第三章　排列、组合与二项式定理-课件

第三章

§3.3二项式定理与杨辉三角第1课时二项式定理学习目标XUEXIMUBIAO1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一二项式定理一般地，当n是正整数时，有(a＋b)n＝___________________________________.知识点二二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第

项称二项展开式的通项，记作Tk＋1＝

.思考二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？k＋11.(a＋b)n展开式中共有n项.(

)2.在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.(

)3.

an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项.(

)4.(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同.(

)5.二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第k＋1项相同.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×××2题型探究PARTTWO一、二项式定理的正用、逆用反思感悟(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.跟踪训练1

化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).二、二项展开式的通项的应用(2)展开式中所有的有理项.反思感悟求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解.(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.所以第3项的系数为240.(2)含x2的项.令3－k＝2，解得k＝1，所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.三、求两个多项式积的特定项例3

(1)若(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于A.－4 B.－3 C.－2 D.－1√(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为A.10 B.－10 C.2 D.－2√反思感悟跟踪训练3(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为______(用数字作答).－20二项式的展开式中特定项的求法典例求(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数.核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN解方法一∵(1＋2x－3x2)5＝[1＋(2x－3x2)]5＝1＋5(2x－3x2)＋10(2x－3x2)2＋10(2x－3x2)3＋5(2x－3x2)4＋(2x－3x2)5＝1＋5x(2－3x)＋10x2(2－3x)2＋10x3(2－3x)3＋5x4(2－3x)4＋x5(2－3x)5.∴x5的系数为上式各项中含x5的项的系数和，即方法二∵(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5·(1＋3x)5＝(1－5x＋10x2－10x3＋5x4－x5)·(1＋15x＋90x2＋270x3＋405x4＋243x5)，∴展开式中x5的系数为243－5×405＋270×10－10×90＋5×15－1＝92.方法三(1＋2x－3x2)5相当于5个(1＋2x－3x2)相乘，因此要求展开式中含x5项的系数，只需借助二项式定理的原理求解即可：故展开式中x5的系数为92.素养提升本例的求解采用了三种方法，其中方法三是最优解，其求解应用了二项式定理的原理，避免了方法一、二计算的繁杂.在学习中要重视数学运算方法的择优，提升数学运算素养.3随堂演练PARTTHREE12345√12345√123453.设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于A.x3

B.－x3

C.(1－x)3

D.(x－1)3√4.若(x＋2)n的展开式共有12项，则n＝______.123451112345解析原式＝(2＋1)n＝3n.3n课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)二项式定理.(2)二项展开式的通项公式.2.方法归纳：转化化归.4课时对点练PARTFOUR解析原式＝(1－2)n＝(－1)n.基础巩固12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√123456789101112131415165.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是A.－5 B.5 C.－10 D.10√123456789101112131415166.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝___.(用数字填写答案)123456789101112131415168288.(x2－x－2)4的展开式中，x3的系数为______.(用数字填写答案)12345678910111213141516-4012345678910111213141516所以n2＝81，又n∈N＋，故n＝9.12345678910111213141516(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.1234567891011121314151610.已知m，n∈N＋，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.解由题设知，m＋n＝19，又m，n∈N＋，∴1≤m≤18.＝m2－19m＋171.综合运用12345678910111213141516√√1234567891011121314151612345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.1234567891011121314151610123456789101112131415166(2)含x的整数次幂的项有_____个.拓广探究12345678910111213141516[5，＋∞)123456789101112131415161234567891011121314151616.已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N＋).(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；解当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.12345678910111213141516(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含