材料力学(第三版) 课件 第8章 组合变形

第8章组合变形8.1引言8.2拉(压)弯组合变形8.3弯曲与扭转的组合习题

8.1引言

1.组合变形的概念与工程实例

在工程实际中，杆件的受力变形情况种类很多，有不少构件同时发生两种或两种以上的基本变形。例如，图8-1是工程中常见的钻杆简图，钻杆受扭矩作用，同时钻杆的自重沿钻杆的轴向作用，所以钻杆的变形既有轴向拉伸变形，又有扭转变形。又如，图8-2是机械设备中的传动轴，传动轮上的作用力使传动轴既有扭转变形，又有弯曲变形。杆件同时发生两种或两种以上基本变形的情形称为组合变形。

图8-1

图8-2

2.叠加原理及其适用范围

在线弹性、小变形条件下，构件的内力、应力和变形等均与外力呈线性关系。可以认为，载荷的作用是独立的，每一载荷所引起的内力、应力、变形都不受其他载荷的影响。几个载荷同时作用在杆件上所产生的应力、变形，等于各个载荷单独作用时产生的应力、变形之和，此即叠加原理。当杆件在复杂载荷作用下同时发生几种基本变形时，根据静力等效原则，先将外力进行分解、简化、分组，使简化后的每一组载荷只对应一种基本变形，再分别计算每一种基本变形下产生的内力、应力和变形，然后将所得结果叠加，便可得到组合变形时构件的内力、应力和变形，其结果与各力的加载次序无关。

8.2拉(压)弯组合变形

8.2.1杆件同时承受横向力与轴向力作用如图8-3(a)所示的矩形截面梁，在自由端截面形心上作用一斜向下的集中力F，其作用线位于梁的纵向对称面内，与梁轴线的夹角为θ。因为力F的作用线既不与轴线重合，又不与轴线垂直，所以梁的变形既不是单纯的轴向拉压，也不是单纯的平面弯曲，而是轴向拉伸与弯曲的组合变形。

图8-3

危险面上总的正应力可由拉应力和弯曲正应力叠加而得，其分布情况如图8-3(d)所示，截面的上边缘有最大正应力，其值为

截面的下边缘有最小正应力，其值为

例8-1图8-4(a)为一悬臂式吊车机架简图。机架由单根18号工字钢AB及拉杆AC构成。横梁AB的跨度l=2m，作用在AB梁中点的载荷W=25kN，材料的许用应力[σ]=100MPa，α=30°，梁与拉杆的自重不计。试校核横梁AB的强度。

图8-4

解(1)外力分析。以横梁AB为研究对象，作用在横梁上的力有载荷W

，拉杆的拉力FA

，支座B的反力FBx、FBy，如图8-4(b)所示。将A点的作用力分解为FAx和FAy。可以将作用在AB梁上的力分为两组，其中W、FAy、FBy使梁发生弯曲变形，而FAx、FBx使梁发生轴向压缩变形。故梁AB发生压弯组合变形。

由梁的静平衡方程可解得各未知力的大小为

(2)判断危险截面及危险点。AB梁在轴向压力作用下发生压缩变形时，等截面梁任一截面上的轴力相等，均为21.65kN，任意横截面均为危险截面，由于压缩时横截面上应力均匀分布，其上任意一点均为危险点;AB梁在横向力作用下发生弯曲变形时，最大弯矩在中点D，该截面应为梁的危险截面。因为弯矩在危险截面上引起的正应力呈线性分布，危险截面上下边缘处各点均为可能的危险点，并且材料的抗拉、抗压能力相同，所以此梁的危险点应在应力绝对值最大的点，即D截面上边缘各点均为危险点。

8.2.2偏心拉(压)

与杆的轴线平行但不重合的载荷称为偏心载荷，由偏心载荷引起的变形称为偏心拉伸或偏心压缩，偏心拉(压)本质上是轴向拉(压)与弯曲的组合变形。现以矩形截面杆为例，讨论偏心拉压强度问题。

图8-5(a)所示的矩形截面立柱，集中力F与轴线平行但不重合，作用点距形心主轴y、z的垂直距离分别用ez、ey表示，称之为偏心距。当ey≠0，ez≠0时，称为双向偏心压缩;而当ey、ez之一为零时，则称为单向偏心压缩。

图8-5

图8-6

偏心压(拉)杆任一横截面均为危险截面，危险点是距中性轴最远处的点。对矩形截面，不难看出危险点为图8-6(a)中的A点或C

点，危险点的应力状态为单向应力状态。若杆用塑性材料制成，则其强度条件为

若杆用脆性材料制成，当杆件横截面上出现拉应力时，则应分别建立拉压强度条件：

8.2.3截面核心

例8-2某钻床结构简图如图8-7所示，钻床在钻孔时受到F=15kN的工件反力作用，已知偏心距e=0.4m，钻床立柱直径d=125mm，铸铁立柱的许用拉应力[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=120MPa。试校核该立柱的强度。图8-7

解(1)外力分析。

将作用在钻头上的力F平移到立柱轴线，同时得到一个力和一个附加力偶，附加力偶之矩Me=F·e，力F使立柱产生轴向拉伸，附加力偶使立柱产生平面弯曲。所以，立柱的变形为拉弯组合变形。

(2)内力分析。

轴向拉伸的轴力FN=F=15kN，附加力偶矩即为弯矩，其值为M=F·e=6kN·m。

(3)危险点判断。

轴向拉力在任一横截面上任意一点引起的应力相等，作用在立柱任一横截面的弯矩相等，弯矩在左侧引起最大压应力，在右侧引起最大拉应力，从弯曲考虑危险点为立柱左侧

或右侧面上的任意一点。

(4)应力分析与强度校核。

短柱的截面为矩形，尺寸为b×h，如图8-8所示，试确定截面核心。图8-8

8.3弯曲与扭转的组合

8.3.1弯曲与扭转组合变形时轴的强度计算现以图8-9所示的电机轴外伸段为例，讨论杆件作弯曲与扭转组合变形时的强度计算问题。电机轴的外伸端装一皮带轮，两边皮带张力分别为F1和F2，设F1>F2，轮的自重忽略不计。

图8-9

由以上分析可知，C1、C2两点处切应力和弯曲正应力均为最大，故C1、C2两点均为危险点。对于由抗拉、抗压强度相同的塑性材料制成的轴，只要研究其中一点就够了。现取C1点为研究对象，在C1点附近截取一单元体，如图8-10(e)所示。单元体的侧面上有正应力σ和切应力τ，为平面应力状态，必须利用强度理论建立强度条件。由平面应力状态极值应力的计算公式，可得C1点处的主应力为

图8-10

上述强度条件中的(8-9)和(8-11)两式，适用于图8-10(e)所示的平面应力状态，其中的σ和τ可正可负，并且不用考虑应力是由何种变形引起的;而式(8-10)和式(8-12)不仅适用于弯扭组合下的圆形截面杆件，也适用于空心圆轴的计算，此时，式中的Wz要用空心圆轴的抗弯截面模量。

例8-4某传动轴如图8-11所示。已知电动机通过联轴器作用在截面A上的外力偶矩Me=1kN·m，皮带紧边和松边的张力分别为F和F'，其中F=2F'，轴承C、B的间距l=200mm，皮带轮的直径D=300mm，轴用Q235钢制成，许用应力[σ]=160MPa。试按第三强度理论设计轴的直径d。图8-11

解(1)外力分析。

8.3.2双向弯曲时轴的强度计算

设圆轴弯曲时，在两个正交的纵向对称面内均存在弯矩，xy面内的弯矩记为Mz，xz面内的弯矩记为My，如图8-12(a)所示。Mz在截面上的A、A'点处引起最大弯曲正应力，My在截面上的B、B'点处引起最大弯曲正应力。

图8-12

例8-5图8-13(a)为一传动轴的示意图。C轮皮带处于水平位置，D

轮皮带处于铅垂位置，两皮带的张力分别为F=3900N，F'=1500N，两轮的直径均为600mm，材料许用应力[σ]=80MPa。试按第四强度理论确定实心轴的直径。

图8-13

例8-6位于水平面内的等圆截面曲杆AB，其轴线为1/4圆弧，圆弧的半径R=600mm，杆的B端固定，A

端承受铅垂载荷F=1.5kN，如图8-14(a)所示。材料的许用应力[σ]=80MPa，试按第三强度理论设计曲杆的直径图8-14

习题

题8-1图

8-1试求题8-1图所示的构件在指定截面上的内力分量,并分析构件将发生何种变形。

8-2试分别求出题8-2图所示不等截面及等截面杆内的最大正应力,并作比较。题8-2图

8-3一铸铁C形夹具如题8-3图所示,材料拉伸和压缩许用应力分别为[σt]=40MPa,[σc]=20MPa,试确定结构的许可夹紧力P的大小。题8-3图

8-4三角形构架ABC受力如题8-4图所示。水平杆AB由No32a号工字钢制成,材料的许用应力[σ]=150MPa,试求AB杆的最大应力并校核强度。题8-4图

8-5题8-5图所示钻床,受力F=15kN,铸铁立柱的许用拉应力[σt]=35MPa,试确定立柱的直径d。题8-5图

8-6有一拉杆如题8-6图所示,截面为边长a的正方形,拉力F与杆轴重合。后因使用上的需要,在杆的某一段范围内开一a/2宽的切口。试求m-m截面上的最大拉应力,并和截面削弱以前的拉应力值进行比较。题8-6图

8-7受拉构件形状如题8-7图所示,已知截面尺寸为40mm×5mm,通过轴线的拉力F=12kN。现拉杆开有切口,如不计应力集中影响,当材料的许用应力[σ]=100MPa时,试确定切口的容许最大深度,并绘出切口截面的应力变化图。题8-7图

8-8-卷扬机轴为圆形截面,直径d=30mm,其他尺寸如题8-8图所示。机轴材料的许用应力[σ]=120MPa,试用第三强度理论确定许可起重载荷[F]。题8-8-图

8-9一起重螺旋的载荷和尺寸如题8-9图所示。已知起重载荷W=40kN。若起重时推力F=320N,力臂l=500mm,起重最大高度h=300mm,螺纹内径d=40mm,螺杆的许用应力[σ]=100MPa。试用第三强度理论校核螺杆强度。题8-9图

8-10一垂直轴安装两只带轮,如题8-10图所示。B轮直径d1=100mm,C轮直径d2=250mm,轴受到的胶带张力如图所示。若轴的许用应力[σ]=140MPa,试校核轴的强度。题8-10图

8-11题8-11图为一齿轮传动机构,轴AB的中间段传递的外力偶矩为1200N·m,假定齿轮啮合力沿着节圆切线方向,材料许用应力[σ]=80MPa,各构件自重忽略不计,图中尺寸单位为mm。试按第三、第四强度理论设计该轴的直径。题8-11图

8-12如题8-12图所示,圆截面折杆ABC位于水平面内,AB段与BC段垂直,L=150mm,a=140mm。铅垂向下的作用力F=20kN,材料的许用应力[σ]=160MPa。

(1)画出AB段的弯矩图和扭矩图。

(2)指出危险截面的位置并且用最大切应力理论确定AB段的直径。题8-12图

8-13如题8-13图所示的传动轴,直径d=80mm,转速n=110r/min,传递功率P=11kW,外伸段长度l=520mm,胶带紧边张力为其松边张力的3倍,皮带轮直径D=660mm,若轴的许用应力[σ]=70MPa,试按第三强度理论校核该传动轴外伸段的强度。题8-13图

8-14如题8-14图所示的传动轴,在外力偶矩Me的作用下作匀速转动,轮直径D=0.5m,拉力F1=10kN,F2=5kN,轴的直径d=90mm,l=500mm。若轴的许用应力[σ]=50MPa,试按第三强度理论校核轴的强度。图8-12

8-15如题8-15图所示,水平直角折杆受竖直力P作用,已知轴直径d=100mm,E=200GPa,在D截面顶点K测出轴向应变ε0=2.75×10-4,若材料的许用应力[σ]=160MPa。试求该折杆危险点的相当应力σr3,并用第三强度理论校核该杆的强度。