2024-2025学年度北师版九上数学2.5一元二次方程的根与系数的关系【课件】

第二章一元二次方程*5一元二次方程的根与系数的关系数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS课前导入数学九年级上册BS版01课前预习

－

p

q

数学九年级上册BS版02课前导入复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么？想一想：方程的根与系数

a，b，c之间还有其他关系吗？2.如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？对于一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)，其判别式

Δ=b2

-4ac.当

Δ

＞0时，方程有两个不相等的实数根；当

Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当

Δ

＜0时，方程无实数根.探索一元二次方程的根与系数的关系算一算

解下列方程并完成填空：(1)x2

+3x-4=0；(2)x2

-

5x+6=0；(3)2x2

+3x+1=0.一元二次方程两

根关系x1x2x2

+3x-4=0x2

-

5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2

=-3x1·x2

=-4x1

+x2

=5x1·x2=6将二次项系数化为1猜一猜

（1）一元二次方程

(x-

x1)(x-

x2)=0(x1，x2

为已知数)的两根是什么？若将此方程化为

x2

+px+q=0的形式，你能看出

x1，x2

与

p，q之间的关系吗？重要发现方程

x2

+px+q=0的两根

x1，x2

满足上面两个关系式(x-

x1)(x-

x2)=0x2

-

(x1

+x2)x+x1·x2

=0x2

+px+q=0x1+x2=-p，

x1·x2=q猜一猜（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程ax2

+bx+c=0(a≠0)的两根分别是

x1，x2，那么，你可以得到什么结论？证一证：注：b2

-4ac≥0↗一元二次方程的根与系数的关系

如果

ax2

+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为

x1，x2，那么注意满足上述关系的前提条件b2

-4ac≥0.归纳总结数学九年级上册BS版03典例讲练

（1）已知关于x的一元二次方程x2＋x－a＝0的一个根是2，则

另一个根是

⁠.－3

【解析】（方法一）把x＝2代入原方程，得4＋2－a＝0.解得a＝6.则原方程为x2＋x－6＝0.因式分解，得（x－2）（x＋3）＝0.解得x1＝2，x2＝－3.故答案为－3.（方法二）设另一个根为m.由根与系数的关系，得m＋2＝－1.∴m＝－3.故答案为－3.【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，既可以用方

程的根的意义来解答，也可以用根与系数的关系来解答.一般

地，第二种方法更为简捷.（2）已知方程x2－2x＋m＝0的两根分别为3和n，则m＋n的

值为

⁠.【解析】由根与系数的关系，得3＋n＝2，3n＝m.解得n＝－1，m＝－3.则m＋n＝－4.故答案为－4.－4

1.若4和8是方程x2＋mx＋n＝0的两个根，则m－n的值为

（

B

）A.－20B.－44C.20D.442.若关于x的方程2x2＋mx－4＝0的一个根为1，则另一个根

为

⁠.B－2

已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两个根，不解方程，求下列

代数式的值：

解：由一元二次方程的根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝－2.

（2）（x1－3）（x2－3）＝x1x2－3x1－3x2＋9＝x1x2－3（x1＋

x2）＋9＝－2－3×3＋9＝－2.【点拨】小题中x1，x2的地位是“对称的”，这样的式子一般

用一元二次方程的根与系数的关系就可以解决.

解：由一元二次方程的根与系数的关系，得α＋β＝3，αβ＝－1.

（3）α2－α＋2β.（3）∵α方程是x2－3x－1＝0的一个根，∴α2－3α－1＝0.∴α2＝3α＋1.∴α2－α＋2β＝3α＋1－α＋2β＝2（α＋β）＋1＝6＋1＝7.

已知关于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有x1，x2两个实数根.（1）若x1＝1，求x2及m的值.

解：（1）根据题意，得Δ＝（－6）2－4（2m－1）≥0.解得m≤5.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m－1.∵x1＝1，∴1＋x2＝6，x2＝2m－1.∴x2＝5，m＝3.

【点拨】解决第（2）问需要注意的两个地方：①得到的关于m

的方程是分式方程，需要检验是否有增根；②由于方程的系数

中有参数m