高考数学19题新题型专项练习题

2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（1）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题1．已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性.（Ⅰ）判断集合和集合是否具有“包容”性；（Ⅱ）若集合具有“包容”性，求的值；（Ⅲ）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C.答案：（Ⅰ）集合不具有“包容”性；集合具有“包容”性（Ⅱ）（Ⅲ），，，或解析：（Ⅰ）集合中的，，所以集合不具有“包容”性.集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性.（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则，易得，从而必有，不妨令，则，且，则，且，①当时，若，得，此时具有包容性；若，得，舍去；若，无解②当时，则，由且，可知b无解，故.综上，.（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数，不妨设，其中，，，根据题意，且，从而或.①当时，，并且由，得，由，得，由上可得，并且，综上可知；②当时，同理可得.综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个，分别是，，，或.2．对于给定的两个向量a和b，定义运算，.（1）已知，，，求，并说明其几何意义.（2）设，，求.（3）在平行六面体中，侧棱与底面所成的角为，底面四边形中较小的内角为，，且该六面体所有棱长之和为，求该六面体体积的最大值.答案：（1），其几何意义为的面积（2）（3）解析：（1）由题意，得，，，且，，，.，其几何意义为的面积.（2），，，，.（3）设平行六面体一个顶点引出的三条棱长分别为a，b，c，不妨设棱a，b的夹角为，侧棱长为c，则，即.由（1）知底面面积，高，.，当且仅当时取等号，且当时，，.故该六面体体积的最大值为.3．[2024届·山东滨州·二模]定义：函数满足对于任意不同的，，都有，则称为上的“k类函数”.（1）若，判断是否为上的“2类函数”；（2）若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；（3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，.答案：（1）为上的“2类函数”（2）（3）证明见详解解析：（1）对于任意不同的，，不妨设，即，则，所以为上的“2类函数”.（2）因为为上的“3类函数”，对于任意不同的，，不妨设，则恒成立，可得，即，均恒成立，构建，，则，由可知在内单调递增，可知在内恒成立，即在内恒成立；同理可得：内恒成立；即在内恒成立，又因为，即，整理得，可得，即在内恒成立，令，因为，在内单调递增，则在内单调递增，当，；当，；可知，可得在内恒成立，构建，，则，当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，则，构建，，则在内恒成立，可知在内单调递减，则；可得，所以实数a的取值范围为.（3）（i）当，可得，符合题意；（ⅱ）当，因为为上的“2类函数”，不妨设，①若，则；②若，则；综上所述：，，.4．[2024届·吉林通化·模拟考试校考]已知椭圆的离心率为，且过点.若斜率为的直线与椭圆E相切于点T，过直线上异于点T的一点P，作斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，定义为点P处的切割比，记为.（1）求E的方程；（2）证明：与点P的坐标无关；（3）若，且（O为坐标原点），则当时，求直线的方程.答案：（1）（2）证明见解析（3）或解析：（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意知，，所以，解得.又椭圆E过点，所以，结合，解得，，所以E的方程为.（2）设点，直线的方程为，由消去y，得（*），，由直线与椭圆E相切，得.设切点，则，，所以.设，，由（*）式同理可得，，所以，易知，点在椭圆E外，所以，所以，.结合与的表达式知，要想与点P的坐标无关，需要从的表达式中分离出，由，得，即.因为.所以，所以.所以，与点P的坐标无关.（3）由（2）得，，所以，因为，所以①.又，所以②，由①②解得或（舍去）.所以直线OT的方程为，由解得或故切点T的坐标为或.所以直线的方程为或.5．设满足以下两个条件的有穷数列，，…，为阶“曼德拉数列”：①；②.（1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用k，n表示）.（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用k，n表示）.（3）记n阶“曼德拉数列”的前k项和为，若存在，使，试问：数列能否为n阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.答案：（1）或（2）（3）数列不为n阶“曼德拉数列”解析：（1）设等比数列，，，…，的公比为q.若，则由①得，得，由②得或.若，由①得，，得，不可能.综上所述，.或.（2）设等差数列，，，…，的公差为d，，，，即，，当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，，，即，由得，即，.当时，同理可得，即.由得，即，.（3）记，，…，中非负项和为A，负项和为B，则，，得，，，即.若存在，使，由前面的证明过程知：，，…，，，，…，，且.若数列为n阶“曼德拉数列”，记数列的前k项和为，则.，又，，，.又，，，…，，，又与不能同时成立，数列不为n阶“曼德拉数列”.6．信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有0或1两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，往往需要经过多重加密，若A，B是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密时信息中字节会等可能的变为0或1，且0，1之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中0或1发生变化的概率为p，若A，B的初始状态为0，1或1，0，记通过两次加密后A，B中含有字节1的个数为X.（Ⅰ）若两次加密后的A，B中字节1的个数为2，且，求A，B通过第一次加密后字节1的个数为2的概率；（Ⅱ）若一条信息有n（，）种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵，试求A，B通过两次加密后字节1的个数为X的信息熵H；（Ⅲ）将一个字节为0的信息通过第二次加密，当字节变为1时停止，否则重复通过第二次加密直至字节变为1，设停止加密时该字节通过第二次加密的次数为.证明：.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）证明见解析解析：（Ⅰ）记事件为“A，B通过第一次加密后字节1的个数为i”，，事件N为“A，B通过第二次加密后字节1的个数为2”，则，，，，，则，故.（Ⅱ）由题知，由（Ⅰ）知，同理可得，则，故X的信息熵.（Ⅲ）证明：由题知，其中，则.因为，，①，②得，当n无限增大时，和都无限趋近于0，所以2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（2）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题1．[2024届·长郡中学·模拟考试]集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合A和B，定义和集，用符号表示和集内的元素个数.（1）已知集合，，，若，求x的值；（2）记集合，，，为中所有元素之和，，求证：；（3）若A与B都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合A与B中的元素是两个公差相等的等差数列.答案：（1）4（2）见解析（3）见解析解析：（1）由题：，所以，，且，2，6，从而，，，故.（2）若，，，，使，其中，，，，则，故，.，，.（3）设集合，，其中，.则，这里共个不同元素，又，所以上面为合集中的所有元素.又，这里共个不同元素，也为合集中的所有元素，所以有，即.一般地，由，，可得，即.同理可得，得证.2．设有n维向量，，称为向量和的内积，当，称向量和正交.设为全体由-1和1构成的n元数组对应的向量的集合.（1）若，写出一个向量，使得.（2）令.若，证明：为偶数.（3）若，是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例.答案：（1）（2）证明见解析（3）见解析解析：（1）（答案不唯一）.（2）证明：对于，，2，…，n，存在，，，，使得.当时，；当时，.令.所以.所以为偶数.（3）当时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即.不妨取，，，，则有，，，，，.若存在，使，则或或.当时，；当时，；当时，，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交.3．若对任意实数k，b都有函数的图象与直线相切，则称函数为“恒切函数”.设函数，a，.（1）讨论函数的单调性.（2）已知函数为“恒切函数”.①求实数p的取值范围；②当p取最大值时，若函数为“恒切函数”，求证：.（参考数据：）答案：（1）当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）①；②解析：（1），当时，恒成立，函数在R上单调递减；当时，由得，由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）①若函数为“恒切函数”，则函数的图象与直线相切，设切点为，则且，即，.因为函数为“恒切函数”，所以存在，使得，，，得，.设，则，由，得，由，得，故在上单调递增，在上单调递减，从而，故实数p的取值范围为.②由①知当p取最大值时，，，故，，因为函数为“恒切函数”，故存在，使得，，由得，即.设，则，由得，由得，故在上单调递减，在上单调递增.在单调递增区间上，，故，则由，得.在单调递减区间上，，，故在区间上存在唯一的，使得，，此时由，得，函数在上单调递增，且，，故.综上，.4．费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径.在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）.一般而言，空气的折射率约为1.如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN为6，且MN与x轴交于点.平行于x轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像.（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C，试判断C属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式.（2）设曲线F为解析式同C的完整圆锥曲线，直线l与F交于A，B两点，交y轴于点H，交x轴于点Q（点Q不与F的顶点重合）.若，，试求出点Q所有可能的坐标.答案：（1）（2）Q的坐标可能为或解析：（1）设C上任意一点，，光线从点N至点的光程为，光线穿过凸透镜后从T点折射到点的光程为，则，，由题意得，得，化简得，，.令，得，为双曲线的一部分，解析式为.（2）由题意知.设，，，，则，，，，，，易知，，得，，即，.将点A的坐标代入，得，化简整理得.同理可得，与为方程的两个解，.由题知，，解得，点Q的坐标可能为或.5．设数列的各项为互不相等的正整数，前n项和为，称满足条件“对任意的m，，均有”的数列为“好”数列.（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明.（2）已知数列为“好”数列，其前n项和为.①若，求数列的通项公式；②若，且对任意给定的正整数p，，有，，成等比数列，求证：.答案：（1）数列不是“好”数列，证明见解析（2）①；②证明见解析解析：（1）设，的前n项和分别为，，若，则，所以，而，所以对任意的m，均成立，即数列是“好”数列.若，则，不妨取，，则，，此时，故数列不是“好”数列.（2）因为数列为“好”数列，取，则，即.当时，有，两式相减，得，即，所以，所以，即，即，对于，当时，有，即，所以对任意的，恒成立，所以数列是等差数列.设数列的公差为d，因为数列的各项为互不相等的正整数，所以，①若，则，即，又，所以，，所以.②若，则，由，，成等比数列，得，所以，化简得，即.因为p是任意给定的正整数，所以要使，则，不妨设，由于s是任意给定的正整数，所以.6．正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.（1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的累积分布函数为，求；（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为.（ⅰ）设，证明：；（ⅱ）若第n天元件A发生故障，求第天系统正常运行的概率.附：若随机变量Y服从正态分布，则，，.答案：（1）0.8186（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）解析：（1）由题设得，，所以，.（2）（ⅰ）由题设得：，，，所以.（ⅱ）由（ⅰ）得，所以第天元件B，C正常工作的概率均为.为使第天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作，因此所求概率为2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（3）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题1．[2024届·安徽马鞍山·模拟考试]已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设F是数环，如果①F内含有一个非零复数；②，且，有，则称F是数域.由定义知有理数集Q是数域.（1）求元素个数最小的数环；（2）证明：记，证明：是数域；（3）若，是数域，判断是否是数域，请说明理由.答案：（1）；（2）证明见详解；（3）不一定数域，证明见详解解析：（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素，若，则，可知为数环；若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环；综上所述：元素个数最小的数环为.（2）设，，，可知，则有：，，，因为，则，，，，，，可知，，，所以是数环；若，可知，满足①；若，则，因为，则，可知，满足②；综上所述：是数域.（3）不一定是数域，理由如下：①若，，显然，均为数域，且是数域；②设，，，可知，则有：，，，因为，则，，，，，，可知，，，所以是数环；若，可知，满足①；若，则，因为，则，，可知，满足②；综上所述：是数域.例如：，，例如，，但，所以不是数域；综上所述：不一定数域.2．在平面直角坐标系中，两点，的“曼哈顿距离”定义为，记为，如点，的“曼哈顿距离”为5，记为.（1）若点，M是满足的动点Q的集合，求点集M所占区域的面积.（2）若动点P在直线上，动点Q在函数的图像上，求的最小值.（3）设点，动点Q在函数的图像上，的最大值记为，求的最小值.答案：（1）8（2）3（3）解析：（1）设点.由，得.的图像是以原点为中心，顺次连接四点，，，所形成的正方形.将其上移2个单位长度即得的图像.所以点集M所占区域是以四点，，，为顶点的正方形及其内部，面积为8.（2）设，，则.将看成关于的函数，则在或时取得最小值，即.令，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，则，此时.所以的最小值为3.（3）设点，，则，.若存在实数a，b，使，则对任意的成立.令，则.令，则.所以，所以.令，，则是上的偶函数.当时，若，即，则，当且仅当时等号成立；若，则，当且仅当时等号成立.所以存在实数a，b且，，使得的最小值为.3．已知定义域为的函数满足如下条件：①对任意的，总有；②；③当，，时，恒成立.已知正项数列满足，且，，令.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求证：.答案：（1）的通项公式；的通项公式（2）证明见解析解析：（1）不妨设，则，，，若，即，此时，这与矛盾，，故，，在区间上单调递减，，.已知，两边同时除以，化简可得，即，是以为首项，4为公比的等比数列，.又，，当时，.又当时，，故.（2）由（1）可得.当时，，且，，，又，，即，，，即，，.4．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.①，；②，，；③，，，.（2）已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则.答案：（1）①，线性相关，②，，线性相关，③，，，线性相关（2）向量，，线性无关，理由见解析（3）证明见解析解析：（1）对于①，设，则可得，所以，线性相关；对于②，设，则可得，所以，，所以，，线性相关；对于③，设，则可得，可取，符合该方程，所以，，，线性相关.（2）设，则，因为向量，，线性无关，所以，解得，所以向量，，线性无关.（3）证明：①，如果某个，，2，…，m，则，因为任意个都线性无关，所以，，…，，，…，都等于0，所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零，②因为，所以，，…，全不为零，所以由可得，代入可得，所以，所以，，，所以.5．我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D.（1）若椭圆与椭圆E在“一簇椭圆系”中，求常数s的值；（2）设椭圆，过A作斜率为的直线与椭圆G有且只有一个公共点，过D作斜率为的直线与椭圆G有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值；（3）若椭圆与椭圆E在“一簇椭圆系”中，椭圆H上的任意一点记为，求证：的垂心M必在椭圆E上.答案：（1）或1（2）当时，取得最小值（3）证明见解析解析：（1）因为椭圆E的离心率，故由条件得，当时，，解得；当时，，解得.综上，或1.（2）易得，，所以直线，的方程分别为，，由，得，又直线与椭圆G相切，则，又，即.由，得，又直线与椭圆G相切，则，又，即，故，，当且仅当时取等号，此时.所以当时，取得最小值.（3）显然椭圆.因为椭圆H上的任意一点记为，所以.①设的垂心M的坐标为，连接CM，AM，因为，，故由得.又，，所以，（*）将代入（*），得，②由①②得.将，，代入①得，即的垂心M在椭圆E上.6．[2024春·高三·湖北武汉·月考]利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将化为分数是这样计算的：设，则，即，解得.这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜m局指的是一方比另一方多胜m局.（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局.设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为.①求甲获胜的概率；②求.答案：（1）（2）①；②解析：（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜，概率为；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜，概率为，所以恰好4局结束比赛的概率.（2）①在甲在净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，根据全概率公式，，同理，，，，由，，得，与联立消去，得，又，，即，因此，所以甲获胜的概率为.②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要局，共进行了局；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，则，即，同理，即，，即，，即，，即，联立与，得，联立与，得，代入，得，所以2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（4）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题1．交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用.设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如）为A，B，C，D四点的交比，记为.（1）证明：；（2）若，，，为平面上过定点P且互异的四条直线，，为不过点P且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：；（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）.（2）.（3）设与交于X，与交于Y，与交于Z，连接，与交于L，与交于M，与交于N，欲证X，Y，Z三点共线，只需证Z在直线上.考虑线束，，，，由第（2）问知，再考虑线束，，，，由第（2）问知，从而得到，于是由第（2）问的逆命题知，，，交于一点，即为点Z，从而过点Z，故Z在直线上，X，Y，Z三点共线.2．[2024春·高一·重庆·月考]若非空集合A与B,存在对应关系f,使A中的每一个元素a,B中总有唯一的元素b与它对应,则称这种对应为从A到B的映射,记作．设集合,（,）,且．设有序四元数集合,且,．对于给定的集合B,定义映射,记为,按映射f,若,则;若,则．记．（1）若,,写出Y,并求;（2）若,,求所有的总和;（3）对于给定的,记,求所有的总和（用含m的式子表示）．答案：（1）,（2）40（3）解析：（1）由题意知,,所以．（2）对1,-3,5是否属于B进行讨论：①含1的B的个数为,此时在映射f下,;不含1的B的个数为,此时在映射f下,;所以所有Y中2总个数和1的总个数均为10;②含5的B的个数为,此时在映射f下,;不含5B的个数为,此时在映射f下,;所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10;②含的B的个数为,此时在映射f下,,;不含的B的个数为,此时在映射f下,,;所以所有y中的总个数和的总个数均为20．综上,所有的总和为．（3）对于给定的,考虑在映射f下的变化．由于在A的所有非空子集中,含有的子集B共个,所以在映射f下变为;不含的子集B共个,在映射f下变为;所以在映射f下得到的所有的和为．同理,在映射f下得到的所有的和．所以所有的总和为．3．人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实.其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符.地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面（，，），这说明椭球完全包含在由平面，，所围成的长方体内，其中a，b，c按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.（1）已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点，过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求面积的最小值.（2）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积.答案：（1）（2）解析：（1）椭圆E的标准方程为，则.当直线l的倾斜角为0时，A，B分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意，所以直线l的倾斜角不为0.设直线，，.由得，则，，，所以.又椭圆E在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程为，由得，代入①得，所以.因为点M到直线l的距离，所以.设，则，令，则，所以在上单调递增，所以当，即时，的面积最小，最小值是.（2）椭圆E的焦点在x轴上，长半轴长为，短半轴长为1，椭球由椭圆E及其内部绕x轴旋转而成旋转体.构造一个底面半径为1，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体.当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为时，设小圆锥底面半径为r，则，即，所以新几何体的截面面积为.把代入，得，解得，所以半椭球的截面面积为.由祖暅原理，得椭球的体积.4．已知函数，，且在处取得极大值.（1）求a的值与的单调区间.（2）如图，若函数的图像在连续，试猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求m的表达式〔用含a，b，，的式子表示了.（3）利用这条性质证明：函数图像上任意两点的连线斜率不大于.答案：（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）（3）证明见解析解析：（1）由，得.由题意，得，解得，则.当时，；当时，.所以在和上分别单调递增，在上单调递减.所以满足题意，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）猜想如下：.因为表示的图像上两端点A，B连线的斜率，所以由图像可知，曲线上至少存在一点且，使得曲线在该点处的切线与的图像上两端点A，B的连线平行.设切线的斜率为，即，故一定存在，使得.（3）证明：由（1）可知，则，当且仅当时取等号.由猜想可知，对于函数图像上任意两点A，B，在A，B之间一定存在一点，使得.又，所以.5．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：.（1）在等比数列中，，是的两个实根，求的值；（2）已知数列的前n项和为，且，若，求数列的前n项和；（3）已知是奇函数，是偶函数.设函数，且存在实数M，使得对于任意的都成立，若，求的值.答案：（1）（2）（3）617解析：（1）由题知，，是关于x的方程的两个实根，所以根据根与系数的关系可得，，，则且.又数列为等比数列，所以，设等比数列的公比为q，，所以，则.（2）由题知，，当时，，当时，，经检验，当时，成立，所以.所以，所以数列的前n项和为.令，则，两式相减可得，化简可得，所以数列的前n项和为.（3）由题意得，存在实数M，使得对于任意的都成立，即，令，则①，令，则②，因为是奇函数，是偶函数，所以，，，，，整理得，令，则，又，且，所以，所以，所以.6．置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合，的函数称为n次置换.满足对任意，的置换称作恒等置换.所有n次置换组成的集合记作.对于，我们可用列表法表示此置换，如.记，，，…，，，.（1）若，，计算.（2）证明：对任意，存在，使得为恒等置换.（3）对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，……依次类推.这样的操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.答案：（1）（2）证明见解析（3）8次，理由见解析解析：（1）由题意可知，则.（2）证明：①若，则为恒等置换.②若存在两个不同的i，使得，不妨设，则.所以，即为恒等置换.③若存在唯一的i，使得，不妨设，则或.当时，由（1）可知为恒等置换；同理可知，当时，也是恒等置换.④若对任意的i，，则情形一：或或；情形二：或或或或或.对于情形一：为恒等置换；对于情形二：为恒等置换.综上，对任意，存在，使得为恒等置换.（3）不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对作一次如下置换：，即其中.注意到各编号在置换中的如下变化：，，，，，，，，.所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1，2，8的最小公倍数为8，由此可见，即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型.2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（5）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题1．给定正整数，已知项数为m且无重复项的数对序列A：，，…，，满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列A中.（1）当，时，写出所有满足的数对序列A；（2）当时，证明：；（3）当N为奇数时，记m的最大值为，求.答案：（1），，或，，（2）证明详见解析（3）解析：（1）依题意，当，时有：，，或，，.（2）当时，因为与不同时在数对序列A中，所以，所以1，2，3，4，5，6每个数至多出现5次，又因为，所以只有，对应的数可以出现5次，所以.（3）当N为奇数时，先证明.因为与不同时在数对序列A中，所以，当时，构造，，恰有项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N，如果和可以构造一个恰有项的序列A，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：首先，对于如下个数对集合：，，……，，每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，所以，其次，对每个不大于N的偶数，将如下4个数对并为一组：，，，，共得到组，将这组对数以及，，，按如下方式补充到A的后面，即A，，，，，，…，，，，，，.此时恰有项，所以.综上，当N为奇数时，.2．[2024届·安徽合肥·模拟考试]在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一.对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示p，q中较大者.(1)计算点和点之间的“距离”；(2)设是平面中一定点，.我们把平面上到点的“距离”为r的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r为半径的“圆”.求以原点O为圆心，以为半径的“圆”的面积；(3)证明：对任意点，，，答案：(1)；(2)4；(3)证明见解析.解析：（1）由定义知，；（2）设是以原点O为圆心，以为半径的圆上任一点，则.若，则；若，则有.由此可知，以原点O为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示：则“圆”的面积为.（3）考虑函数.因为，所以在上单调递增.又，于是，同理，.不妨设，则.3．已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.（1）当，时，写出的所有可能值；（2）若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；（3）若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.答案：（1）（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析解析：（1）由，，若，则，即，此时，当，则，即；当，则，即；若，则，即，此时，当，则，即；当，则，即（舍）；综上，的所有可能值为.（2）由（1）知：，则，数列中的项存在最大值，故存在使，，由，所以，故存在使，所以0为数列中的项.（3）不存在，理由如下：由，则，设，若，则，，对任意，取（表示不超过x的最大整数），当时，；若，则S为有限集，设，，对任意，取（表示不超过x的最大整数），当时，；综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有.4．[2024届·辽宁抚顺·模拟考试联考]如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面相切，切点分别为，，数学家丹德林利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，记为，，为椭圆的两个焦点.设直线分別与该圆锥的母线交于A，B两点，过点A的母线分别与球，相切于C，D两点，已知，.以直线为x轴，在平面内，以线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆的标准方程.（2）点T在直线上，过点T作椭圆的两条切线，切点分别为M，N，A，B是椭圆的左、右顶点，连接，，设直线与交于点P.证明：点P在直线上.答案：（1）（2）解析：（1）设椭圆的标准方程为，由切线长定理知，，则，解得.由，解得，.所以椭圆的标准方程为.（2）证明：设，，，，已知，.设，.联立方程组消去得，由，可得，所以，同理.因为M，N是切点，且，所以直线的方程为，即，显然直线过定点，即M，D，N三点共线，则，解得或（舍去），联立方程组解得，即点P在直线上.5．若函数在上满足且不恒为0，则称函数为区间上的绝对增函数，称为函数的特征函数，称任意的实数为绝对增点（为函数的导函数）.（1）若1为函数的绝对增点，求a的取值范围；（2）绝对增函数的特征函数的唯一零点为.（ⅰ）证明：是的极值点；（ⅱ）证明：不是绝对增函数.答案：（1）（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析解析：（1）因为函数，所以，则.由得，解得或，所以为区间及区间上的绝对增函数.又1为函数的绝对增点，所以或，解得或，所以a的取值范围为.（2）证明：（ⅰ）设为区间上的绝对增函数，由题意知，当时，，.①若，存在，且在区间上单调递增，则在区间上，，，则，与矛盾.若，存在，且在区间上单调递减，则在区间上，，，则，与矛盾.若，存在，且在区间上不单调，则存在，且，此时与有唯一零点矛盾.所以.②若，不妨设，则，且存在，使得当时，，且当时，，即，使在上单调递减，在上单调递增.所以为的极值点.同理，当时也成立.（ⅱ）若为绝对增函数，则在上恒成立，又恒成立，所以恒成立.令，所以，且，所以在上单调递增.又，所以当时，，则，与矛盾，所以假设不成立，所以不是绝对增函数.6．已知是个正整数组成的m行m列的数表，当，时，记.设，若满足如下两个性质：①；②对任意，存在，，使得，则称为数表.（1）判断是否为数表，并求的值；（2）若数表满足，求中各数之和的最小值；（3）证明：对任意数表，存在，，使得.答案：（1）是；（2）（3）证明见详解解析：（1）是数表，.（2）由题可知.当时，有，所以.当时，有，所以.所以所以，，或者，或者，或，或，故各数之和，当时，各数之和取得最小值22.（3）由于数表中共100个数字，必然存在，使得数表中k的个数满足设第i行中k的个数为.当时，将横向相邻两个k用从左向右的有向线段连接，则该行有条有向线段，所以横向有向线段的起点总数.设第j列中k的个数为.当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接，则该列有条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数.所以，因为，所以.所以必存在某个k既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在，，使得，所以，则命题得证2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（6）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题1．已知数列、、…、，其中、、…、是首项为1，公差为1的等差数列；、、…、是公差为d的等差数列；、、…、是公差为的等差数列.（1）若，求d；（2）试写出关于d的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得、、…、是公差为的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？答案：（1）（2），且的取值范围是（3）答案见解析解析：（1）由已知可得，.（2），，因为，.（3）所给数列可推广为无穷数列，其中、、…、是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列、、…、是公差为的等差数列，研究的问题是：试写出关于d关系式，并求的取值范围.研究的结论可以是：由，依次类推可得，当时，的取值范围为.2．[2024届·河南·模拟考试联考]在空间解析几何中,可以定义曲面（含平面）S的方程,若曲面S和三元方程之间满足：①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程的解;②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面S上,则称曲面S的方程为,方程的曲面为S.已知空间中某单叶双曲面C的方程为,双曲面C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面,已知直线l过C上一点,且以为方向向量.（1）指出xOy平面截曲面C所得交线是什么曲线,并说明理由;（2）证明：直线l在曲面C上;（3）若过曲面C上任意一点,有且仅有两条直线,使得它们均在曲面C上.设直线在曲面C上,且过点,求异面直线l与所成角的余弦值.答案：（1）以原点O为圆心,1为半径的圆（2）点P的坐标总是满足曲面C的方程,从而直线l在曲面C上（3）解析：（1）根据坐标平面xOy内点的坐标的特征可知,坐标平面xOy的方程为,已知单叶双曲面C的方程为,当时,平面截曲面C所得交线上的点满足,从而平面截曲面C所得交线是平面上,以原点O为圆心,1为半径的圆.（2）设是直线l上任意一点,由,均为直线l的方向向量,得,从而存在实数,使得,即,则解得所以点P的坐标为,于是,因此点P的坐标总是满足曲面C的方程,从而直线l在曲面C上.（3）直线在曲面C上,且过点,设是直线上任意一点,直线的方向向量为,由,均为直线的方向向量,得,从而存在实数t,使得,即,则解得所以点M的坐标为,因为点M在曲面C上,所以,整理得,因为M为直线任意一点,所以对任意的t,有恒成立,所以,且,所以,或,,不妨取,则,或,,所以,或,又直线l的方向向量为,所以异面直线l与所成角的余弦值为.3．[2024届·贵州黔南州·二模]1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根（）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）.对于n次复系数多项式，其中，，，若方程有n个复根，，，，则有如下的高阶韦达定理：(1)在复数域内解方程；(2)若三次方程的三个根分别是，，（i为虚数单位），求a，b，c的值；(3)在的多项式中，已知，，，a为非零实数，且方程的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含n的式子表示）.答案：(1)；(2)，，；(3)解析：（1）由可得，解得.（2）由题意可知：，将，，代入可得，所以，，.（3）设，，，因为，当且仅当时，等号成立，可得，即，当且仅当时，等号成立，因为方程的根恰好全是正实数，设这n个正根分别为，，，，且，，，由题意可知：，因为，且，，，均为正数，则，当且仅当时，等号成立，又因为，即，所以.4．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数.（1）直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；（2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围；（3）求的最小值.答案：（1）答案见解析（2）（3）0解析：（1）平方关系：；和角公式：；导数：.理由如下：平方关系，，，，和角公式：，故.导数：，.（2）构造函数，，由（1）可知，i.当时，由可知，故，故单调递增，此时，故对任意，恒成立，满足题意；ii.当时，令，，则，可知单调递增，由与可知，存在唯一，使得，故当时，，则在内单调递减，故对任意，，即，矛盾；综上所述，实数a的取值范围为.（3），，令，则，令，则，当时，由（2）可知，，则，令，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，因为，即为偶函数，故在内单调递减，则，故当且仅当时，取得最小值0.5．[2024届·河北保定·模拟考试联考]对于任意给定的四个实数，，，，我们定义方阵，方阵A对应的行列式记为，且，方阵A与任意方阵的乘法运算定义如下：，其中方阵，且.设，，.（1）证明：.（2）若方阵A，B满足，且，，证明：.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：设方阵，则，，，，则，所以.因为，所以，证毕.（2）证明：设，，则由，可得，①，②，③，④由①×④，得，⑤由②×③，得，⑥由⑤-⑥，可得，整理得，即.由，可得或则.又，所以，证毕.6．[2024届·湖北黄冈·模拟考试校考]第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率.（其中，分别表示在点A处的一阶､二阶导数）（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？（2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；（3）若动点A的切线沿曲线运动至点处的切线，点B的切线与x轴的交点为.若，，是数列的前n项和，证明.答案：（1）（2）（3）解析：（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则，即抛物线方程为，即，则，，又抛物线在点处的曲率，则，即在该抛物线上处的曲率为.（2），在R上为奇函数，又在R上为减函数.不等式对于恒成立，等价于对于恒成立.又因为两个函数都是偶函数，记，，则曲线恒在曲线上方.，，又因为，所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率.即又因为，，，，所以，解得：，因此，的取值范围为.（3）由题可得.所以曲线在点处的切线方程是：.即.令，得.即.显然，.由，知，同理，故.从而，设，即.所以，数列成等比数列.故.即.从而所以，，当时，显然.当时，，.综上，2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（7）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题1．[2024届·河北秦皇岛·模拟考试校考]“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数，记函数，为n的所有正因数之和.（1）判断28是否为完全数，并说明理由.（2）已知，若为质数，证明：为完全数.（3）已知，求，的值.答案：（1）28是完全数（2）见解析（3）；解析：（1）28的所有正因数为1，2，4，7，14，28，因为，所以28是完全数.（2）证明：的正因数为，，，，，，，，，，，所以为完全数.（3）的正因数为，，，…，，，，，…，，…，，，，…，，所以.因为，所以.2．设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k阶平衡数列”（1）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？（2）若N为偶数，证明：数列，2，3，…，N不是“k阶平衡数列”，其中（3）如果，且对于任意，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值.答案：（1）2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；1，5，9，13，17是4阶平衡数列（2）证明见解析（3）12873解析：（1）由不为整数，可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列.（2）证明：若N为偶数，设，考虑1，2，3，…，k这k项，其和为.所以这k项的算术平均值为：，此数不是整数；若k为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，…，，，；这k项，其和为，所以这k项的算术平均数为：，此数不是整数；故数列A：1，2，3，4，…，N不是“k阶平衡数列”，其中；（3）在数列A中任意两项，，，对于任意，在A中任意取两项，，相异的项，并设这项和为.由题意可得，都是k的倍数，即，，（p，q为整数），可得，即数列中任意两项之差都是k的倍数，，因此所求数列A的任意两项之差都是2，3，…，的倍数，如果数列A的项数超过8，那么，，…，均为2，3，4，5，6，7的倍数，即，，…，均为420的倍数，（420为2，3，4，5，6，7的最小公倍数），，即，这与矛盾，故数列A的项数至多7项.数列A的项数为7，那么，，…，均为2，3，4，5，6的倍数，即，，…，均为60的倍数，（60为2，3，4，5，6的最小公倍数），又，且，所以，，…，，所以，当且仅当，取得最大值12873；验证可得此数列为“k阶平衡数列”，，如果数列的项数小于或等于6，由，可得数列中所有项的之和小于或等于，综上可得数列A中所有元素之和的最大值为12873.3．多元导数在微积分学中有重要的应用.设y是由a，b，c…等多个自变量唯一确定的因变量，则当a变化为时，y变化为，记为y对a的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则y随着a的增大而增大；反之，已知，则y随着a的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：；②乘法法则：；③除法法则：；④复合法则：.记.（为自然对数的底数），（1）写出和的表达式；（2）已知方程有两实根，，.①求出a的取值范围；②证明，并写出随a的变化趋势.答案：（1），（2）①；②证明见解析，随a增大而减小解析：（1）设，则，同理.（2）①由（1），可得，则，且时，，，，即单调递减，时，即单调递增，故，又由时，趋近于0的速度远远快于趋近于的速度，故，，因此只需且，即由零点存在性定理，，，存在两个零点，故；②由，由①可得，，故只需证明，令，设，则，且，则，又单调递增，且，故，单调递增，则，必然，否则即单调递减，不符合题意，，故原命题成立.所以随a增大而减小.4．[2024届·安徽阜阳·模拟考试联考]如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形ABCD内接于椭圆，其中点A，B分别在第三、四象限，边AD，BC与x轴的交点为，.（1）若，且，为椭圆E的焦点，求椭圆E的离心率；（2）若是椭圆E的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形ABCD和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；（3）若ABCD是边长为1的正方形，边AB，CD与y轴的交点为，，设（，，…，）是正方形ABCD内部的100个点，记，其中，2，3，4.证明：，，，中至少有两个小于81.答案：（1）；（2）证明见解析，定值为；（3）证明见解析解析：（1）依题意，，，所以.（2）设，，由题意，矩形ABCD和矩形的面积相等，所以，即，而，（*）从而上式化为，整理可得，代入（*）式，，故，即为定值，且该定值为.（3）如图，以AD，BC的中点为焦点构造经过A，B，C，D的椭圆，对于点，连接并延长，与该椭圆交于点Q，连接，则.因而，中至少有一个小于81，同理，中至少有一个小于81，故，，，中至少有两个小于81.5．已知数列，，…，为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.（1）写出所有4的1减数列；（2）若存在m的6减数列，证明：；（3）若存在2024的k减数列，求k的最大值.答案：（1）数列1，2，1和数列3，1（2）证明见解析（3）k的最大值为512072解析：（1）由题意得，则或，故所有4的1减数列有数列1，2，1和数列3，1.（2）因为对于，使得的正整数对有k个，且存在m的6减数列，所以，得.①当时，因为存在m的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以.②当时，因为存在m的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以.若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以.③当时，因为存在m的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以.综上所述，若存在m的6减数列，则.（3）若数列中的每一项都相等，则，若，所以数列A存在大于1的项，若末项，将拆分成个1后k变大，所以此时k不是最大值，所以.当，2，…，时，若，交换，的顺序后k变为，所以此时k不是最大值，所以.若，所以，所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以k变大，所以此时k不是最大值，所以.若数列A中存在相邻的两项，设此时A中有x项为2，将改为2，并在数列末尾添加项1后，k的值至少变为，所以此时k不是最大值，所以数列A的各项只能为2或1，所以数列A为2，2，…，2，1，1，…，1的形式.设其中有x项为2，有y项为1，因为存在2024的k减数列，所以，所以，所以，当且仅当，时，k取最大值为512072.所以，若存在2024的k减数列，k的最大值为512072.6．若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”.（1）求证：对任意“好数”m，一定为20的倍数；（2）若，且p，q为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：设，且t为整数，，，且t为整数，是正整数，一定是20的倍数.（2），且p，q为正整数，，当时，，没有满足条件的p，q，当时，，满足条件的有或，解得或，或，当时，，没有满足条件的p，q，当时，，满足条件的有，解得，，当时，，没有满足条件的p，q，当时，，满足条件的有或，解得或，或，小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（8）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题1．[2024届·甘肃酒泉·模拟考试]十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或．（1）记，求证：；（2）记为整数n的二进制表达式中的0的个数，如，．（ⅰ）求；（ⅱ）求（用数字作答）．答案：（1）证明见解析；（2）（ⅰ）5；（ⅱ）3280解析：（1）因为，，，，；（2）（ⅰ），；（ⅱ），，故从到中，有、、…、共8个，有个，由，即共有个，有个，由，即共有个，……，有个，.2．设是定义在R上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”.（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：（i），（ii）；（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求m的取值范围；（3）设p，，.设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值.答案：（1）是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析（2）（3）解析：（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷