新教材2024年秋高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数教师用书含答案新人教A版选择性必修第二册

5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数学习任务1．了解利用定义求函数的导数．(数学运算)2．驾驭基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简洁函数的导数．(数学运算)3．能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)高铁是一种特别受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f(t)＝2t2，求它的瞬时速度，即求f(t)的导数．依据导数的定义，就是求当Δt→0时，ΔsΔt所趋近的那个定值，运算比较困难，而且，有的函数如y＝sinx，y＝lnx学问点1几个常用函数的导数原函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x2f(x)＝1f′(x)＝－1f(x)＝xf′(x)＝1这6个函数都是幂函数f(x)＝xα，对它们的求导要娴熟记住公式，就没必要再利用定义求导了．学问点2基本初等函数的导数公式原函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝αxα-1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝1f(x)＝lnxf′(x)＝1函数f(x)＝lnx与f(x)＝logax的求导有什么内在联系？[提示]f(x)＝lnx时f′(x)＝1x而f(x)＝logax＝lnx∴f′(x)＝1lnalnx′＝1ln1．(多选)下列结论正确的是()A．若y＝2023，则y′＝0B．若y＝x，则y′＝1C．若y＝x-1，则y′＝－x-2D．若y＝x12，则yABC[由公式易知ABC正确．]2．已知函数f(x)＝cos2π3，则f′(A．sin2π3C．cos2πD[f(x)＝cos2π3＝－12，所以f类型1利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数．(1)y＝cosπ6；(2)y＝1x5；(3)y(4)y＝lgx；(5)y＝5x；(6)y＝cosπ2[解](1)∵y＝cosπ6＝32，∴(2)∵y＝1x5＝x-5，∴y′＝－5x(3)∵y＝x2x＝x2x12＝(4)∵y＝lgx，∴y′＝1x(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln5．(6)y＝cosπ2-x＝sinx，∴y求简洁函数的导函数的基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时依据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[跟进训练]1．求下列函数的导数：(1)y＝x3x(2)y＝xx(x(3)y＝sin(π－x)．[解](1)∵y＝x3x＝x∴y′＝x43′＝43(2)∵y＝xx＝x(x＞0)，∴y′＝(x)′＝12x(3)y＝sin(π－x)＝sinx，∴y′＝cosx．类型2利用导数公式解决切线问题【例2】(源于人教B版教材)已知函数f(x)＝x2，而l是曲线y＝f(x)的切线，且l经过点(2，3)．(1)推断(2，3)是否是曲线y＝f(x)上的点；(2)求l的方程．[思路引导]利用导数的几何意义求解，但要留意(2，3)点不在曲线上，应另设切点求解．[解](1)因为f(2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f(x)上的点．(2)设切点为(x0，f(x0))．因为f′(x)＝2x，所以切线的斜率为f′(x0)＝2x0，又因为f(x0)＝x0所以直线l的方程为y-x02＝2x0(x将(2，3)代入上式并整理，可得x02－4x由此可解得x0＝1或x0＝3．因此，切点为(1，1)或(3，9)，切线方程为y－1＝2(x－1)或y－9＝6(x－3)．即l的方程为y＝2x－1或y＝6x－9．[母题探究]1．将本例变为“求曲线f(x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”处的切线方程．[解]由题意f′(x)＝－2x-3，所以曲线f(x)＝x-2在点(a，a-2)处的切线方程为y－a-2＝－2a-3·(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2．2．将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线”，试求k的值．[解]设切点坐标为(x0，y0)，由题意得又y0＝kx0，而且y0＝lnx0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝1e利用导数的几何意义解决切线问题的两种状况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)假如已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．[跟进训练]2．(1)求曲线y＝x在点B(1，1)处的切线方程；(2)求曲线y＝lnx的斜率等于4的切线方程．[解](1)设所求切线的斜率为k．因为y′＝(x)′＝12x-12所以曲线y＝x在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝12(x－1)，即x－2y(2)设切点坐标为(x0，y0)．因为y′＝1x，曲线y＝lnx在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，所以1x0＝4，得x0＝14所以切点为14，-ln4，所以所求切线方程为y＋ln4＝4x类型3导数公式的实际应用【例3】某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln1.1≈0.095)[解]由题意得p′(t)＝1.1tln1.1，所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年．由导数的定义可知，导数是瞬时改变率，所以求某个量的改变速度，就是求相关函数在某点处的导数．[跟进训练]3．从时刻t＝0起先的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cost表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．[解]由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin5安，－sin7安．1．已知f(x)＝x2，则f′(3)等于()A．0 B．2xC．6 D．9C[因为f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，所以f′(3)＝6．]2．下列结论正确的个数为()①若y＝ln2，则y′＝12②若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－③若y＝2x，则y′＝x2x-1；④若y＝log2x，则y′＝1xA．4 B．3C．2 D．1D[由y＝ln2得y′＝0，故①错误；对于f(x)＝1x2，f′(x)＝－2x3，故f′(3)＝－227，故②正确；对于y＝2x，则y′＝2xln2，故③错误；对于y＝log2x3．曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．3[因为f(x)＝x3，所以f′(x)＝3x2，所以在点(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)＝3．]4．函数y＝sinx＋ex在点(0，1)处的切线方程为________________．2x－y＋1＝0[当x＝0时，y＝sin0＋e0＝1，即点(0，1)在函数y＝sinx＋ex的曲线上．y＝sinx＋ex的导数y′＝cosx＋ex，在点(0，1)处的切线斜率为k＝cos0＋e0＝2，即在点(0，1)处的切线方程为2x－y＋1＝0．]回顾本节学问，自主完成以下问题：(1)如何理解常见的几个幂函数的求导？[提示]几个常见函数的求导，也包括根式函数的求导，都可以统一为f(x)＝xα(α∈R，且a≠0)时，f′(x)＝αxα-1．(2)对于三角函数关系式，如何求导？[提示]对含有三角函数式的函数求导，往往须要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类削减，次数降低，结构尽量简洁，从而便于求导．(3)求函数“在”或“过”某点处的切线方程时，有什么策略？遵循什么步骤？[提示]①求解以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的步骤：ⅰ．求出函数f(x)的导数f′(x)；ⅱ．求切线的斜率f′(x0)；ⅲ．写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．②若已知点(x1，y1)不在曲线上，则先设切点为(x0，y0)，再解方程组y0=fx0y1-导数法探讨圆的面积与周长的关系我们知道，圆周长l是圆的半径r的函数，即l＝2πr．你知道吗？利用前面我们学习过的导数学问，可以由圆的周长计算公式得到圆的面积计算公式！如图1所示，设半径为r时圆的面积为S，且半径增加Δr时，圆的面积增加ΔS．半径为r时圆的周长为2πr，而且当Δr很小时