2024-2025学年度北师版八上数学2.1认识无理数（第一课时）【课件】

第二章实数1认识无理数（第一课时）课前导入典例讲练目录CONTENTS课前预习01课前预习

分数

02课前导入活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？11活动探究还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！11111111111111111111问题1：设大正方形的边长为

a，则

a满足什么条件？追问1：a是一个什么样的数？a可能是整数吗？因为

S大正方形

=2，所以

a2=2.从“数”的角度：因为

a2=2，而12=1，22=4，

所以12<a2<22.

所以1<a<2，故

a不是整数.BAC取出一个三角形从“形”的角度：在三角形

ABC中，AC=1，BC=1，AB=a，根据三角形的三边关系：

AC-

BC＜

AB＜

AC

+BC，

所以

0＜a＜2，且a≠1，所以

a不是整数.

追问2：a可能是分数吗？①a是分母为2的分数吗？②a是分母为3的分数吗？③a是分母为4的分数吗？④a是分母为多少的分数？归纳：a既不是整数，也不是分数，所以

a不是有理数.03典例讲练

（1）以下各正方形的边长中，不是有理数的是（

C

）A.

面积为49的正方形C.

面积为8的正方形D.

面积为1.21的正方形C

（2）已知一个长方体的长、宽、高分别为x，x，3，体积为60.根据长方体的体积公式，写出关于x的方程，并说明x是否是有理数.解：由题意，得3x2＝60.所以x2＝20.因为42＜x2＜52，所以x不是整数.又因为分数的平方仍是分数，所以x也不是分数.所以x不是有理数.【点拨】（1）由题意得到某个数的平方是一个正数，要说明该数不是有理数，需要说明该数既不是整数，也不是分数.解这类问题的关键：若x2＝a，则当a不能写成一个整数或一个分数的平方的形式时，x不是有理数.（2）整数的平方仍是整数，分数的平方仍是分数.

2

c，n

如图，在边长为1的小正方形拼成的网格图中，连接这些小正方形的若干顶点，得到5条线段：AB，AC，AD，AE，AF.

请你找出其中长度是有理数的线段和长度不是有理数的线段.解：由图可知，AB＝4，BC＝1，BD＝3.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝42＋12＝17.同理，得AD2＝42＋32＝25＝52，AE2＝22＋22＝8，AF2＝22＋32

＝13.所以长度是有理数的线段有AB，AD；长度不是有理数的线段

有AC，AE，AF.

【点拨】在边长为1个单位长度的小正方形拼成的网格中，计算两个端点都在小正方形的顶点上的线段的长度时，在网格线上的线段（如AB）的长度是有理数；不在网格线上的线段（如

AC，AD）应放在由网格线构成的直角三角形中，再利用勾股定理求解，线段的长度可能是有理数，也可能不是有理数.

如图1，我们可以在边长为1的正方形网格中以这样的方式画出面积为5的正方形.（1）请问：它的边长是有理数吗？图1解：（1）设大正方形的边长为a.由勾股定理，得a2＝22＋12＝5.因为22＜a2＜32，所以a不是整数.又因为分数的平方仍是分数，所以a也不是分数.所以a不是有理数.故它的边长不是有理数.（2）可构造两条直角边的长分别为2，2的直角三角形，则以直角三角形的斜边为边的正方形的面积为22＋22＝8，如图

所示.（2）你能用类似的方法在图2中画出面积为8的正方形吗？

（1）试说明：DE＝DF，DE⊥DF；

（2）连接EF，若AC＝10，求EF2的值；（3）在（2）的条件下，线段EF的长是有理数吗？（2）因为AC＝10，所以DE＝DF＝5.在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF2＝DE2＋DF2＝52＋52＝50.（3）因为72＜50＜82，所以EF的长不是整数.又因为分数的平方仍是分数，所以EF的长不是分数.所以线段EF的长不是有理数.【点拨】整数的平方仍然是整数，分数的平方仍然是分数.若一

个数的平方是整数，且又在两个连续自然数的平方之间，则这

个数不是有理数.

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4，

DE垂直平分斜边AC交AB于点D，垂足为E，连接CD.

线段BD，AC，AD，CD的长中，哪些是有理数，哪些不是有理数？解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4，所以AC2＝

AB2＋BC2＝82＋42＝80.因为82＜80＜92，所以AC的长既不是整数，也不是分数，即AC

的长不是有理数.因为DE垂直平分斜边AC，所以AD＝CD.

设AD＝x，则CD＝x，BD＝AB－AD＝8－x.在Rt△BCD中，由勾股定理，得CD2