公务员考试容斥原理类解法

容斥原理类解法

对于容斥原理类的题目，近年来在公务员行政职'也能力测验中考的不少。熟练掌握三集合整体重复型公式

成为了做题关键。

对于容斥原理类的题目，近年来在公务员行政职业能力测验中考的不少。纵观历年真题,

我们可以发现：2006年国家公务员考试考了一道三集合图示标数型;2007年国家公务员考试

考了两道两集合型题目;2009年国家公务员考试考了一道三集合的题目，可以直接套用三集

合标准型核心公式;2010年和2011年国家公务员考试连续两年考了三集合整体重复型。因

此，熟练掌握三集合整体重复型公式成为了做题关键。

一、介绍三集合整体重复型核心公式

在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别是A、B和C,而至少满足三个条

件之一的元素的总量为W。其中，满足一个条件的元素数量为X,满足两个条件的元素数量

为y,满足三个条件的元素数量为z,根据下图可以得到以下两个等式：

A+B+C=xxl+yx2+zx3

二、典型的三集合整体重复型的题目讲解

例1、某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个

课外活动。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有1

3人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组?(2004年浙江

公务员考试行测第20题)

A.15人B.16人C.17人D.18人

【答案】A解析：此题有两种解法可以解出:

英语

解一：如图，分别设只参加英语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为x、y、z,

则只参加英语小组的人为17-5-x-y,只参加语文小组的人有30-5-x-z,只参加数学小组的人

有13-5-y-z,则只参加三个小组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都

参加的人的总和为总人数，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。则求x+y+z=15,所

以只参加一个小组的人数的和为15。

解二：套用三集合整体重复型公式：

W=x+y+z

A+B+C=xxl+yx2+zx3

35=x+y+5

17+30+13=xxl+yx2+5x3

解得：x=15,y=15

例2、某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，

有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过,

则只看过其中两部电影的人数是（）（2009年江苏公务员考试行测A类试卷第19题）

A.69B.65C.57D.46

【答案】D解析：本题也是一道典型的三集合整体重复型题目，直接套用三集合整体

重复型公式：

W=x+y+z

A+B+C=xxl+yx2+zx3

这里需要注意的是W=105,而非125,

105=x+y+24

89+47+63=xx1+yx2+24x3

两个方程，两个未知数，解出y=46,这里y表示只看过两部电影的人数，即所求。

例3、某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考

试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考

试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有

15人。问接受调查的学生共有多少人?（2010年国家公务员考试行测第47题）

A.120B.144C.177D.192

【答案】A解析：本题的特征也很明显，直接套用公式，只是要注意的是，题目中最

后问的是接受调查的总人数，我们求出W之后，还需要再加上不参加其中任何一种考试的

那15个人,

W=x+46+24

63+89+47=xx1+46x2+24x3

通过解方程，可以求出W=105,这只是至少准备参加一种考试的人数，所以接受调查

的总人数为105+15=120。

例4、某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合

格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有

7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?（2011年

国家公务员考试行测试卷第74题）

A.37B.36C.35D.34

【答案】D解析：本题属于典型的三集合整体重复，直接套用公式：

W=x+7+l

8+10+9=xx14-7x2+1x3

可以解除W=18,所以至少有一项不合格的有18种，则三项全部合格的建筑防水卷材

产品有F2-18=34。

在三集合整体重复型的题目中，我们需要辨认A、B、C,x、y、z具体指代什么，特别

是需要搞清W是哪个量，这里再强调一遍，至少满足三个条件之一的元素的总量为W,而

并非题目总量即为W,只要掌握这一点，这类题日即可迎刃而解。

数量关系容斥原理

对公务员考试行测中数学运算各个题目进行整理，有•类是“容斥原理”问题，主要包括两集合问题和三集

合问题，此类问题是每年必考的题型，现在对此类题目进行汇总，希望能帮助4.24联考的广大考生顺利通

过考试。

对公务员考试行测中数学运算各个题目进行整理，有一类是“容斥原理''问题，主要包括

两集合问题和三集合问题，此类问题是每年必考的题型，现在对此类题目进行汇总，希望能

帮助4.24联考的广大考生顺利通过考试。

1、公式法：适用于条件与问题都可直接代入公式的题目。利用公式法解决问题时要注

意公式中每个字母所代表的含义，这是考生经常容易出错的地方。

(1)两个集合：

涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算：

1都的个数+2都的个数一1、2部的个数=总一1、2都不的个数

“都”是指满足该条件的集合数。

(2)三个集合：

IAUBUC|=|A|+|B|+|C|-|APBI-IBHCI-ICHAI+IADBClC|

2、韦恩图法：用图形来表示集合关系，变抽象文字为形象图示。因其具有直观性，便

捷性和可行性，因此推荐首选文氏画图解题。

(1)两个集合:

针对历年的真题进行讲解。

例1、对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中

58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有1

8人，既喜欢看电影乂喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的

有()。(2005年国家公务员考试一卷行测第45题)

A.22人B.28人C.30人D.36人

解析：设人=喜欢看球赛的人(58),13=喜欢看戏剧的人(38),C=喜欢看电影的人(52),则

有：

人”=既喜欢看球赛的人乂喜欢看戏剧的人(18)

Bnc=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)

AABnC=三种都喜欢看的人(12)

AlJBUC=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)

由集合运算公式可知：

CCIA=A+B+C-(AUBUC+ADB+BCC-AriBnC)

=148-(100+18+16-12)=26

所以，只喜欢看电影的人=C-BnC-CCA+ACBnC

=52-16-26+12

=22

注：这道题运用公式运算比较复杂，运用文氏画图法我们很快就可以看出结果。文氏解

法如下：

由题意知：(40-x)+x+(36-x)+6+12+4+16=100,解得x=14;则只喜欢看电影的人有36-

x=22

例2、外语学校有英语、法语、II语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教I卜语

的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种

都能教的有2人，则只能教法语的有（）。（2005年国家公务员考试二卷行测第45题）

A.4人B.5人C.6人D.7人

解析：首先采用公式法解决此题，设人=英语教师（8+5+4-2=15）,B=法语教师，C=日语

教师（6+5+3-2=12）,（但应注意的是在做题之前，我们首先必须了解公式中A,B,C三个集合

所代表的含义，并非A=8,C=6.）,则

C=AUBUC-A-C+AnB+BClC+CnA-AnBnC

=27-15-12+5+3+4-2=10,那么只能教法语的教师=10-3-4+2=5

另外，此题如果用韦恩图法会相当简单，设只能教法语的人数为X,则依题意得韦恩图（见

下图）:

山题意我们有27=8+3+6+2+2+1+X,解得X=5。

例3、某高校对•些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考

试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考

试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的

都15人。问接受调查的学生共有多少人?（）（2010年国家公务员考试行测第47题）

A.120B.144C.177D.192

解析：同上，我们可以直接利用三个集合并的运算来解决这个集合问题，公式如下：

AUBUC=A+B+C-AnB-AOC-BnC+AOBnC,但是这里的“准备选择两种考试都参加的

有46人”并不是我们所说的AOB+Anc+Bnc,AOB+Anc+Bnc中还包含着选择三种考试

的人即ADBAC,因此ACB+Anc+Bnc=46+AABnC*3=118,这样AUBUC=63+89+47-

118+24=105,总人数为105+15人20.

另外我们也可以用韦恩图：

依题意可得:

A+D+E+G=63

B+D+F+G=89

C+E+F+G=47

D+E+F=46

设参加人数为N,贝I」有N=A+B+C+D+E+F+G+15=1201.

极值问题归纳及技巧点拨

在我们福建省即将到来的424联考中，数学运算直是大家比较头痛的问题，尤其是其中相

对较难的极值问题(又称为构造问题)，更是大家一直不得要领但又年年必考的难题。下面，

老师将用几道国考和联考的真题为大家点拨这一类题目的技巧。

一、同色抽取的极值问题

该类问题一般表述为：有若干种不同颜色的纸牌，彩球等，从中至少抽出几个，才能保

证在抽出的物品中至少有n个颜色是相同的。

解题常用通法：先对每种颜色抽取(n-1)个，如果某种颜色的个数不够(n-l)的，就对这种

颜色全取光，然后再将各种颜色的个数加起来，再加1,即为题目所求。

【例1】从一副完整的扑克牌中，至少抽出()张牌，才能保证至少6张牌的花色相同。

A.21B.22

C.23D.24

【解析】先对四种常见花色“桃杏梅方”各抽取n-l=5个，总共抽取5x4=20张。

考虑到这是一副完整的扑克牌，再对特殊的花色“大小王”进行抽取，大小王只有2张，

不够n-l的要求，就对其全部取光，总共抽取2张。

将以上各种颜色的个数加起来，再加1,即5x4+2+1=23张，即为所求，答案选C。

二、特定排名的极值问题

该类问题一般表述为：若干个整数量的总和为定值，且各不相同（有时还会强调：各不

为0或最大不能超过多少），求其中某一特定排名的量所对应的最大值或最小值。

解题常用通法：将所求量设为n,如果要求n最大的情况，则考虑其它量最小的时候；

反之，要求n最小的情况，则考虑其它量尽可能大。

【例2】5人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，则体重最轻

的人，最重可能重（）»

A.80斤B.82斤

C.84斤D.86斤

【解析】体重最轻的人，是第5名，设为n。考虑其最重的情况，则其他人尽可能轻。

第四名的体重大于第五名n,但又要尽可能轻且不等于n,故第四名是n+屋同理，第

三名至第一名依次大于排名靠后的人且取尽可能小的值，故依次为n+2,n+3,n+4。

五个人尽可能轻的情况下，总重量为n+n+l+n+2+n+3+n+4=4n+10。

实际总重量423应大于等于尽可能轻的总重量，故4n+10W423,解得nW82.6,所以n最

大为82斤，答案选B。

三、多集合的极值问题

该类问题一般表述为：在一个量的总和（即全集）里，包含有多种情况（即多个子集），求

这多种情况同时发生的量至少为多少。

解题常用通法：多种情况交叉发生的量完全不知道，故无法正面求解，所以将题目转化

为：至多有多少量并不是多种情况同时发生，也就是只要有•种情况不发生即可。求出题目

中多个情况不发生的量，相加即可得到只要有一种情况不发生的最大值，再用总题量相减，

即可得所求量。

计算通式：总和M,每种情况发生的量分别为a,b,c,d,则多种情况同时发生的量

至少为M-[(M-a)+(M-b)+(M-c)+(M-d)]

【例3】某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40

人爱好收藏，这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢?()

A.5B.6

C.7D.8

【解析】每种活动不喜欢的人数分别为46-35=11人，16人，8人，6人。故四种活动

都喜欢的反面——“四种活动不都喜欢”——即只要有一种活动不喜欢的人数最多为11+16+

8+6=41人，所以四种活动都喜欢的人数最少为46-41=5人，答案选A。

【练习题】100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人

数都不一样，那么，参加人数第四多的活动最多有几个人参加?()

A.22B.21

C.24D.23

【解析】第四多的活动人数设为n,当n最大时，第5-7名尽可能小的值为0,1,2(题

目中没有说每项活动一定有人参加)，第1-3名尽可能小的值为n+3,n+2,n+1,故n+3+n+

2+n+l+n+2+l+0=4n+9为尽可能小的总人数，应$实际总人数100,故4n+9S100,n<22.75,

所以最多有22人参加，答案选A。

在现在竞争II加激烈的公务员考试中，极值问题作为年年必考1-2题，且区分度与难度

都较高的一类题目，其重要性不容小视，希望各位同学细细揣摩，认真领会，祝大家都能在

考试中取得理想的成绩。

工程问题

工程问题是近年来考试的热点问题之一,国家公务员考试和多省公务员考试以及很多省份的

省公务员考试，几乎每年都会考那么一道或二道工程问题。2010年12月5日结束的国家公

务员考试中，数量关系部分同样考了二道工程问题。工程问题与我们的实际生活紧密相连,

解决这类问题的能力也是公务员应该具备的基本素质之一。

解决工程问题，首先我们应该掌握工程问题的核心公式:

工程总量=工作效率x工作时间

工程总量

工作效率=

工作E寸间

工程总量

工作时间=

工作效率

解决经济利益相关问题的基本方法有：代入排除法，方程法，设“「思想等。下面将结

合2011年国考真题来讲解解决这类问题的方法。

【例1】同时打开游泳池的A,B两个进水管，加满水需1小时30分钟，且A管比B

管多进水180立方米，若单独打开A管，加满水需2小时40分钟，则B管每分钟进水多少

立方米?（2011国家公务员考试行测）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】本题属于工程问题。

方程法列：设B每分钟进水立方米，1小时30分钟=90分钟，2小时40分钟=160分钟,

则A每分钟进水+180/90=+2,列方程得：90(++2)=160(+2),解得，=7,所以选择B选项。

代入排除法：设B每分钟进水立方米，则A每分钟进水+180/90=+2,代入A选项得，

90x(6+8)声160/8,代入B选项，90*7+9尸160*9,同理代入C、D排除。所以选择B选项。

【例2】甲、乙、丙三个工程队的效率比为6：5：4,现将A、B两项工作量相同的工

程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而

参与B工程。两项工程同时开工，耗时16天同时结束，问丙队在A工程中参与施工多少天?

(2011国家公务员考试行测)

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】本题属于工程问题。

代入排除法：因为甲、乙、丙三个工程队的效率比为6：5：4,所以甲的效率比乙高，

丙在甲负责的A工程中比在乙负责的B工程参与时间要少，又因为两项工程同时开工，耗

时16天同时结束，而C、D选项说明丙在A工程中的参与时间和B工程参与时间一样或者

多，所以排除C、D选项。代入A知，6x16+6x4=15x16+10x4=120,所以A正确。而B选

项，6x16+7x4,5x16+9x4,B选项错误。所以选择A选项。

常规解法：设两项工程的工作总量为(6+5+4)x16=240,每项工程的工作总量为120,甲

队16天一共完成6x16=96,所以丙工作了(120-96)+4=6天。所以选择A选项。

列方程法：设两项工程的工作总量为(6+5+4)x16=240,每项工程的工作总量为120,

设丙对在A工程中参与施工天，6x16+4=120,解得x=6,所以选择A选项。

【点拨】在考试时，考生往往习惯性代入A选项，如果A项正确，由于答案的唯一性,

其它选项就不用再代入，那么代入排除法是最快找到正确答案的方法。当然方程方法熟练也

是比较快的，相对于其他题型，工程问题是基本题型，难度也较小。

盈亏问题解题思路点拨

【盈亏问题介绍】

现在把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩

余，就叫盈;如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏

问题。

盈亏问题是类应用非常普遍的应用题，在省公务员考试中考察的比较多，（所以华图

教育特别提示备考省公务员考试的考生，加大这方面的训练）因而非常有必要分析这类问题

的具体解题思路，以便在今年的应考中有一个好的对策。

解盈亏问题常常用到比较法。思路是比较两种不同的做事方法，把盈余数ij不足数之和

看作总差数，用每个单位的差去除，就可得到单位的数目，对本题就是栽树的人数。我们有

如下的公式：

（盈+亏户（每个单位的差尸单位数

（盈一盈户（每个单位的差尸单位数

（亏一亏广（每个单位的差尸单位数

【真题讲解】

例1、若干学生住若干房间，如果每间住4人则有20人没地方住，如果每间住8人则

有一间只有4人住，问共有多少名学生（）（2002年国家公务员考试行测第32题）

A.30人B.34人

C.40人D.44人

解析：每间住4人，剩余20人没地方住;每间住8人，有一间缺4人没住满。

我们可以假设这些学生先4人一间，然后再每间加4人，那么第一次剩余的20人可以

分配至U20+4=5间，还有一问只有4人，可以很容易得到房间为5+1=6间，那么总人数为6

,4+20=44人。

通过做这道题H,我们可以进步总结，第•次分配人到房间是盈，第二次分配人到房

间是亏，（盈+亏户（分配方法之差尸房间数。

例2、单位安排职工到会议室听报告。如果每3人坐条长椅，那么剩下48个人没有

坐;如果每5人坐一条长椅，则刚好空出两条长椅。听报告的职工有多少人?（2009年河北省

公务员考试行测第119题）

A.128B.135

C.146D.152

解析：每3人坐一条长椅，剩余48人;每5人坐一条长椅，缺10人没地方坐。

48+10=58人，58-（5-3）=29条长椅，则人数=（29-2）x5=135人。

当然本题还可以直接用人数能被5整除来进行判断，选择B。

例3、某单位以箱为单位向困难职工分发救济品，如果有12人每人各分7箱，其余的

每人分5箱，则余下148箱;如果有30人每人各分8箱，其余的每人分7箱，则余下20箱。

由此推知该单位共有困难职工（）（2008年山西省公务员考试行测第43题）

A.61人B.54人

C.56人D.48人

解析：本题和别的盈亏问题的区别在于，每次的救济品分发的过程中，有一部分人的分

配方法和其他人不同。对于这样的问题，我们要做的是首先统一分配方法，即所有人采用相

同的分配方法。

第一次每人分5箱，余下148+12x2=172箱

第二次每人分7箱，余下20+30=50箱

172-50=122箱，122+（7-5尸61人。

由解盈亏问题的公式可以看出，求解此类问题的关键是小心确定两次分配数量的差和盈

亏的总额，如果两次分配是一次是有余，另一次是不足时，则依上面的计算过程，先求得人

数（不是物数），再求出物数;如果两次分配都是有余，则计算过程变成两次剩余差除以两次分

配数之差。

有时候，必须转化题目中条件，才能从复杂的数量关系中寻找解答;有时候，直接从“包

含'’入手比较困难，可以间接从其反面"不包含'’去想就会比较容易。

数量关系20秒极限解题法

20秒极限解题法可以帮助考生在解答数量关系与资料分析问题中实现“快”、“稳”、“准”的梦想。

20秒极限解题法，是教研团队结合行测命题规律，在总结近年来国考和地方考试及各

地考试行测真题的基础上，为考生量身打造的一套解题技巧，使广大考生在解答数量关系与

资料分析问题中实现“快”、“稳”、“准”的梦想。下面撷取几例，与广大考生分享。

极限技巧一：整除法

整除法在公务员行测考试中占有非常重要的位置，能够快速提高数量关系的解题速度，

有效节省做题时间。运用整除法的关键在于找到题干中隐藏的关键数字信息，结合选项利用

数字的整除特性解题。

例1：在一次测验中，甲答对4道题，乙答错题目总数的1/6,两人都答对的题目是总

数的1/4。那么乙答对了多少题？

A.10B.8C.20D.16

一一『2010年河南省选调生录用考试』

【答案】A

一般解法：设总量为x,乙答对总题量的5/6,甲答对4道题，又因为两人都答对的题

目是总数的1/4,则有x/4<4,x<16o再往下就无从着手了。

【20秒极限解题法】整除法，同时代入排除法。由题意知，题目的总数=乙答对的题目

数x(6/5),显然乙答对的题目数是5的倍数，首先排除B、D;将20代入，若乙答对的题目数

为20道，则题目的总数为24道，又甲答对4道题，所以两人都答对的题目数最多为4道,

4W1/4,所以排除C。故选A。

例2：某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%,女员工人数比去年

增加5%,员工总数比去年增加3人。问今年男员工有多少人?()

一一『2011年中央、国家机关公务员录用考试』

A.329B.350C.371D.504

【答案】A

•般解法：因此题计算比较繁琐，•般数学基础好的学生按此方法做题约需要60秒以

上。设去年男员工人数为X,女员工为830-x,今年男员工人数为xx(l-6%),女员工为(830-

x)x(l+5%),今年人数比去年多3人，即xx(l-6%)+(830-x)x(l+5%尸830+3,解方程可求出x,

则今年男员工人数为xx(l-6%尸329。

【20秒极限解题法】本题可利用整除特性求解。由题知：今年男员工人数是去年的94

%,即4750,故今年男员工人数可被47整除。结合选项，只有A项符合。故选A。

极限技巧二：数字特性法

数字特性法：根据题干列出公式，观察式子中是否包含某些特定数字来进行答案的排除

及选择的一种方法。这种方法的核心在于以下两点：若等式一边能被某个数整除，则另一边

一定能被某个数整除;若等式一边不能被某个数整除，则另一边一定不能被某个数整除。

例3：某机关有工作人员48人，其中女性占总人数的37.5%,后来又调来女性若干人,

这时女性人数恰好是总人数的40%,问调来几名女性?()

A.1人B.2人C.3人D.4人

——『2009年河南选调生录用考试』

【答案】B

一般解法：设调来女性为X,求得原有女性48x37.5%=18人，所以(18+x)+(48+x)=40

%,这样可以求得x=2。

【20秒极限解题法】本题公式的运算可以运用数字特性法。后来的女性的人数为(48+x)

x40%是一个整数，可知48+x一定能够被5整除，根据四个选项，得到x=2。故选B。

例4：某商场促销，晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打9.5折，付款时满40

0元再减100元。已知某鞋柜全场8.5折，某人晚上九点多去该鞋柜买了一双鞋，花了384.

5元，问这双鞋的原价为多少钱?()

A.550元B.600元C.650元D.700元

一一『2008年中央、国家机关公务员录用考试』

【答案】B

一般解法：该题属于利润问题，根据题意列出下列方程：原价=(384.5+100)/(0.85x0.95)

=(484.5)/(0.85x0.95)=600。这个式子本身并不难列出，但若按常规方法运算的话，过程繁琐

且易出错。

【20秒极限解题法】本题可以运用数字特性法。由上面的公式，484.5能被3整除，而

0.85和0.95都不能被3整除，因此在公式的计算过程中3没有被约掉，因此答案必然能被3

整除选项中只有B能够被3整除，因此选B。

快速解答路程问题

专家以路程问题历年经典真题为例，给大家详细讲解如何快速解答此类问题，帮助广大考生在考场上节省

时间，提高效率。

路程问题是数量关系运算题中常见的典型问题，涉及距离、速度和时间三者之间的关系。

其中，距离=速度X时间。这种问题包括三种基本类型：相遇问题、追及问题和流水问题。

下面，专家以路程问题历年经典真题为例，给大家详细讲解如何快速解答此类问题，帮助广

大考生在考场上节省时间，提高效率。

1.相遇问题

“相遇问题'’（或相背问题）是两个物体以不同的速度从两地同时出发（或从一地同时相背

而行），经过若干小时相遇（或相离）。若把两物体速度之和称之为“速度和“，从同时出发到相

遇（或相距）时止，这段时间叫“相遇时间两物体同时走的这段路程叫“相遇路程”，那么，它

们的关系式是：相遇路程=速度和X相遇时间;相遇时间=相遇路程+速度和;速度和一相遇路

程+相遇时间。

【例题1】（2007年国家）

A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分钟走的

路程等于乙火车5分钟走的路程，乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时间后，

甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇，相遇地点离A、B两站的距离比

是15：16,那么，甲火车在（）从A站出发开往B站。

A.8时12分B.8时15分C.8时24分D.8时30分

【答案】B。解析：由题意可知，甲、乙两列火车的速度比为5：4,两列火车相遇时，

各自走过的距离比为15：16,那么这两列火车所用时间比很容易算出，为3：4,进而得出

甲所用的时间为3/4x60=45（分钟）。由此可知，甲火车应该是在8时15分从A站出发的。

【例题2】（2006年国家）

A、B两地以一条公路相连。甲车从A地，乙车从B地以不同的速度沿公路匀速率相向

开出。两车相遇后分别掉头，并以对方的速率行进。甲车返回A地后又一次掉头以同样的

速率沿公路向B地开动。最后甲、乙两车同时到达B地。如果最开始时甲车的速率为x米/

秒，则最开始时乙车的速率为（）。

A.4x米/秒

B.2x米/秒

C.0.5x米/秒

D.无法判断

【答案】B。解析：甲车从A点到B点时，乙车已经从B点到A点再返回B点，即两

车相同时间内以乙车速率走过以甲车速率的两倍路程。已知甲车的速率为x米/秒，则乙车

的速率为2x米/秒。故答案为B。

2.追及问题

追及问题是两物体以不同速度向同一方向运动，核心是“速度差”的问题。两物体同时运

动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程可以称之为“追及的路程”，那么，在后的追上在

前的时间叫“追及时间”。公式为：追及时间一追及的路程十速度差。

【例题1】（2006年国家）

从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有（）。

A.1次B.2次C.3次D.4次

【答案】B。解析：一个小时内，分针转一圈，与时针构成直角的机会有2次。

【例题2】（2003年国家）

两点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合?（）

A.2点10分B.2点30分C.2点40分D.2点50分

【答案】A。解析：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按"时'’分为12大格，

按“分''分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的

转速是分针的1/12。此题中，两点钟的时候，分针指向12,时针指向2,分针在时针后（5x

2）小格。而分针每分钟可追及1-1/12=11/12（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这

样所需要时间应为（10+11/12户10（分钟），因此，2点10分时两针电合。

3.流水问题

船速是船在静水中航行的速度;水速是水流动的速度;顺水速度，即船顺水航行的实际速

度，等于船速加水速;同理，逆水速度等于船速减水速。流水问题具有行程问题的•般性质，

即速度、时间、路程，可参照行程问题解法。

【例题】（2005年国家）

•只船从甲地开往乙地，逆水航行，每小时行24千米，到达乙地后，又从乙地返回甲

地，比逆水航行提前2.5小时到达。已知水流速度是每小时3千米，甲、乙两地问的距离是

多少千米?（）

A.200B.250C.300D.350

【答案】C。解析：逆水每小时行24千米，水速每小时3千米，那么顺水速度为：24+

3/2=30（千米）;比逆水提前2.5小时，若行逆水那么多时间，就可多行30x2.5=75（千米），因

每小时多行3><2=6（千米），儿小时才多行75千米，这就是逆水时间。24+3x2=30（千米），24

x[30x2.5+（3x2）]=24x[30x2.5+6]=24xl2.5=300（千米），因此，甲、乙两地间的距离是300千

米。

快速解答“盈亏问题”

本文讲解了盈亏问题的快速答题方法，并结合例题进行讲解，希望能给广大考生一定的启发和帮助.

公务员考试行测试卷中，数量关系题里经常会出现盈亏问题，一般思路都是通过设未知

数、列方程的办法来处理，这样就耗费了比较多的时间，考生往往一看见这样的题目就头疼。

其实，解决盈亏问题也是有一定技巧的，掌握了这些技巧，可以最大限度的节约时间，更快

的选出答案。下面华图教研中心公务员考试辅导专家就为广大考生找到了盈亏问题的快速答

题方法，并结合例题进行讲解，希望能给广大考生一定的启发和帮助。

【例1】若干学生住若干房间，如果每间住4人则有20人没地方住，如果每间住8人

则有一间只有4人住，问共有多少学生?（）

A.30B.34C.40D.44

【解析】最容易想到的解题思路就是设未知数、列方程的方法：

1y=4x+20(x=6

<<

假设房间数为X，学生总数为九则行："=8"4，解出卜=",选D

针对偷亏问题，仃种更快速的解题办法。注意到此类问题中，总厅某个后是保持不变

的(如上题中的房间数量),我们称之为“份数”.将盈亏问题推广到更一般的情况:

若干物品，若年份。个，则多掰个：若密份3个，则多加个，求物品总数.

m-n

x="

r<b-。

y=ax+wbm-an

<y=.

假设份数为，物品总数为，则有：”解出Ib-a

余额差

这就是雒弓问题的一般公式•我们只需要记住：份数=单位差,其中余额差=朗一%

单位差=»a,则物品总数也很容易就求出来r.

如例I中，求学生数即求物品总数，房间数为份数。

20-(-4).

---------=6

由公式可得房间数8-4间，那么，学生数1X6+20=44人.所以答案选D,

下面通过两个例题来熟悉•下这种方法。

【例2】(北京2007T9)彳厂•堆螺丝和螺母，若一个例纥配2个螺母,则多10个螺母，若

一个螺丝配3个螺母，则少6个螺母，共有多少螺纹？()

A.16B.22C.42D.48

10-(-6)_

X——1b

【解析】利用公式，螺纹数即为份数，3-2，选A.

【例3】(北京2006-23)若干个同学去划船，他们租「一些船.若每船4人则多5人；若

每船5人则船上有4个空位，共仃多少同学？()

A.17B.19C.26I).41

5-(-4)

Xr—--------9

【解析】利用公式.船数即为份数，5-4,则同学数=4X9+5=41人，选A.

5X5-4X(-4)

y=-------------=41

也可以直代入接公式，同学数5-4,选A。

以上解题方法简单易懂，容易掌握，能借助考生快速准确地答题。见后，华图教育祝愿

考生们在考试中取得理想的成绩！

巧用集成思想破解数学运算

I导读I近几年在四川公务员考试行测测试中出现了一些过程极其复杂或者条件极少的的数学运算题。专家

总结出解决这类题0的独特的解题思想一''集成思想

随着四川公务员考试的逐渐成熟和报考人数的逐年增多，近儿年在四川公务员考试行测

测试中出现了一些过程极其复杂或者条件极少的的数学运算题。如果运用传统的解题方法去

解这类题H,不仅会浪费极其宝贵的考试时间，有些题目甚至是无法解决的。专家总结出解

决这类题目的独特的解题思想——“集成思想

所谓的“集成”思想又叫做整体思想，是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个

整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.从

整体出发的处理方法，体现了一种着眼全局、通盘考虑的整体观念。

例题1：甲、乙二人从相距20千米的两地同时出发，相向而行，甲的速度为6千米/时,

乙的速度为4千米/时.一只小狗与甲同时出发向乙奔去，遇到乙后立即调头向甲跑去，遇到

甲后又立即调过头来迎乙……直到二人相遇为止.若小狗的速度是13千米/时，在这一奔跑

过程中，小狗的总行程是多少千米？

A.18B.23C.26D.29

【解析】对本题的处理，可以有以下几种不同的方案

第一种方案：逐段计算小狗奔跑的路程.这是可以做到的：例如，第一次遇到乙时，小

狗所走的路程为x13（千米），求所有路程的和即得。

第二种方案：逐段计算小狗奔跑的时间.例如，第一次遇到乙时，小狗奔跑的时间为（小

时），求出奔跑时间的总和，再乘以小狗的速度即得。

第三种方案：注意到小狗来回奔跑的时间之和，恰等于甲、乙二人从出发到相遇所需的

时间（这一发现很重要，因为在这段时间内，小狗是不停奔跑的），故小狗奔跑的总时间为=

2小时，从而轻而易举地得到小狗奔跑的总路程为13x2=26（千米）。

比较上述三种方案可知，如果我们的思路被小狗牵着鼻子走，沿着它的奔跑路线去逐段

计算路程或时间（即执行第一、二种方案），将要进行大量的计算，且要涉及无穷递缩等比数

列求和的运算，过程比较繁复，而第三种方案，我们忽略了小狗奔跑的细节，只是根据题目

中的条件计算出小狗奔跑的总时间，显得机巧、简捷、一目了然。

【答案】C

例题2:有甲、乙、丙三种货物。若购甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元;若购甲4

件、乙10件、丙1件，共需4.2元。现在计划购甲、乙、丙各一件，共供需多少钱？

A.0.95元B.1.05XC.1.08元D.1.10元

【解析】这道题包括3个未知数，但只有2个独立的条件，如果按传统的解题思路，我

们需要分别计算出甲、乙、丙货物的单价，但按照题目条件我们是做不到的，这道题目看似

山穷水尽。但用“集成”的思想我们就会很快解出。

设甲、乙、丙各一件分别需元，元，元，依题意列方程得：

3x+7y+z=3.15（1）

4x+10y+z=4.20（2）

3x（l）-2x（2尸x+y+z=1.05（元）

因为在这一过程中我们忽略了一些无关结果的细节，因此用这种法法解题往往达到事半

功倍的效果，真叫山穷水复疑无路，柳暗花明又一村。

49个常见问题公式法巧解

一.页码问题

对多少页出现多少1或2的公式

如果是X千里找几，公式是1000+X00*3如果是X百里找几，就是100+X0*2,X有

多少个0就*多少。依次类推!请注意，要找的数一定要小于X,如果大于X就不要加100

。或者100一类的了,

比如，7000页中有多少3就是1000+700*3=3100(个)

20000页中有多少6就是2000*4=8000(个)

友情提示，如3000页中有多少3,就是300*3+1=901,请不要把3000的3忘了

二，握手问题

N个人彼此握手，则总握手数

S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2=[nA2-nJ/2=N«N-l)/2

例题：

某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成•个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，

整个游戏一共握手152次，请问这个班的同学有()人

A、16B、17C、18D、19

【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此

题。按照排列组合假设总数为X人则Cx取3=152但是在计算X时却是相当的麻烦。我

们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x-3次手。每个人都是这样。

则总共握了xx(x-3)次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次数

是xx(x-3)+2=152计算的x=19人

三，钟表重合公式

钟表几分重合，公式为：x/5=(x+a)/60a时钟前面的格数

四，时钟成角度的问题

设X时时，夹角为30X,Y分时，分针追时针5.5,设夹角为A.(请大家掌握)

钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时

针走0.5度，能追5.5度。

1.[30X-5.5Y]或是360-【30X-5.5Y][]表示绝对值的意义(求角度公式)

变式与应用

2.[30X-5.5Y]=人或360-130X-5.5Y】=A(已知角度或时针或分针求其中一个角)

五，往返平均速度公式及其应用(引用)

某人以速度a从A地到达B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v

=2ab/(a+b)。

证明：设A、B两地相距S,贝IJ

往返总路程2S,往返总共花费时间s/a+s/b

故v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)

六，空心方阵的总数

空心方阵的总数=（最外层边人（物）数-空心方阵的层数“空心方阵的层数><4

=最外层的每一边的人数人2-（最外层每边人数-2*层数）八2

=每层的边数相加x4-4x层数

空心方阵最外层每边人数=总人数/4/层数+层数

方阵的基本特点：①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层边

上的人数就少2;

②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：

③中实方阵总人（或物）数=（每边人（或物）数）2=（最外层总人数，4+1）2

例：①某部队排成•方阵，最外层人数是80人，问方阵共有多少官兵?（441人）

②某校学生刚好排成一个方队，最外层每边的人数是24人，问该方阵有多少名学生？

（576名）解题方法：方阵人数=（外层人数+4+1）2=（每边人数）2

③参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方

形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人?（289人）

解题方法：去掉的总人数=原每行人数乂2-1=减少后每行人数x2+l

典型例题：某个军队举行列队表演，已知这个长方形的队阵最外围有32人，若以长和

宽作为边长排出2个正方形的方阵需要180人。则原来长方形的队阵总人数是（）

A、64,B、72C、96D、100

【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。长方形的（长+宽）x2=3

2+4得到长+宽=18。可能这里面大家对于长+宽=18有些难以计算。你可以假设去掉4个

点的人先不算。长+宽（不含两端的人户2+4（4个端点的人）=32,则计算出不含端点的长+

宽=14考虑到各自的2端点所以实际的长宽之和是14+2+2=18。求长方形的人数，实际上

是求长x宽。根据条件长x长+宽x宽=180综合（长+宽）的平方=长、长+宽x宽+2x长x宽=18x1

8带入计算即得到B。其实在我们得到长宽之和为18时，我们就可以通过估算的方法得到

选项B

七，青蛙跳井问题

例如：①青蚌从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需

跳儿次方可出井?（6）

②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能

爬上单杠?（7）

总解题方法：完成任务的次数=井深或绳长-每次滑卜米数（遇到半米要将前面的单位

转化成半米）

例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。

完成任务的次数=（总长-单长）/实际单长+1

八，容斥原理

总公式：满足条件•的个数+满足条件2的个数-两个都满足的个数=总个数-两个都不满

足的个数

【国2006一类-42]现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40

人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人?

A.27人B.25人C.19人D.10人

上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”，这类问题一般比较简单，使用

容斥原理或者简单画图便可解决。但使用容斥原理对思维要求比较高，而画图浪费时间比较

多。鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出，卜面华图名师李委明给出一个通解公式，希

望对大家解题能有帮助：

例如上题，代入公式就应该是：40+31-x=50-4,得到x=25。我们再看看其它题目：【国

2004A-461某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中

有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少?A.

22B.18C.28D.26

代入公式：26+24-x=32-4,得