三角函数平面向量参考答案

三角函数1.（1）已知都是锐角，，求的值；（2）已知，求的值（3）已知都是锐角，，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，求得的值．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，求得的值．（3）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式，求得要求式子的值．【详解】（1）已知，都是锐角，，．，，.（2），，又，，，..（3）已知，都是锐角，，，，，，．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于中档题．2.化简：（1）；（2）（3）；（4）【答案】（1）4；（2）1（3）1；（4）1【解析】【分析】（1）利用辅助角公式及二倍角公式计算可得；（2）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得；（3）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得；（4）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得；【详解】解：（1）原式；（2）原式（3）原式（4）原式【点睛】此题考查了二倍角的正弦公式，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．3.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．【答案】（1），（2），时【解析】【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．【详解】解：（1），，，，故的最小正周期；（2）由可得，，当得即时，函数取得最小值．所以，时4.在中，已知，，，求、．【答案】，．【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系计算出的值，利用正弦定理可求出的值，利用两角和公式求得的值，然后利用正弦定理可求出的值.【详解】由，可知角为锐角，则．由正弦定理，得．，由正弦定理，得．【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.5.已知在△ABC中BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量方法证明：（1）c＝bcosA＋acosB；（2）c2＝a2＋b2－2abcosC.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】根据线段的几何关系有＝＋，（1）将上式两边点乘，结合平面向量数量积的运算律及其定义，即可证结论.（2）将上式两边平方，应用平面向量数量积的运算律及定义，可证结论.【小问1详解】∵＝＋，∴·＝(＋)·，即||2＝||·||cosA＋||||cosB，∴c2＝bccosA＋accosB，则c＝bcosA＋acosB；【小问2详解】∵＝＋，∴()2＝(＋)2＝()2＋()2＋2·，即c2＝b2＋a2＋2b·acos(180°－C)，∴c2＝a2＋b2－2abcosC.6.如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.【答案】【解析】【分析】即为与的夹角，先用将与表示出来，求出以及，，代入公式即可．【详解】解：∵M，N分别是BC，AC的中点，.与的夹角等于.，，，．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量的夹角公式，考查计算能力，是中档题．7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.（1）求A；（2）若a=2，的面积为，求b，c的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用以及两角和的正弦公式代入计算即可；（2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程组即可.【小问1详解】由及正弦定理得.因为，所以.由于，所以.又，故.【小问2详解】由题得的面积，故①.而，且，故②，由①②得.8.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.【答案】【解析】【详解】在△BCD中，.由正弦定理得所以在Rt△ABC中，塔高为.向量1.如图，在▱ABCD中，若，（1）当满足什么条件时，?（2）当满足什么条件时，?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得到▱ABCD为菱形求解；（2）由，得到▱ABCD为矩形求解.【小问1详解】解：如图：，当时，▱ABCD为菱形，对角线相互垂直，所以，即；【小问2详解】当时，▱ABCD为矩形，对角线长度相等，所以，即.2.证明：当向量不共线时，.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据向量不共线，在OAB中，利用三角形的边的关系证明.【详解】证明：因为向量不共线，如图，在OAB中，由三角形两边之和大于第三边得：，由三角形两边之差小于第三边得：，所以.3.（1）已知,且与的夹角，求；（2）已知,且,求.【答案】（1）；；（2）；【解析】【分析】（1）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出；（2）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出.【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题考查了向量的模和向量的数量积，考查了运算能力，属于基础题.4.已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，进而得到为正三角形，从而得到结论.【详解】如图，由知O为BC的中点，又∵O为的外接圆圆心，又为正三角形，，在上的投影向量为.故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的含义，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则，本题是基本知识与技能考查题，主要考查了向量运算能力，属于基础题.5.若点，，，，则与是否共线？【答案】共线【解析】【分析】首先求出与的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可.【详解】解：，，，，．∵，∴与共线．【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.6.设k为实数，若向量，，，当k为何值时，A，B，C三点共线？【答案】k＝11或k＝－2.【解析】【分析】由题设得＝(k－4,7)、＝(6,k－5)，利用向量共线的坐标表示有(k－4)(k－5)－6×7＝0，求解即可.【详解】由题设，＝－＝(k－4,7)，＝－＝(6,k－5)，令∥，得(k－4)(k－5)－6×7＝0，即k2－9k－22＝0，k＝11或－2.故当k＝11或－2时，A，B，C三点共线.7.已知向量，．当k为何值时，与的夹角是钝角？【答案】且【解析】【分析】由条件可得且不共线，然后可建立不等式求解.【详解】因为与的夹角是钝角，所以且不共线，即所以且.8.判断下列各小题中的向量与是否共线：（1），；（2），．【答案】（1）与共线；（2）与共线．【解析】【分析】根据向量共线定理进行分析计算即可.【详解】（1），所以与共线；（2），所以与共线．【点睛】本题考查向量共线的问题，熟练掌握向量共线定理是解题的关键，属于基础题.9.若向量不共线，且（其中），求证：共线．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据题设条件和向量的运算法则，化简得到，结合向量与有公共点，即可证得三点共线．【详解】由题意，向量不共线，且（其中），可得，所以，即，所以，由向量与有公共点，所以三点共线．10.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM