北仑中学2023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

北仑中学2023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷（全年级+外高班使用）选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.如左图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()A． B． C． D．3.水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形第3题图第5题图第6题图4.已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()A． B． C． D．5.如图，蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（

）A． B． C． D．6.如图，在直三棱柱中，，P为的中点，则直线与所成的角为（

）A． B． C． D．7.三棱锥的侧棱上分别有三点E，F，G，且，则三棱锥与三棱锥的体积之比是（

）A．6 B．8 C．12 D．248.在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．的虚部为1 B．C． D．的共轭复数为10.在△ABC中，，，，则（）A．△ABC外接圆面积为定值，且定值为 B．△ABC的面积有最大值，最大值为C．若，则 D．当且仅当或时，△ABC有唯一解11.如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（

）A．存在某个位置，使得B．面积的最大值为C．D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为．13.“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标.某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高.第13题图第15题图14．已知A，B，C，D四点都在表面积为的球O的表面上，若是球O的直径，且，则三棱锥体积的最大值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，AB是圆柱的底面直径，AB＝2，PA是圆柱的母线且PA＝2，点C是圆柱底面圆周上的点.(1)求圆柱的侧面积和体积；(2)证明：平面平面；(3)若AC＝1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE＋ED的最小值.16.（15分）已知复数，，（，是虚数单位）．(1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；(2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值；(3)若，且是实数，求实数的值.17.（15分）如图，在四面体，分别是的中点．(1)求证：；(2)在上能否找到一点，使平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；(3)若，且求直线与平面所成角的正切值．18.（17分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若的面积为.①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；②求内角A的角平分线AD长的最大值．1