新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程导学案新人教A版选择性必修第一册

．3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程学问点一抛物线的定义eq\x(\s\up1(01))平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.eq\x(\s\up1(02))点F叫做抛物线的焦点，eq\x(\s\up1(03))直线l叫做抛物线的准线．学问点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程eq\x(\s\up1(01))y2＝2px(p>0)eq\x(\s\up1(02))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\x(\s\up1(03))x＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(04))y2＝－2px(p>0)eq\x(\s\up1(05))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\x(\s\up1(06))x＝eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(07))x2＝2py(p>0)eq\x(\s\up1(08))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\x(\s\up1(09))y＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(10))x2＝－2py(p>0)eq\x(\s\up1(11))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))eq\x(\s\up1(12))y＝eq\f(p,2)1．依据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，假如不是，要先化为标准形式，然后推断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．2．抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满意的条件，列出方程，进行化简，依据定义求出p，最终写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负确定．()(3)平面内到肯定点距离与到肯定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为________________；准线方程为__________________.(2)若抛物线的方程为x＝2ay2(a>0)，则焦点到准线的距离p＝________.(3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为_______________________________________________________________．(4)抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是________.答案(1)(1,0)x＝－1(2)eq\f(1,4a)(3)x2＝8y(4)(4，±4)题型一求抛物线的标准方程例1求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．[解](1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，则将点(－3,2)代入方程得2p＝eq\f(4,3)或2p＝eq\f(9,2)，∴所求的抛物线方程为y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.(2)当焦点在y轴上时，令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2，∴抛物线的焦点为F(0，－2)，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则由eq\f(p,2)＝2得2p＝8，∴所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点在x轴上时，同理得y2＝16x.[条件探究]假如把本例(1)中的“点(－3,2)”改为“点(1,2)”如何解答？解解法一：点(1,2)在第一象限，要分两种情形：当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则22＝2p·1，解得p＝2，抛物线方程为y2＝4x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，则12＝2p·2，解得p＝eq\f(1,4)，抛物线方程为x2＝eq\f(1,2)y.解法二：设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点(1,2)代入，得m＝4，n＝eq\f(1,2).故所求的方程为y2＝4x或x2＝eq\f(1,2)y.求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，利用已知条件求出m，n的值，进而写出抛物线的标准方程．[跟踪训练1]依据下列条件，求抛物线的标准方程：(1)焦点到准线的距离是4；(2)准线方程为y＝eq\f(2,3).解(1)p＝4，抛物线的标准方程有四种形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.(2)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且eq\f(p,2)＝eq\f(2,3)，则p＝eq\f(4,3)，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－eq\f(8,3)y.题型二抛物线的定义及其应用例2(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.eq\f(3,4) B．1C．eq\f(5,4) D．eq\f(7,4)(2)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq\f(5,4)x0，则x0＝()A．1 B．2C．4 D．8(3)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．[解析](1)∵y2＝x的准线方程为l：x＝－eq\f(1,4)，由题意得|AF|，|BF|分别为A，B到准线l的距离d1，d2(如图所示)．则线段AB的中点到准线的距离为d3＝eq\f(d1＋d2,2)＝eq\f(3,2)，∴线段AB的中点到y轴的距离为d＝eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).故选C.(2)由题意知抛物线的准线为x＝－eq\f(1,4).因为|AF|＝eq\f(5,4)x0，依据抛物线的定义可得x0＋eq\f(1,4)＝|AF|＝eq\f(5,4)x0，解得x0＝1，故选A.(3)如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).此时yP＝2，代入抛物线方程得xP＝2，∴P点坐标为(2,2)．[答案](1)C(2)A(3)见解析[结论探究]假如本例(3)的问题改为“求点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值”，如何解答？解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离．由图可知，当点P，A(0，2)和抛物线的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))三点共线时所求距离之和最小．所以最小距离d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2＋2－02)＝eq\f(\r(17),2).抛物线的定义及应用抛物线的定义中指明白抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线的定义解决最值问题及其他问题的实质．[跟踪训练2]已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为()A．2eq\r(2) B．4C．eq\r(2) D．eq\f(3\r(2),2)＋1答案A解析将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为eq\f(|1＋0＋3|,\r(12＋12))＝2eq\r(2)，故选A.题型三与抛物线有关的轨迹问题例3已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P与圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．[解]解法一：设点P的坐标为(x，y)，动圆P的半径为r，由条件知|AP|＝r＋1，即eq\r(x＋22＋y2)＝|x－1|＋1，化简，整理得y2＝－8x.解法二：如图，设动圆P的半径为r，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1，所以|PQ|＝r＋1，又|AP|＝r＋1，所以|AP|＝|PQ|，故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．∴eq\f(p,2)＝2，∴p＝4，∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.利用定义求轨迹的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法干脆求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满意动点到定点的距离等于到定直线的距离的条件，有时须要依据已知条件进行转化才能得到满意抛物线定义的条件．[跟踪训练3]平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．解解法一：设P点的坐标为(x，y)，则有eq\r(x－12＋y2)＝|x|＋1.两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.所以y2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,0，x<0，))即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．解法二：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0).题型四抛物线方程的实际应用例4“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气概雄伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8(部分)组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知AB＝44m，∠A＝45°，AC1＝4m，C1C2＝5m，立柱C2D2＝5.55m.(1)求立柱C1D1及横梁D1D8的长；(2)求抛物线D1OD8的方程和桥梁的拱高OH.[解](1)由题意知，∠A＝45°，AC1＝4m，则C1D1＝4m．因为ABD8D1是等腰梯形，由对称性知，AH＝HB＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×44＝22m，AC1＝C8B＝4m，C1H＝eq\f(1,2)C1C8＝eq\f(1,2)(AB－AC1－C8B)＝eq\f(1,2)×(44－4－4)＝eq\f(1,2)×36＝18m.所以D1D8＝C1C8＝36m.综上，C1D1＝4m，D1D8＝36m.(2)由(1)知点D1的横坐标为－18，则D2的横坐标为－(18－5)＝－13，设D1，D2点的纵坐标分别为y1，y2，由图形知|y1－y2|＝|5.55－4|＝1.55.设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，将点D1，D2代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－182＝－2py1，,－132＝－2py2，))两式相减得2p(y2－y1)＝182－132＝155，解得2p＝100，故抛物线方程为x2＝－100y.因此，当x＝－18时，y＝－eq\f(1,100)x2＝－eq\f(1,100)×324＝－3.24m，故|y1|＝3.24m，所以桥梁的拱高OH＝3.24＋4＝7.24m.综上，抛物线D1OD8的方程为x2＝－100y，桥梁的拱高OH为7.24m.求解抛物线实际应用题的五个步骤(1)建系：建立适当的坐标系．(2)假设：设出合适的抛物线的标准方程．(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．(4)求解：求出所要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．[跟踪训练4]喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？解如图所示，建立直角坐标系，设B点坐标为(0,0)，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，因为点A(－4，y0)在抛物线上，所以16＝－5y0，即y0＝－3.2，所以OA的长为5－3.2＝1.8m.所以管柱OA的长为1.8m.1．若动点P到定点F(1,1)的距离与它到定直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线答案D解析解法一：设动点P的坐标为(x，y)，由题意得，eq\r(x－12＋y－12)＝eq\f(|3x＋y－4|,\r(10))，整理得x－3y＋2＝0，∴动点P的轨迹为直线．故选D.解法二：∵点F(1,1)在直线3x＋y－4＝0上，∴动点P的轨迹为过点F且垂直于直线l：3x＋y－4＝0的直线．故选D.2．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.eq\f(1,16) B．eq\f(15,16)C．1 D．eq\f(17,16)答案B解析抛物线y＝4x2的标准方程为x2＝eq\f(y,4)，其准线方程为y＝－eq\f(1,16)，由抛物线的定义知yM－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)))＝1，所以yM＝eq\f(15,16).3．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程可能为()A．y2＝4x B．y2＝2xC．y2＝8x D．y2＝16x答案AD解析由已知得，抛物线的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－2))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得，eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，即yeq\o\al(2,0)－8y0＋16＝0，解得y0＝4，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故C的方程可能为y2＝4x，y2＝16x.故选AD.4．若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________.答案－eq\f(1,8)解析把抛物线方程y＝ax2化为标准方程为x2＝eq\f(1,a)y，所以－eq\f(1,4a)＝2，a＝－eq\f(1,8).5．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程．解当m>0时，准线方程为x＝－eq\f(m,4)，由已知条件知1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))＝3，所以m＝8.此时抛物线的方程为y2＝8x；当m<0时，准线方程为x＝－eq\f(m,4)，由已知条件知－eq\f(m,4)－1＝3，所以m＝－16，此时抛物线的方程为y2＝－16x.所以所求抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－16x.A级：“四基”巩固训练一、选择题1．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为()A．(8,8) B．(8，－8)C．(8，±8) D．(－8，±8)答案C解析设P(xP，yP)，因为点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，所以xP＝8，yP＝±8.故选C.2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－eq\f(4,3) B．－1C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)答案C解析因为点A在抛物线的准线上，所以－eq\f(p,2)＝－2，所以该抛物线的焦点为F(2,0)，所以kAF＝eq\f(3－0,－2－2)＝－eq\f(3,4).故选C.3．抛物线y2＝mx的焦点为F，点P(2,2eq\r(2))在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为()A．1 B．eq\f(3,2)C．2 D．eq\f(5,2)答案D解析∵点P(2,2eq\r(2))在抛物线上，∴(2eq\r(2))2＝2m，∴m＝4.又P到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F到准线距离为2，∴M到抛物线准线的距离为d＝eq\f(3＋2,2)＝eq\f(5,2).4．已知F是抛物线y＝eq\f(1,16)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是()A．x2＝8y－16 B．x2＝2y－eq\f(1,16)C．x2＝y－eq\f(1,2) D．x2＝2y－2答案A解析抛物线方程可化为x2＝16y，焦点F(0,4)，设线段PF的中点E的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y－4，代入抛物线方程，得(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16.故选A.5．如图，南北方向的马路L，A地在马路正东2km处，B地在A地北偏东60°方向2eq\r(3)km处，河流沿岸曲线PQ上随意一点到马路L和到A地距离相等，现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建马路的费用都为a万元/km，那么，修建这两条马路的总费用最低是()A．(2＋eq\r(3))a万元 B．(2eq\r(3)＋1)a万元C．5a万元 D．6a万元答案C解析依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线，依据抛物线的定义知：欲使从M到A，B修建马路的费用最低，只需求出B到直线L的距离即可．∵B地在A地北偏东60°方向2eq\r(3)km处，∴B到点A的水平距离为3km，∴B到直线L的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条马路的总费用最低为5a万元．故选C.6．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则以下结论中正确的是()A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1C．|FP|＝4 D．|FR|＝4答案AC解析如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ.又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°.由抛物线的定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，又四边形FRMQ为平行四边形，所以|FR|＝|QM|＝2.故选AC.二、填空题7．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________.答案2解析∵y2＝2px的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，由题意得，eq\f(p,2)＋3＝4，∴p＝2.8．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,0)关于原点O对称．点P(x0，y0)在抛物线y2＝4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0＝________.答案1＋eq\r(2)解析∵点B与点A(－1,0)关于原点O对称，∴B(1,0)，依据题意，有kAP·kBP＝2，即eq\f(y0,x0＋1)·eq\f(y0,x0－1)＝2，eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－1)＝2，又yeq\o\al(2,0)＝4x0，∴2x0＝xeq\o\al(2,0)－1，即xeq\o\al(2,0)－2x0－1＝0，解得x0＝eq\f(2±\r(8),2)＝1±eq\r(2)，舍去负值，得x0＝1＋eq\r(2).9．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为48，则抛物线的方程为________.答案y2＝2eq\r(3)x解析因为抛物线的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，代入y2＝2px(p>0)，整理得x2－7px＋eq\f(p2,4)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数之间的关系得，x1＋x2＝7p，x1x2＝eq\f(p2,4)，y1－y2＝eq\f(\r(3),3)(x1－x2)，又四边形AA′B′B是梯形，其面积为48，所以eq\f(1,2)(x1＋x2＋p)|y1－y2|＝48，即eq\f(1,2)(x1＋x2＋p)·|eq\f(\r(3),3)(x1－x2)|＝eq\f(\r(3),6)(x1＋x2＋p)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝48，解得p2＝3，p＝eq\r(3)或p＝－