2020年中考数学 反比例函数复习

第三章函数第十三讲反比例函数

★★★核心知识回顾★★★

知识点一、反比例函数的概念及解析式

1.反比例函数的定义

一般地，形如函数丫=（k是常数，厚0）叫做反比例函数，自变量x的取值范围是。

2.反比例函数的解析式有三中形式：

（1）y=-（k是常数，k和）；（2）y=kx"（k是常数，厚0）；（3）xy=k（k/0）,

__________X______________________________

知识点二、反比例函数的图象和性质

1.反比例函数y=幺（k/0）的图象：

X

反比例函数y=&（k翔）的图象是,它有两个分支，关于对称；

X

2.反比例函数>=幺（k#0）的性质：

x

（1）当k>0时，双曲线的两支分别位于象限，在每一个象限内y随x的增大而；

（2）当k<0时，双曲线的两支分别位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而.

（1）反比例函数关系式是一个分式，自变量和函数值都不能为0,即呼0、x邦、40,所以其图象与I

：x轴、y轴无交点，但无限地接近于两坐标轴。

（2）反比例函数的图象在x=0处是断开的，因此其性质强调在每个象限内y随x的变化而变化。

U.__________________________________________________________________________I

3.反比例函数），=4（k为常数，k/0）中比例系数k的几何意义：

X

如图，从双曲线>=或（厚0）上任意一点A向两坐标轴作垂线段AB与AC,两垂线段与坐标轴围成的矩

X

形面积为，即：

S矩形ABOC二»SAAOB=。B~

即：过双曲线y=4（修0）上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积均为。

X

•一-一一--i

I

：k的几何意义常常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用。

!____________________________________________I

知识点三、反比例函数解析式的确定

因为反比例函数y=V（k户0）中只有一个待定系数,所以求反比例函数关系式只需知道一组

X

对应的X、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法。

知识点五、反比例函数的应用

解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变

量的___________

★★★中考典例剖析★★★

考点一：反比例函数的图象和性质

例1（2018•怀化）函数y=kx-3与y=&（厚0）在同一坐标系内的图象可能是（）

A.B.

例2.（2019•湖北天门・3分）反比例函数y=-上，下列说法不正确的是（

X

A.图象经过点（1,-3）B.图象位于第二、四象限

C.图象关于直线y=x对称D.y随x的增大而增大

例3（2018•乌鲁木齐）小明根据学习函数的经验，对函数y=x的图象与性质进行了探究.

X

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）函数y=%+4的自变量x的取值范围是.

x

（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出m,n的值：m=—,n=—；

££

X-3-2-1_11234

-2332

10_5_5_2025_17

y-2m2n

~2~222T

（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该

函数的图象；

（4）结合函数的图象，请完成：

17

①当y=--时，x=_________.

4

②写出该函数的一条性质_________________________________

③若方程x+L=t有两个不相等的实数根，则t的取值范围

X

是.

跟踪训练

k

1.（2019•湖北武汉）已知反比例函数丫=一的图象分别位于第二、第四象限,A（xi，力）、B（x2,y2）两

X

点在该图象上，下列命题：①过点A作ACJ_x轴，C为垂足，连接OA.若4人03的面积为3,则k=-6；

②若X1VOVX2，则yi>y2；③若xr»2=0,则yi+y2=0，其中真命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

Q

2.（2018/1照）已知反比例函数》二一2,下列结论：①图象必经过（-2,4）；②图象在二，四象限内;

x

③y随x的增大而增大；④当x>-l时，则y>8.其中错误的结论有（）个

A.3B.2C.1D.0

3.（2018•郴州）参照学习函数的过程与方法，探究函数^=之2（#0）的图象与性质.

X

因为y==-=l--，E|Jy=—+l,所以我们对比函数y=--来探究.

XXXX

列表:

J_

X-4-3-2-11234

'22

2j_22j_

y=--124-4-2-1

X23'3~2

•X—225J_

y二235-3-10

X232

描点：在平面直角坐标系中，以自变量X的取值为横坐标，以y=y='X—^2相应的函数值为纵坐标，描出

x

相应的点，如图所示：

（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来;

（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当x<0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）

x-22

②y=--的图象是由y:一的图象向平移个单位而得到；

XX

③图象关于点中心对称.(填点的坐标)

Y—2

(3)设A(X”yi),B(x2,y2)是函数y=-------的图象上的两点，且X]+X2=O,试求yi+yz+3的值.

_______________________________x

考点二：反比例函数图象的坐标特征

例4(2019*贵州毕节)若点A〈-4,yi)、B(-2,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=--的图象上,

X

则丫1丫2丫3的大小关系是()

A.yi>y2>y3B.y3>y2>yiC.y2>yi>y3D.yi>y3>y2

跟踪训练

2

1.（2018•济南）在反比例函数y=--图象上有三个点A（xi，yP、B（x2,y2）、C（x3,y3）,若X|V0<

x

X2VX3,则下列结论正确的是（）

A.yj<y2<yiB.yi<y3<y2C.y2<y3<yiD.y3<yi<y2

k

2.（2019广西）若点（-1,%），（2,y2）,（3,y3）在反比例函数y=-（k<0）的图象上，则为，力，y3

x

的大小关系是（）

A.yi>y2>y3B.y3>y2>yiC.y1>yi>y1D.力>V3>Vi

考点三：反比例函数解析式

例5(2019湖北省十堰市，第10题，3分)如图，平面直角坐标系中，A(-8,0),B(-8,4),C(0,

4),反比例函数y=&的图象分别与线段A8,BC交于点D,E,连接。£.若点8关于DE的对称点恰好在

X

OA±,贝ljA=()

A.-20B.-16C.-12D.-8

跟踪训练

1.(2018•遵义)如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，ZOAB=30°,若点A在反比例函数y=-(x

x

>0)的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为()

考点四：反比例函数k的几何意义

例6(2018•温州)如图，点A,B在反比例函数y=L(x>0)的图象上，点C,D在反比例函数y="(k

XX

_3

>0)的图象上，AC〃BD〃y轴，已知点A,B的横坐标分别为1,2,AOAC与AABD的面积之和为Q,

则k的值为()

3

A.4B.3C.2D.-

2

跟踪练习：1(2019湖南省株洲市，第9题，3分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点48、C为

k

反比例函数y=—(k>0)上不同的三点，连接。A、OB、OC,过点A作AOJ_y轴于点D,过点B、C分别

X

作BE,CF垂直x轴于点E、F,OC与8E相交于点记△A。。、△BO/W、四边形C/WEF的面积分别为入、

52、S3,则()

A.SI=52+$3B.S2=S3C.S3>S2>SiD.5152Vs3

2.(2018•乐山)如图，曲线C2是双曲线C|：y=-(x>0)绕原点O逆时针旋转45。得到的图形，P是

X

曲线C2上任意一点，点A在直线1：y=x上，且PA=PO,则ZkPOA的面积等于()

A.限B.6C.3D.12

考点五：反比例函数与一次函数的综合问题

例7(2018•铜仁市)如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数>=&的图象相交于A(-2,y,),B(1,

X

y2)两点，则不等式ax+b<L的解集为()

A.x<-2或0<xVlB.x<-2C.0<x<lD.-2<xV0或x>l

m

跟踪练习1.(2019•湖南衡阳・3分)如图,一次函数y)=kx+b(kWO)的图象与反比例函数y=—(m

2x

为常数且m/0)的图象都经过A(-1,2),B(2,-1),结合图象，则不等式kx+b>'的解集是()

X

A.x<-1B.-l<x<0C.xV-l或0VxV2D.-IVXVO或x>2

2.(2018•安顺)如图，已知直线y=kix+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y=&的图象相交于A(-2,

x

m)、B(1,n)两点,连接OA、OB,给出下列结论：①k]k2V0；②m+；n=0；③SAAOP=S^BOQ；④不等

式k1X+b>b的解集是x<-2或0<x<1,其中正确的结论的序号是.

X

考点六：反比例函数的应用

例9（2018•乐山）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是

试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中

线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.

请根据图中信息解答下列问题：

（1）求这天的温度y与时间x（0<x<24）的函数关系式；

（2）求恒温系统设定的恒定温度；

（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能

使蔬菜避免受到伤害？

跟踪练习：

1.（2019河北，第24题，10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2,

当队伍排尾行进到位置。时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均

为2V（m/5）,当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置。开始行进的时间为t（5）,排头与

O的距离为S头（m）.

（X尾）头一>东o尾荚东

・・-----------•--------------•--

甲一》甲

图1图2

（1）当v=2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；

②当中赶到排头位置时，求5头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置。的距离为5甲（m）,

求5甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）

（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s）,求7■与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在

此过程中行进的路程.

★★★真题达标演练★★★

1.（2019•湖北天门・3分）反比例函数y=-3,下列说法不正确的是（）

x

A.图象经过点（1,-3）B.图象位于第二、四象限

C.图象关于直线y=x对称D.y随x的增大而增大

2.（2019,山东枣庄，3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y

k

轴的正半轴上，ZABC=90°,CAJ_x轴，点C在函数y=-（x>0）的图象上，若AB=1,则k的值为（）

x

3.（2019・淄博）如图,^OAiBi,“1482,，…是分别以4,4,4,…为直角顶点,一条直

角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点G（尺，％）,◎（女,"）,0（与，〃），...

均在反比例函数y=-（x>0）的图象上.则a+"+...+次的值为（）

D.2有

3

4.（2019浙江省台州市，第9题，4分）已知某函数的图象C与函数y=—的图象关于直线y=2对称.下

X

33-1

列命题：①图象C与函数y=1的图象交于点（士，2）：②点（一，-2）在图象C上；③图象C上的点

x22

的纵坐标都小于4；@A（xi，力），8（x2,y2）是图象C上任意两点，若4>、2,则为>丫2.其中真命题是

()

A.①②B.①③④C.②③④D.①②③④

5.（2019重庆A,第9题，4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形A8CD的顶点A,D分别在x轴、y轴

上，对角线8D〃x轴，反比例函数y=±（k>0,x>0）的图象经过矩形对角线的交点£.若点A（2,0）,

D（0,4）,则k的值为（

A.16B.20C.32D.40

6.（2019湖北省荆门市，第15题，3分）如图，在平面直角坐标系中，函数（k>0,x>0）的图象

与等边三角形OA8的边A8分别交于点M,N,且OM=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为.

7.（2019浙江省宁波市，第18题，4分）如图，过原点的直线与反比例函数y=&（k>0）的图象交于A,

B两点，点A在第一象限.点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点。.AE为NBAC的平分

线，过点8作AE的垂线，垂足为£,连结DE.若AC=3DC,ZVIDE的面积为8,则A的值