人教版高中数学全册教案-08-圆锥曲线方程-08

双曲线的几何性质

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性

质，并能具体估计双曲线的形状特征.

（二）能力训练点

在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力.

（三）学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方

程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题.

二、教材分析

1.重点：双曲线的儿何性质及初步运用.

（解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明.）

2.难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证.

（解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条

对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线.）

3.疑点：双曲线的渐近线的证明.

（解决办法：通过详细讲解.）

三、活动设计

提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结.

四、教学过程

（一）复习提问引入新课

1.椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？

请一同学回答.应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的.

2.双曲线的两种标准方程是什么？

再请一同学回答.应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标

灌为$

=11中心【点，育诚布箱上的双曲线的标温方程为

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质.

（二）类比联想得出性质（性质1〜3）

引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格（让学生回答，教师引导、启发、

订正并板书）.〈见下页》

（三）问题之中导出渐近线（性质4）

在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计

琳却*惭=1阻蝌羽ua畤-昌=1,

仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形（板书图形），那么双曲线和这个矩

形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图（图2-26）有什么指导意

义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想.

接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？

奢相学回蓍，度涉=1a邢咄两的角缘进一则恃学

生从IE存出结论:双曲号寻脸支向性眄，衰丽m

下面，我们来证明它:

■a

3+g-Ui>b>0»3/

----^>0,b>0)

.、b.C%KZ4>*>b>0)cS^H>V>0>b>0)

不

n»fialpTjr

Ju\rz

f7

皿M<(>N>«>yGR

期■:i*FMttt：r»F

4Mtt*«

MM>O：K£WM>：flUL

(-«fQi(t«Q(-«>Qf(tiQ

9,孙8,3

双曲线在第像限的部分可写成:

y=--aa(£>a)

A

图2-26

设徵处力是它上面的点.题*,7)是宜野=2工上与1雨相同

a

的腱标的点»?=-«.

a

|MN|=y-y■一a')"­

aa

(X-。T)(X+Jj-ab

K+W-a'

ab

i+Vxa-aa

设|MQ是点MS］直线7=2曲距离，M|MQ<|MN|.

&

当X逐渐增大时，|MN|逐渐减小，X无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近

于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON.

在其他象限内也可以证明类似的情况.

我们把四条直线3=4'鹏双曲线厮颐省.

a

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上

的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字

母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字

则谓硼所必承曲线$-g=l惭麻维方程是…:刑=

定义,一=±2鹏飒娼旦=所像1*=上\

aa.ba

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精

碉修出双曲线.例如，西双曲线专马=1,先制施％=土卜

40LO3

再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线.

（四）顺其自然介绍离心率（性质5）

由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍

一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：

1.双01线的疑与实轴的比e=E叫做双前线的¥B率，且£>1.

a

2.由于2=代子•后二・斤7,痢㈤大，色也越大，BP

撕近焉=12岫制窣维对值越大.这时承曲线的脚事山辍酬

&

变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.

这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的儿何性质可以类似得出，双曲线的

几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变.

（五）练习与例题

1.求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐

近线方程.

请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正.

解,纪峰tt为何防fig号=1.

由此可知，实半轴长a=4,虚半轴长b=3.

c=+b'=J#+向=5.

焦点坐标是（0,-5）,（0,5）.

雷6^为e=.

a4

新硅访程为x=士，Wy=4

q5

2.点M（x,y）到定点F（c,的距离和它物定直线Lx==的

C

距离的比是常数（S（c＞a＞。），求点轨施（S2-27）.

a

本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结.

解：设d是点M到直线1的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：

由此将------―

I1-1

化简得：（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）.

设1=已就可化为今皆=1.

这就是双曲线的标准方程.

由此例不难归纳出双曲线的第二定义.

（六）双曲线的第二定义

1.定义（由学生归纳给出）

平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=

&e＞。时，这个点M的翱跣双曲线.定点是双曲线的焦点,定直线

a

叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.

2.说明

(I*礴/。I,棚用时F(c,=

abc

渊庭岫维领性,相吁侬F，(，6的喊灌—

c

于K峭4-旨=1,相应于索点F8,。)的淮绿方程是y二金，

at>c

c

(七)小结(由学生课后完成)

将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结.

五、布置作业

1.已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程.

(I)16x2-9y2=144；

(2)16x2-9y2=-144.

2.求双曲线的标准方程：

⑴实轴的长是10,虚轴长是8,焦点在x轴上；

⑵焦距是10,虚轴长是8,焦点在y轴上；

经过点蚂-5,3)j

!S±aM(1.-1).

J4

3.帆*+<=峋球为稣砌fiflftWi巡晒R

o3

曲线的方程.

4.已知双曲线1-《=1上的P点到左焦点的距离等于3,料

4J

点到两准线及布焦点的距离.

作业答案：