新教材高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列的性质导学案新人教A版选择性必修第二册

第2课时等差数列的性质(老师独具内容)课程标准：1.理解等差数列的性质.2.驾驭等差数列的性质及其应用．教学重点：等差数列的性质及其应用．教学难点：等差数列性质的应用.学问点一等差数列的项与序号的关系两项关系多项关系通项公式的推广：an＝am＋eq\x(\s\up1(01))(n－m)d(m，n∈N*)项的运算性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则eq\x(\s\up1(02))am＋an＝ap＋aq学问点二等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2倍)，即a1＋an＝a2＋eq\x(\s\up1(01))an－1＝ak＋eq\x(\s\up1(02))an－k＋1＝(其中n为奇数且n≥3)．学问点三等差数列的性质1．若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：(1){c＋an}(c为任一常数)是公差为eq\x(\s\up1(01))d的等差数列；(2){c·an}(c为任一常数)是公差为eq\x(\s\up1(02))cd的等差数列；(3){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为eq\x(\s\up1(03))2d的等差数列．2．若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为eq\x(\s\up1(04))pd1＋qd2的等差数列．3．等差数列{an}中每隔相同的项抽出来的项依据原来的依次排列，构成的新数列仍旧是eq\x(\s\up1(05))等差数列.1．公式d＝eq\f(an－am,n－m)(n，m∈N*，n≠m)是由公式an＝am＋(n－m)d演化而来的．已知数列中的随意两项，只要弄清所在项的项数，就可以应用该公式来求得d.2．项的运算性质可推广到三项的情形，即“m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N*⇒am＋an＋at＝ap＋aq＋as”，还可以推至四项乃至更多项的情形，只要两边项数一样，且下标的和相等即可．3．等差数列的巧设元问题当三个数(或者四个数)成等差数列且和为定值时，常采纳对称设元，即a－d，a，a＋d(或a－3d，a－d，a＋d，a＋3d)，以达到简化运算的目的；假如五个数(或者六个数)成等差数列且和为定值时，可对称设元为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(或a－5d，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，a＋5d)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝r，m，n，r∈N*，则am＋an＝ar.()(2)若数列{an}是等差数列，则a1，a3，a5，a7，a9是等差数列．()(3)两个等差数列的和仍是等差数列．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．30 B．15C．5eq\r(6) D．10eq\r(6)(2)在等差数列{an}中，a3＝2，公差d＝－1，则a10＝________.(3)若等差数列{an}中，a5＝a，a10＝b，则a15＝________.答案(1)B(2)－5(3)2b－a题型一等差数列的性质应用例1等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()A．20 B．22C．24 D．－8[解析]解法一：由a1＋3a8＋a15＝120，可得5a1＋35d＝120，即a1＋7d＝24，又2a9－a10＝a1＋7d，所以2a9－a10＝24.解法二：因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，而2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.[答案]C[变式探究]若本例中条件不变，求a3＋a13的值又如何？解由例题解知，a8＝24，由等差数列的性质知a3＋a13＝2a8＝48.等差数列性质的应用技巧(1)适用情景已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项．(2)常用性质利用已知m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq或若m＋n＝2r，则am＋an＝2ar将题目条件转化．[跟踪训练1](1)已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为()A．10 B．－10C．15 D．－15(2)等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.答案(1)B(2)18解析(1)∵a4＋a7＋a10＝3a7＝30，∴a7＝10，而a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10.(2)解法一：依据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋a8＝18.解法二：依据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.例2已知等差数列{an}首项为a1，公差为d，且a15＝8，a60＝20，求a75.[解]解法一：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a15＝a1＋14d＝8，,a60＝a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))∴a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.解法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝eq\f(a60－a15,60－15)＝eq\f(20－8,60－15)＝eq\f(4,15)，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.解法三：∵数列{an}是等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．设其公差为d′，则a15为首项，a60为第4项，∴a60＝a15＋3d′，即20＝8＋3d′，∴d′＝4，∴a75＝a60＋d′＝20＋4＝24.(1)应用等差数列的通项公式的变形公式am＝an＋(m－n)d可以便利地求出d，从而写出通项公式．(2)奇妙地应用等差数列的性质求解，可大大简化解题过程．[跟踪训练2]等差数列{an}中，若a7＝m，a14＝n，则a21＝________.答案2n－m解析∵7＋21＝14＋14，∴a7＋a21＝2a14，∴a21＝2a14－a7＝2n－m.题型二敏捷设项求解等差数列例3(1)三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数；(2)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数．[解](1)设这三个数为a－d，a，a＋d.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝21，,a－d2＋a2＋a＋d2＝155，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－2，))∴这三个数为5,7,9或9,7,5.(2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝28，,a－da＋d＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－3.))∴这四个数依次为－2,4,10,16或16,10,4，－2.常见设元技巧(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可削减计算量．[跟踪训练3]已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．解解法一：依据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＋a1＋2d＝21，,a1a1＋da1＋2d＝231，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝21，,a1a1＋da1＋2d＝231，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－4.))因为数列{an}为递增数列，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4，))从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.解法二：由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝21，,a－daa＋d＝231，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝21，,aa2－d2＝231，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－4.))由于数列{an}为递增数列，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4，))从而an＝4n－1.题型三等差数列的综合应用例4数列{an}满意a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．[解](1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)不存在实数λ使数列{an}为等差数列．证明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{an}为等差数列冲突．所以不存在λ使{an}是等差数列．一个数列是否为等差数列，要看随意相邻两项的差是否为同一常数，要推断一个数列为等差数列，需证明an＋1－an＝d(d为常数)对n∈N*恒成立，若要推断一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即可．[跟踪训练4]已知数列{an}满意(an＋1－an)(an＋1＋an)＝16，且a1＝1，an>0.(1)求证：数列{aeq\o\al(2,n)}为等差数列；(2)求an.解(1)证明：由(an＋1－an)(an＋1＋an)＝16，得aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝16，∴数列{aeq\o\al(2,n)}构成以aeq\o\al(2,1)＝1为首项，以16为公差的等差数列．(2)由(1)知aeq\o\al(2,n)＝1＋(n－1)×16＝16n－15，又an>0，∴an＝eq\r(16n－15).题型四等差数列的实际应用例5某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的缘由，利润每年比上一年削减20万元，依据这一规律假如公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解]由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项为a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)×d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220<0，解得n>11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．解决等差数列实际问题的步骤(1)将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；(2)构建等差数列模型，由条件确定a1，d，n，an；(3)利用通项公式或等差数列的性质求解；(4)将所求问题还原到实际问题中．[跟踪训练5]如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.(1)求AB，BC，CD的长；(2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？解(1)设公差为d(d>0)，BC＝x，则AB＝x－d，CD＝x＋d.由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－d＋x＋x＋d＝21，,x－d2＋x2＋x＋d2＝179，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,d＝－4))(舍去)．所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，CD＝11(cm)．(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{an}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.aeq\o\al(2,10)＝392＝1521(cm2)．所求正方形的面积为1521cm2.1．已知等差数列{an}中，a3＝1，a7＝－9，则a5＝()A．－4 B．4C．－8 D．8答案A解析∵2a5＝a3＋a7＝1－9＝－8，∴a5＝－4.2．若{an}为等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A．39 B．20C．19.5 D．33答案D解析∵a1＋a4＋a7＝3a4＝45，∴a4＝15，∵a2＋a5＋a8＝3a5＝39，∴a5＝13，∴d＝a5－a4＝－2，a6＝a5＋d＝11，∴a3＋a6＋a9＝3a6＝3×11＝33.故选D.3．首项是18，公差为3的等差数列从第________项起先大于100.答案29解析由题意，知an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，由3n＋15>100得n>28eq\f(1,3).∵n∈N*，∴n＝29，即从29项起先大于100.4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于________.答案100解析设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，∴(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，∴{an＋bn}为等差数列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴a37＋b37＝100.5．成等差数列的四个数之和为26，其次个数与第三个数之积为40，求这四个数．解设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝－\f(3,2).))所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.A级：“四基”巩固训练一、选择题1．假如等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21C．28 D．35答案C解析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.2．已知等差数列{an}满意a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0 D．a51＝0答案D解析由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.3．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的eq\f(1,7)是较小的两份之和，则最小的1份为()A.eq\f(5,3) B．eq\f(10,3)C．eq\f(5,6) D．eq\f(11,6)答案A解析设五个人分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100，∴a＝20，由eq\f(1,7)(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，∴d＝eq\f(55,6)，∴最小的一份为a－2d＝20－eq\f(110,6)＝eq\f(5,3).故选A.4．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋a4，则k的值为()A．6 B．7C．8 D．9答案B解析因为a1＝0，d≠0，∴a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝6d＝a7.故选B.5．(多选)已知等差数列{an}为递减数列，且a3＝1，a2a4＝eq\f(3,4)，则()A．数列{an}的公差为－eq\f(1,2)B．an＝－eq\f(1,2)n＋eq\f(5,2)C．数列{a1an}是公差为－1的等差数列D．a1a7＋a4＝－1答案ABC解析由题意知，a2＋a4＝2a3＝2.又a2a4＝eq\f(3,4)，数列{an}为递减数列，∴a4＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2).∴公差d＝eq\f(a4－a2,2)＝－eq\f(1,2)，故A正确；又a1＝a2－d＝2.∴an＝2＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)n＋eq\f(5,2)，故B正确；由上可知a1an＝2an，则当n≥2时，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，当n＝1时，aeq\o\al(2,1)＝4，∴数列{a1an}是首项为4，公差为－1的等差数列，故C正确；∵a1an＝4－(n－1)＝5－n，∴a1a7＋a4＝5－7＋eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2)，故D错误．故选ABC.二、填空题6．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.答案27解析在等差数列{an}中，设a3＋a6＋a9＝x①，已知a2＋a5＋a8＝33②，a1＋a4＋a7＝39③，②－③得3d＝－6，①－②得3d＝x－33，∴x＝33＋3d＝33－6＝27.7．假如有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满意条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.答案19解析因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.8．设数列{an}是递减数列，前3项成等差数列，且前3项的和为12，前3项的积为48，则它的首项是________，它的第2项是________.答案64解析∵前3项成等差数列，所以可以设前3项分别为a－d，a，a＋d，由题设可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝12，,a－da＋da＝48，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝－2.))∴该数列的第2项是4.∵数列{an}是递减数列，∴d<0，∴d＝－2，∴首项a－d＝4－(－2)＝6.三、解答题9．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比其次个数与第三个数的积少18，求此四个数．解设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.据题意得，(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94⇒2a2＋10d2＝47.①又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18⇒8d2＝18⇒d＝±eq\f(3,2)代入①得a＝±eq\f(7,2).故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.10．在等差数列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a10＋a11＝48，求a6＋a7；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.解(1)依据已知条件a2＋a3＋a10＋a11＝48，得2(a6＋a7)＝48，∴a6＋a7＝24.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，得a2＋a5＝17.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a5＝52，,a2＋a5＝17，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a5＝13))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝13，,a5＝4.))∴d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝eq\f(13－4,3)＝3，或d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝eq\f(4－13,3)＝－3.B级：“四能”提升训练1．已知数列{an}满意an＋1＝eq\f(1＋an,3－an)(n∈N*)，且a1＝0.(1)求a2，a3的值；(2)是否存在一个实常数λ，使得数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))为等差数列，请说明理由．解(1)因为a1＝0，an＋1＝eq\f(1＋an,3－an)(n∈N*)，所以a2＝eq\f(1＋a1,3－a1)＝eq\f(1＋0,3－0)＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1＋a2,3－a2)＝eq\f(1＋\f(1,3),3－\f(1,3))＝eq\f(1,2).(2)假设存在一个实常数λ，使得数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))为等差数列，则eq\f(1,a1－λ)，eq\f(1,a2－λ)，eq\f(1,a3－λ)成等差数列，所以eq\f(2,a2－λ)＝eq\f(1,a1－λ)＋eq\f(1,a3－λ)，所以eq