一：切线的性质

【类型一】切线的性质的运用

例1如图，点。是N物。的边4C上的一点，。。与边16相切于点D,与线段40相交

于点、E,若点。是。0上一点，且/"）=35°,则//C的度数为（）

A.20°B.35°C.55°

解析：连接OD,与边力6相切于点D,：.ODVAD,%=90°.'：AEPD^

35°,：.AEOD=2AEPD=1Q°,AZBAC=90°一/刀切=20°.故选A.

方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理.解题时要注意运用切线的性质,

注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想.

【类型二】利用切线的性质进行证明和计算

A

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例2如图，为为。。的切线，/为切点.直线产。与。。交于氏C两点，N—30°,

连接AB、AC.

(1)求证：丝△/A2

(2)若/片求。。的半径.

(1)证明：•••阳为。。的切线，力为切点，.../勿々90°.又•.♦/々30°,，/力仍二

60°,又OA=OB,二△4而为等边三角形.:.AB=AO,/"0=60°.又为的直

径，；.N刈0=90°.在△［四和△"。中，£BAC=£0AP,AB=A0,AAB0=Z.A0B,；.△

AC哙/XAP6

(2)解：在Rt^48中，N〃=30°,AP=-^),：.A0=l,即。。的半径为1.

方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化

已知条件，构造出等量关系求解.

【类型三】探究圆的切线的条件

例3如图，。。是△49C的外接圆，AB=AC=10,鸵=12,P是应上的一个动点，过点

户作6c的平行线交46的延长线于点D.

(1)当点。在什么位置时，如是。。的切线？请说明理由；

(2)当加为。。的切线时，求线段理的长.

解析：(1)当点P是虎的中点时、得而A=陌,得出必是。。的直径，再利用

DP//BC,得出O2L必，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得

出血的长，在Rt△/鳍中再次利用勾股定理即可求出"的长.

解：(1)当点尸是应的中点时，加5是。。的切线.理由如下：..36=44.•.乃=Z又

'CPB^PC,：.PBA^PCA,必是。。的直径.：须=元二/1=/2,又•：AB=AC,：.PA

1BC.又'：DP〃BC,J.DPLPA,，如是。。的切线.

⑵连接0B,设21交比于点£由垂径定理，得BE=%C=6.在应'中，由勾股

定理，得AE=7A^-B^=8.设。0的半径为r,则0E=8—r,在RtAOBE中,由勾股定

2525

22

理，得r=6+(8-r),解得7=彳.在低△/"中，AP=2r=—f/6=10,/.BP=

25215

（万）2-1。?2=5.

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方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定

理，合理转化已知条件，得出结论.

探究点二：切线的判定

【类型一】判定圆的切线

例4如图，点。在。。的直径4?的延长线上，点。在。。上，AC=CD,ZZ>=30°,求

证：切是。。的切线.

证明：连接0C,AC=CD,/〃=30°,:.NA=/g3Q°J；0A=0C,/2=/1=

30°,/.Zl=60o,：.NOCD=9Q°,J.OCLCD,.,.或是。。的切线.

方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直

线是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂

直于这条半径的直线是圆的切线.

【类型二】切线的性质与判定的综合应用

例5如图，是。。的直径，点尺。是。0上的两点，且於一位一々，连接4C、AF,

过点，作CDLAF交〃'的延长线于点D,垂足为D.

(1)求证：切是。。的切线；

(2)若324,求。〃的半径.

分析：(1)连接OC,由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得

NB,再根据等量代换得到,从而证明必是。。的切线；(2)由懑=元

=扁1得/%C=/以6=30°,再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半

即可求得力6的长，进而求得。。的半径.

⑴证明：连接OC,BC.,：FC=CB,：.ZDAC=ABAC."：CDLAF,:.NADC=9Q°."：AB

是直径，:.NACB=9Q；：,NACD=4B.‘：BO=OC,：.4OCB=/OBC,'：ZACO+AOCB^

90°,NOCB=/OBC,NACD=NABC,：.ZACO+,即0cleD.又二OC是OO

的半径，，切是。。的切线；

(2)解：'：AF=FC=CB,：.ZDAC=ZBAC=30°.,：CDLAF,切=24，,然=4镉.在

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口△力阿中，/力仁30°,47=44，:.BC=4,AA8,，③。的半径为4.

方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直

角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长.

三、板书设计

1.切线的性质

圆的切线垂直于经过切点的半径.

2.切线的判定

经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

教学反思

教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一

个逐层深入的过程.因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生

能更全面的掌握知识.

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29.4切线长定理

学习目标

1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.

2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.

3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.

教学过程

一、情境导入

新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个

建筑方案.

二、合作探究

探究点一：切线长定理

【类型一】利用切线长定理求三角形的周长

例1如图，PA、阳分别与。。相切于点儿B,。〃的切线斯分别交PA、阳于点E、

F,切点C在筋上.若序长为2,则△必尸的周长是

解析：因为为、如分别与。。相切于点4、B,所以用=加，因为。。的切线跖分别

交PA.如于点E、F,切点为C,所以EA=EC,CF=BF,所以△物7的周长PE+EF+PF=

PE+EC+CF+PF=(PE+EC)+(CF+PR=必+引=2+2=4.

【类型二】利用切线长定理求角的大小

例2如图，PA、阳是。。的切线，切点分别为尔B,点、C在。。上，如果/力"=

70°,那么N*的度数是度.

解析：如图，连接OA,OB.'：PA,如是。。的切线，切点分别为力、B,：.OA±PA,OB

_L阳，：.ZOAP=4OBP=9Q°.又：//如=2//龙=140°,AZW=360°-ZPAO-

NAOB—NOBP=36Q°-90°-140°-90°=40°.又易证△尸如丝△/W,：.ZOPA=^Z

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/郎=20°.故答案为20.

方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形.另外根

据全等的判定，可得到"平分//加

【类型三】切线长定理的实际应用

例3为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面

上，用一个锐角为30。的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可

求得铁环的半径.若测得*=5cm,则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的.

解：过。作。于0,设铁环的圆心为0,连接OROA.,：AP,幽为。。的切线，

二/。为/为0的平分线，即/胡。=/物〃又/8亿'=60°,ZPAO+ZQAO+ZBAC^

180°,N用。=//（2=60°.在RtAOPA中，序=5,N产物=30°,8=5乖（cm）,

即铁环的半径为5乖cm.

探究点二：三角形的内切圆

【类型一】求三角形的内切圆的半径

例4如图，。。是边长为2的等边△4回的内切圆，则。。的半径为.

解析：如图，连接必由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点.所

以/优a=30°,ODLBC,所以3去%,OC=2OD.又忠BC=2,则09=1.在RtZ\〃G9中,

根据勾股定理得切+5=心所以（2切产，.所以勿=坐即。。的半径为坐

JJ

方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三

边的距离相等.

【类型二】求三角形的周长

例5如图，的内切圆。。与两直角边AB,仇7分别相切于点D、E,过劣弧龙

（不包括端点久而上任一点？作。。的切线版V.与四、回分别交于点"、儿若。。的半径为

r,则Rt△，姒V的周长为（）

35

A.rB.C.2rD.~r

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A

解析：连接切，0E,是Rtz^/ia■的内切圆，：.ODVAB,0E1BC.又•：皿，MP都

是。。的切线，且小尸是切点，:.MD=MP,同理可得/忸=,恺，:.Gg幽=MB+BN+NM=MB

+&VH-AP+PM=MB+MD+BN+NE=BD+BE=2r,故选C.

三、板书设计

教学反思

教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题.明确三角形内切圆的圆

心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.

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29.5正多边形与圆

学习目标

1.了解正多边形与圆的有关概念；

2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会运用正多边形和

圆的有关知识画正多边形.(重点)

教学过程

一、情境导入

生日宴会上，佳乐等6位同学一起过生日，他想把如图所示蛋糕平均分成6份，你能

帮他做到吗？

二、合作探究

探究点一：圆的内接正多边形的相关计算

例1如图，有一个圆。和两个正六边形北，心.刀的6个顶点都在圆周上，石的6条边

都和圆。相切.

0

(1)设刀，A的边长分别为a,b,圆。的半径为r,求r：a及r：6的值；

(2)求正六边形T\,石的面积比S：S的值.解：(1)连接圆心。和7；的6个顶点可得

6个全等的正三角形.所以r：a=l：1.连接圆心。和石相邻的两个顶点，得以圆。的半

径为高的正三角形，所以r：6=/：2；

(2)正六边形北与2的边长比是#:2,所以S:S=3:4.

方法总结：解答此题的关键是根据题意画出图形，再由三角函数的定义及特殊角的三

角函数值求解.

探究点二：与正多边形相关的计算

【类型一】求正多边形的中心角

例2已知一个正多边形的每个内角均为108°,则它的中心角为度.

解析：每个内角为108。，则每个外角为72°.根据多边形的外角和等于360°..正

多边形的边数为5,则其中心角为360°+5=72°.故填72.

方法总结：本题考查了正多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和

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除以每一个外角的度数求边数更简便.

【类型二】求正多边形的边长和面积

例3已知正六边形/及*的外接圆半径是R,求正六边形的边长a和面积S

1OQ°

解：连接以、0B,过0作0从LAB,则乙仞tf=—=30°,：.AH=~R,:.a=2AH=R.

由勾股定理可得。/="一七?2,...如=坐兄.♦.S=；・a・a/X6=g・A・3^?・6=¥%i

方法总结：本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等

于半径.

三、板书设计

教学反思

教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正

多边形的问题.

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第三十章二次函数

30.1二次函数

学习目标

1.理解、掌握二次函数的概念和一般形式；（重点）

2.会利用二次函数的概念解决问题；（重点）

3.列二次函数表达式解决实际问题.（难点）

教学过程

一、情境导入

已知长方形窗户的周长为6m,窗户面积为yn^,窗户宽为xm,你能写出y与x之

间的函数关系式w吗？它是什么函数呢？

胃

r

二、合作探究

探究点一：二次函数的概念

【类型一】二次函数的识别

例1下列函数中是二次函数的有（）

①y=x+5②y=3（x-l）2+2；③y=（x+3）2-2总@y=A+x

A.4个B.3个C.2个D.1个

解析：①y=x+：,④的右边不是整式，故①④不是二次函数；②y=3（x—

1产+2,符合二次函数的定义；③旷=（*+3）2—2*2=—*2+6*+9,符合二次函数的定

义.故选C.

方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整

式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量：③所含自变量的关系式最高次数为2,且函

数关系式中二次项系数不等于0.

【类型二】利用二次函数的概念求字母的值

例2当衣为何值时，函数y=々一DX^+A+I为二次函数？

分析：根据二次函数的概念，可得如+%=2且同时满足A—1W0即可解答.

[1<+A=2,%=1或一2,

解：:函数尸（A—1）您2+4+1为二次函数，.・・解得

〔4一IWO,〔4W1,

.*•k=-2.

方法总结：解答本题要考虑两方面：一是x的指数等于2；二是二次项系数不等于0.

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［类型三］二次函数相关量的计算

例3已知二次函数尸一/+6x+3,当x—2时，尸;3.则x—\时，y—.

解析：•.•二次函数了=一f+以+3,当x=2时，y=3,.,.3=-22+26+3,解得6=2.

•••这个二次函数的表达式是尸一V+2x+3.将x=l代入得尸4.故答案为4.

方法总结：解题的关键是先确定解析式，再代入求值.

【类型四】二次函数与一次函数的关系

例4已知函数y—(.m—m)x+(m—1)x+z»+1.

(1)若这个函数是一次函数，求卬的值；

(2)若这个函数是二次函数，则0的值应怎样？

分析：根据二次函数与一次函数的定义解答.

解：(1)根据一次函数的定义，得nf—m=Q,解得m=0或m=l.又■:m-\WO,即

加#1,.,.当必=0时，这个函数是一次函数；

(2)根据二次函数的定义，得/一解得见#0或加#1,.•.当卬#0或/启4时，这

个函数是二次函数.

方法总结：熟记二次函数与一次函数的定义，另外要注意二次函数的二次项的系数不

等于零.

探究点二：从实际问题中抽象出二次函数解析式

【类型一】从几何图形中抽象出二次函数解析式

墙

DC

菜园

A--------------------------B

例5如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园

ABCD,设46边长为x米，则菜园的面积y(单位：米)与x(单位：米)的函数关系式为多

少？

分析：根据已知由48边长为x米可以推出8C=；(30—x),然后根据矩形的面积公式

即可求出函数关系式.

解：•.•加边长为x米，而菜园185是矩形菜园，."C=；(30—x),...菜园的面积=

ABXBC=；(30—x),x,则菜园的面积y与x的函数关系式为y=—*?+15x.

方法总结：函数与几何知识的综合问题，关键是掌握数与形的转化.有些题目是以几

何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式.

【类型二】从生活实际中抽象出二次函数解析式

例6某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能

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生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.

(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1W启10),求

出y关于x的函数关系式；

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次.

分析：(1)每件的利润为6+2生产件数为95-5U-1),则y=[6+2(x-

1)][95-5(A—1)]；(2)由题意可令y=1120,求出x的实际值即可.

解：(1)；第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件

利润加2元，但一天产量减少5件，.•.第x档次，提高的档次是(x-l)档，利润增加了

2(*—1)元....尸：[6+2(x—1)][95—5(*—1)],即y=-103+180x+400(其中x是正整

数，且1WA10)；

(2)由题意可得一10/+180万+400=1120,整理得18x+72=0,解得为=6,x-i—

12(舍去).

所以，该产品的质量档次为第6档.

方法总结：解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型.

三、板书设计

二次函数

1.二次函数的概念

2.从实际问题中抽象出二次函数解析式

教学反思

二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量

关系和变化规律的一种非常重要的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以

研究.本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些

简单的实际问题中二次函数的解析式.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概

念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去

描述、研究变量之间变化规律的意义.

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30.2二次函数的图像和性质

30.2.1二次函数y=ax?的图像和性质

学习目标

1.会用描点法画出尸ax?的图像，理解抛物线的概念.

2.掌握形如尸aV的二次函数图像和性质，并会应用.

教学过程

一、情境导入

自由落体公式方=（。2缶为常量），h与t之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图

像是什么形状呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数了=@/的图像

【类型一】图像的识别

解析：本题进行分类讨论：（1）当a>0时，函数y=af的图像开口向上，函数万ax

图像经过一、三象限，故排除选项B；（2）当a<0时，函数y=a*的图像开口向下，函数

y=ax图像经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一直角坐标系中，函数旷=且不与了

=aV的图像必有除原点（0,0）以外的交点，故选择C.

方法总结：分a>0与a<0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除

法”.

【类型二】实际问题中图像的识别

例2已知h关于t的函数关系式为为正常数，t为时间），则函数图像为

()

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解析：根据方关于f的函数关系式为方=上/2,其中g为正常数，t为时间，因此函数

ha/图像是受一定实际范围限制的，图像应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.

方法总结：在识别二次函数图像时，应该注意考虑函数的实际意义.

探究点二：二次函数了=2f的性质

【类型一】利用图像判断二次函数的增减性

例3作出函数/=一六的图像，观察图像，并利用图像回答下列问题：

⑴在了轴左侧图像上任取两点4(刘，必)，SU,㈤，使及〈的＜0,试比较弘与先的大

(2)在y轴右侧图像上任取两点以马，⑸，〃(用，必)，使用＞用＞0,试比较%与%的

大小；

(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？

分析：根据画出的函数图像来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法.

解：(1)图像如图所示，由图像可知%＞姓，(2)由图像可知必〈%；(3)在y轴左侧，y

随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小.

方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛

物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误.

【类型二】二次函数的图像与性质的综合题

例4已知函数y=(〃+3)X疡+3"L2是关于x的二次函数.

(1)求卬的值；

(2)当仍为何值时，该函数图像的开口向下？

(3)当卬为何值时，该函数有最小值？

(4)试说明函数的增减性.

[/»+3/»-2=2,

分析：(1)由二次函数的定义可得—故可求必的值.

[叫+3W0,

(2)图像的开口向下，则加+3V0；

⑶函数有最小值，则卬+3＞0；

(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定.

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ni+3z?7—2=2,\nh~~—4,耽=\,

解：(1)根据题意，得,解得...当/=-4或m=1

“+3W0,［勿W—3.

时，原函数为二次函数.

(2)：图像开口向下，...勿+3<0,.'.":一？，.•.勿=-4....当/=一4时，该函数图像

的开口向下.

(3)：函数有最小值，.../3>0,w>—3,...m=1,...当m=1时，原函数有最小值.

(4)当勿=—4时，此函数为尸一V,开口向下，对称轴为y轴，当xVO时，y随x

的增大而增大；当x>0时，y随片的增大而减小.

当勿=1时，此函数为y=4f,开口向上，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大

而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.

方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a>0时，开口向上，顶点最低，此时

纵坐标为最小值；当a<0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值.考虑二次函数

的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察.

探究点三：确定二次函数y=ax?的表达式

【类型一】利用图像确定y=af的解析式

例5一个二次函数尸a/(a#O)的图像经过点4(2,-2)关于坐标轴的对称点B,求其

关系式.

分析：坐标轴包含x轴和y轴，故点4(2,-2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而

是两个点.点4(2,-2)关于入轴的对称点8(2,2),点/(2,-2)关于y轴的对称点

Bi(—2,12).

解：；点8与点力(2,—2)关于坐标轴对称，.•.劣(2,2),氏(一2,-2).当y=aV的

图像经过点笈(2,2)时，2=aX2°,•,.尸首；当尸ax?的图像经过点旦(一2,

—2)时，-2=aX(—2>，―二一义，.’=一%..•.二次函数的关系式为尸聂或尸一；

X.

方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨

论，从而求得多个答案.

【类型二】二次函数^=@/的图像与几何图形的综合应用

例6已知二次函数y=af(aWO)与直线y=2x-3相交于点/(I,6),求：

(Da,6的值；

(2)函数y=af的图像的顶点材的坐标及直线与抛物线的另一个交点8的坐标.

分析：直线与函数y=a?的图像交点坐标可利用方程求解.

解：(1)；点/(I,3是直线与函数y=aV图像的交点，.•.点｛的坐标满足二次函数和

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b=aXI2,[a=-1,

直线的关系式,

6=2X1—3,—

(2)由(1)知二次函数为y=-f,顶点软即坐标原点)的坐标为(0,0),由一“2=2X-

3,解得小=1,加=一3,；.%=—1,度=一9,.•.直线与抛物线的另一个交点6的坐标为

(—3,—9).

【类型三】二次函数了=2/的实际应用

例7如图所示，有一抛物线形状的桥洞.桥洞离水面最大距离OM为3m,跨度AB=6

(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；

(2)一艘小船上平放着一些长3m,宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此

桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？

分析：可令。为坐标原点，平行于4?的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此

抛物线函数关

系式为y=aV.由题意可得6点的坐标为(3,-3),由此可求出抛物线的函数关系式，

然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题.

解：(1)以。点为坐标原点，平行于线段月6的直线为x轴，建立如图所示的平面直角

坐标系，设抛物线的函数关系式为y=a*.由题意可得占点坐标为(3,—3),...—3=

aX3,,解得a=-.•.抛物线的函数关系式为尸一

JJ

111O

⑵当x=l时，y=--Xl2=--・••木板最高可堆放3—可=鼻(米).

方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解

决实际问题的思想.

三、板书设计

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教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y=a/的图像与性

质，体会数学建模的数形结合的思想方法.

30.2.2二次函数y=a(x-h)?和y=a(x-h)?+k的图像和性质

学习目标

1.会用描点法画出尸a(x—血2和y=a(x一方产+a的图像.

2.掌握形如了=。(万一加2和y=a(x—A)2+4二次函数图像的性质，并会应用.

3.理解二次函数尸a(x一方/及尸a(x—方/+4与尸ax?之间的联系.

教学过程

一、情境导入

涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下

的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过.从如图所示的直角坐

标系中，你能得到函数图像解析式吗？

y

ISM

--4―►

二、合作探究

探究点一：二次函数y=a(x-⑸2的图像和性质

【类型一】尸且原一人？的图像与性质的识别

例1已知抛物线y=a(x-/?)2(aW0)的顶点坐标是(一2,0),且图像经过点(一4,2),

求a,力的值.

解：•••抛物线尸a(x—5)<#0)的顶点坐标为(-2,0),二/?=一2.又\•抛物线尸

a(x+2-经过点(一4,2),，4+2”•a=2,；.2=上.

方法总结：抛物线y=a(x—//尸的顶点坐标为(方，o),对称轴是直线x=4

【类型二】二次函数y=a(x-//)2增减性的判断

例2对于二次函数y=9(x—1产，下列结论正确的是()

A.y随x的增大而增大

B.当x>0时，y随x的增大而增大

C.当x>-l时，y随x的增大而增大

D.当x>l时，y随片的增大而增大

解析：由于a=9>0,抛物线开口向上，而2=1,所以当x>l时，y随x的增大而增

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大.故选D.

【类型三】确定y=a(x—而2与_/=打/的关系

例3能否向左或向右平移函数y=—的图像，使得到的新的图像过点(—9,-8)?

若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由.

解：能，设平移后的函数为尸一於一"，将x=-9,尸一8代入得一8=一；(一9

—血,，所以力=-5或4=-13,所以平移后的函数为尸一*x+5)2或尸一g(*+13)z.

即抛物线的顶点为(一5,0)或(一13,0),所以向左平移5或13个单位.

方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移h个单位后，a不变，括号内变“减去

h”；若向左平移方个单位，括号内应“加上/,即“左加右减”.

【类型四】尸a(x-A)?的图像与几何图形的综合

例4把函数尸1步的图像向右平移4个单位长度后，其顶点为G并与直线y=x分别

相交于/、8两点(点/在点8的左边)，求的面积.

分析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定，点坐标，再解由得

到的二次函数解析式与y=x组成的方程组，确定/、B两点的坐标，最后求△山笫的面

积.

解：平移后的函数为y=^(x-4)2,顶点。的坐标为(4,0),解方程组

(x—4)2,fx=2,[x=8,

2得或丁点/在点8的左边，・・・力(2,2),8(8,8)..•・8.

〔尸2,〔尸8.

尸必

11

=S&OBC-忆,=1℃X8-50cx2=12.

方法总结：两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的.

探究点二：二次函数y=a(%-