数学-人教B版（新教材）-一轮复习-22版：§9.3　第1课时　随机事件、频率与概率步步高

大一轮复习讲义第九章§9.3随机事件与概率第1课时随机事件、频率与概率考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义

以及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.内容索引主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实11.事件的分类(1)随机事件一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集，而且若试验的结果是A中的元素，则称A发生，否则，称A不发生.(2)必然事件任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件.知识梳理(3)不可能事件空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称

为不可能事件.∅事件的关系或运算含义符号表示图形表示包含A发生(导致)B发生_____并事件(和事件)A与B至少一个发生___________交事件(积事件)A与B同时发生__________2.两个事件的关系和运算A⊆BA＋B或A∪BAB或A∩B互斥(互不相容)A与B不能同时发生___________________互为对立A与B有且仅有一个发生__________________AB＝∅或A∩B＝∅AB＝∅，A＋B＝Ω3.频率与概率(1)事件的概率对事件

用该事件的概率来衡量，事件A发生的概率用P(A)表示.(2)频率的稳定性一般地，如果在n次重复进行的试验中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大.发生可能性大小(3)频率与概率的区别频率本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率值也可能会不同概率本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变1.随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？微思考提示当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥.也即两事件互斥是对立的必要不充分条件.2.随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？提示随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近.题组一思考辨析基础自测1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)必然事件一定发生.(

)(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.(

)(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.(

)(4)事件发生的频率与概率是相同的.(

)×√√×题组二教材改编2.(多选)下列事件中是随机事件的是A.长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形B.经过有信号灯的路口，遇上红灯C.下周六是晴天D.一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上√√√3.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是A.至多有一次中靶

B.两次都中靶C.只有一次中靶

D.两次都不中靶解析“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.√4.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65√解析由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，题组三易错自纠5.(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”√√√解析排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥.故选BCD.6.某地气象局预报，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是A.明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨B.明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨C.明天本地降雨的机会是80%D.以上说法均不正确解析A，B显然不正确，因为80%是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%，故选C.√TIXINGTUPOHEXINTANJIU2题型突破核心探究题型一

随机事件与样本空间自主演练1.下列事件中是必然事件的是A.任意买一张电影票，座位号是2的倍数B.13个人中至少有两个人生肖相同C.车辆随机到达一个路口，遇到红灯D.明天一定下雨√解析生肖有12个，因此13个人中必定至少有2个人的生肖相同，所以“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件.2.同时投掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是A.3 B.4 C.5 D.6√解析事件A包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点.3.一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球.(1)写出这个试验的样本空间；解这个试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)，(黑，红)，(红，黑)}.(2)求这个试验的样本点个数；解样本点个数是9.(3)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？解“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本点：(白，白)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白).思维升华(1)判断事件类型要看事件的发生是否具有随机性，搞清事件的条件.(2)确定样本空间的方法①必须明确事件发生的条件；②根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.题型二

事件的关系与运算师生共研例1

(1)从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是A.恰好有1件次品和恰好有2件次品B.至少有1件次品和全是次品C.至少有1件正品和至少有1件次品D.至少有1件次品和全是正品√解析依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是对立事件；只有A是互斥事件但不是对立事件.(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是A.恰有一次击中B.三次都没击中C.三次都击中D.至多击中一次√解析根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.(3)掷一枚骰子，下列事件：A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}.求：①AB，BC；解

AB＝∅，BC＝{出现2点}．②A＋B，B＋C；解A＋B＝{出现1,2,3,4,5或6点}，B＋C＝{出现1,2,4或6点}．③D，AC.解D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；AC＝{出现1点}.(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运算用维恩图分析事件.(2)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.思维升华跟踪训练1

(1)(多选)下列说法错误的是A.对立事件一定是互斥事件B.若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)C.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D.事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件√√√解析对于A，对立事件是互斥事件中其中一个不发生，另一个必然发生的事件，所以正确.对于B，只有互斥事件才满足P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，不是任意事件都满足，故B错误.对于C，若A，B，C三事件两两互斥，不一定(A＋B)是C的对立事件，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1不一定成立，C错误.对于D，对立事件的概率之和为1，但概率之和为1的两个事件不一定是对立事件，D错误.(2)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是A.A与B是不可能事件B.A＋B＋C是必然事件C.A与B不是互斥事件D.B与C既是互斥事件也是对立事件√解析“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B两项错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D项错误.故选C.题型三

频率与概率师生共研例2

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574解这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574解当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，所以，利润Y的所有可能值为－100,300,900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.(1)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.(2)利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.思维升华跟踪训练2

下列说法正确的是A.某人打靶，射击10次，中靶7次，则此人中靶的概率为0.7B.一位同学做抛硬币试验，抛6次，一定有3次“正面朝上”C.某地发行一种彩票，回报率为47%，若有人花了100元钱买此种彩票，

则一定会有47元的回报D.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显

的疗效，现在胃溃疡病人服用此药，则可估计有明显疗效的概率约为

0.76√解析A项，此人中靶的频率为0.7，是一个随机事件，错误；B项是一个随机事件，不一定有3次“正面向上”，错误；C项是一个随机事件，中奖或不中奖都有可能，但事先无法预料，错误；D正确.KESHIJINGLIAN3课时精练1.从6个篮球，2个排球中任选3个球，则下列事件中是必然事件的是A.3个都是篮球

B.至少有1个排球C.3个都是排球

D.至少有1个篮球12345678910111213141516基础保分练√解析根据题意分析可得A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件.123456789101112131415162.已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点共有A.7个 B.8个

C.9个 D.10个√解析“点落在x轴上”这一事件记为M，则M＝{(－9,0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1,0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)}，包含9个样本点.故选C.123456789101112131415163.从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是A.至多有一件次品

B.两件全是正品C.两件全是次品

D.至多有一件正品√解析从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是两件全是正品.123456789101112131415164.一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为解析一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，√123456789101112131415165.(多选)依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是A.第一枚是3点，第二枚是1点B.第一枚是1点，第二枚是3点C.两枚都是4点D.两枚都是2点√√√12345678910111213141516解析依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是“第一枚是3点，第二枚是1点”或“第一枚是1点，第二枚是3点”或“两枚都是2点”.故选ABD.123456789101112131415166.(多选)下列说法正确的是A.若事件A与B互斥，则A＋B是必然事件B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若

在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E

＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F

是互斥但不对立事件C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，

事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆AD.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间

含有2个样本点√√√12345678910111213141516解析对于A，事件A与B互斥时，A＋B不一定是必然事件，故A不正确；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥不对立事件，B正确；对于C，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A，C正确；对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确.123456789101112131415167.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω＝__________.{0,2,4,6,8}解析最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.123456789101112131415168.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，则事件“m＝3n”可用集合表示为____________.{(3,1)，(6,2)}解析骰子上的数字分别是1,2,3,4,5,6，其中满足m＝3n的只有(3,1)，(6,2)，所以该事件可用集合表示为{(3,1)，(6,2)}.123456789101112131415169.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1,2,4组的频数分别为6,7,9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为____双.6012345678910111213141516解析∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9，∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双).1234567891011121314151610.已知方程

＝1表示的曲线为C，任取a，b∈{1,2,3,4,5}，则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于____.解析所有可能的(a，b)的组数为5×5＝25，又因为焦距2c＝2，所以c＝1，所以a－b＝±1，则满足条件的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共8组，1234567891011121314151611.盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？解对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A＋B.(2)事件C与A的积事件是什么事件？解对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球，1个白球或3个红球，故CA＝A.1234567891011121314151612.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；解甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27＋9＋18＝54，故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.12345678910111213141516(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果；解从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种.12345678910111213141516②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表示.解事件A可用集合表示为{(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}.12345678910111213141516技能提升练√12345678910111213141516解析∵事件B表示“小于5的点数出现”，∵事件A表示“小于5的偶数点出现”，它包含的事件是出现点数为2和4，1234567891011121314151614.某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0,1,2,3代表手术不成功，用