洛阳市某中学2021年春高二数学（理）下学期3月考试卷附答案解析

洛阳市一中2021年春高二数学（理）下学期3月考试卷

一、单选题

InY

1.设曲线y=——在点（L。）处的切线与直线工一卬+1=0垂直，则。二（）

x+1

2.函数y=J的图象大致是（）

二1y

B.

二个y

D.

0\

3.函数/（X）=炉—2cv+LX在X=2处取极小值，则。=（）

A.6或2B.6或-2C.6D.2

4.已知函数y=/（x）的图象如图所示,则其导函数y=/'（%）的图象可能是（）

/vpV

上皿*cD比

5.若点尸是曲线y=炉一111X上任一点，则点尸到直线》一了一4=0的最小距离是（）

A.y/2B.3C.2aD.2G

6.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为“，b（c若函数/（力=,/+云2+（02+,2-团卜+1无

极值点，则角8的最大值是

7.函数/(力=⑪—111尤20(4€/?)恒成立的一个必要不充分条件是()

A.aeL+8)B.«G[0,+OO)C.«e[l,+oo)D.ae(—,e]

8.定义在R上的函数的导函数为,若对任意实数x,有/(力>/'(力，且〃x)+2020为奇

函数，则不等式.f(x)+2()20e'<0的解集是()

A.(-？,0)B.(0,+?)C.D.g+oo)

9.已知函数f(x)=%3+以2+H+C,下列结论中错误的是

A.3xoeR,f(xo)=O

B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形

C.若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-8,x0)单调递减

D.若％是f(x)的极值点，贝！]f'(xo)=O

10.已知函数/(月=；。^+2办+lnx在区间(0,+8)上为增函数，则实数。的取值范围是

A.[0,1]B.[0,+oo)C.(—l,+oo)D.(―1,1)

11.己知函数/(x)=x-alnx+a(aeR)有两个零点，则a的取值范围是()

A.(e,+oo)B.(e2,+oo)C.(e2,e3)D.(e2,2e2)

,x2,x<0,

12.已知/(x)=〈,若r(x)+(i—a)/(x)—“=()恰有两个实数根.毛，则x+w的取值范围是

e,x>Q

()

A.(―l,4<o)B.(—1,2In2—2]C.(—co,2—2In2]D.(—co,2In2—2]

二、填空题

_____i

13.已知函数/1(x)=sinx+Jl—x2,则J/(x)dx=_.

-1

14.已知函数/(司=2幺-lnx+1,则的单调减区间为.

15.已知函数/(xb/+x-sinx,若/(2力+/卜2-3)>0,则实数x的取值范围为.

2

16.已知函数/(x)=/+〃2与函数g(x)=-lng-；,2)的图象上至少存在一对关于x轴对称的

点，则实数加的取值范围是.

三、解答题

13

17.已知函数.f(x)=§x3—5%2-4%+4.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当》目一3,6］时，求函数/(x)的最大值和最小值.

18.已知函数/(x)=V一3x.

(1)求函数/(x)的极值；

(2)若g(x)=1①1+alnx在工”)上是单调增函数，求实数。的取值范围.

x

19.已知函数/(x)=x-alnx(aGR).

(1)当。=2时，求曲线y=/(x)在点41,/(D)处的切线方程;

(2)讨论函数f(x)的单调区间.

20.在第六个国家扶贫日到来之际，中共中央总书记、国家主席①、中央军委主席习近平对脱贫攻坚工作作出

重要指示强调，新中国成立70年来，中国共产党坚持全心全意为人民服务的根本宗旨，坚持以人民为中心的发

展思想，带领全国各族人民持续向贫困宣战.某县政府响应号召，实施整治环境吸引外地游客的脱贫

战略，效果显著.某旅行社组织了两个旅游团于近期来到了该县的某风景区.数据显示，近期风景区中每天空气

质量指数近似满足函数/(。=I］*+121nfT-6(4KY22,aeR),其中，为每天的时亥!I.若在凌晨4

点时刻，测得空气质量指数为21.8.

(I)求实数。的值；

(H)求近期每天在［4,22］时段空气质量指数最高的时刻入(参考数值：In2。0.7)

21.已知函数/aeR.

(1)若。＜0,求函数“X)的单调减区间；

(2)若关于x的不等式2%欣〈/'(%)+。2+1恒成立，求实数a的范围.

3

iwc-n

22.已知函数/(x)-Inx(m,neR).

x

(I)若函数/(%)在(L/(D)处的切线与直线x—y=O平行，求实数〃的值；

(ED若“=1时，函数“X)恰有两个零点办,.(0＜玉＜吃)，证明：西+々＞2.

解析

洛阳市一中2021年春高二数学(理)下学期3月考试卷

一、单选题

InY

1.设曲线y=——在点(1,0)处的切线与直线x—@+1=0垂直，则。=()

x+1

11

A.---B.—C.—2D.2

22

【答案】A

【分析】函数求导，计算左=/'(1),利用切线与直线x-a.y+l=0垂直，求得。值.

/f1,j——I.]njc

【详解】由题意得，((幻=(lnx)(%+l)-lnMx+D=x*〉0)，

(x+1)2(x+1)2

•.•在点(1,0)处的切线与直线x—ay+l=0垂直，

一x—=—1,解得a=—

2a2

故选：A

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

4

【分析】根据函数有两个极值点，可排除选项c、D；利用奇偶性可排除选项B,进而可得结果.

【详解】因为y=一，所以歹=〃「，

令y'=0可得，x=0,x=2,

即函数有且仅有两个极值点，可排除选项c、D；

又因为函数y=j即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B,

故选：A.

【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

3,函数/(x)=V—24+/尤在1=2处取极小值，则。=()

A.6或2B.6或-2C.6D.2

【答案】D

【分析】先求导数，根据/'(2)=0求得c,再代入验证是否满足题意.

【详解】/'(X)—3*2—45+/'(2)=12—8c+c2=0c=2或c=6

当c=6时，(x)=3x2—24x+36=3(x-2)(x—6),

当x<2时/'(x)>0,当2Vx<6时/'(x)<0,函数/(x)在x=2处取极大值，不符题意，舍去;

当c=2时，/'(x)=3%2—8x+4=(%—2)(3x—2),

当x>2时/'(x)>0,当：<x<2时/'(x)<0,函数/(x)在x=2处取极小值,

故选：D

【点睛】本题考查函数极值，考查基本分析求解能力，属基础题.

5

【分析】由原函数的图象可知y=/（x）在（F,0）上先单调递增，后单调递减，再单调递增，在（0,+力）上单

调递减；可确定出导函数在每个区间是大于零，还是小于零，分析各个选项中的图象，即可得出结论.

【详解】由"X）的图象可知：y=/（x）在（-8,0）先单调递增，后单调递减，

再单调递增，而在（0,+力）上单调递减，

故＞=/'（X）在区间（-30，。）上先大于。，后小于0，

再大于0,在（0,+力）上尸（x）恒小于0.

分析选项中各个图象，只有选项A符合，故选A.

【点睛】本题主要考查原函数图象与导函数图象的关系，属于基础题.原函数在区间上递增，则导函数图象在x

轴上方，原函数在区间上递减，则导函数图象在x下方.

5.若点尸是曲线y=Y—]nx上任一点，则点尸到直线》一丁一4=0的最小距离是（）

A.V2B.3C.272D.273

【答案】C

【分析】根据题意，设出点P，根据点P处的切线斜率为1，求得切点，再用点到直线的距离公式即可求得结果.

【详解】要使点尸到直线x-y-4=0的最小距离，只需点尸为曲线与直线x-y—4=0平行的切线的切点，

即点P为斜率为1的切线的切点，

设。（毛，为），毛＞。，＞=/一卜羽儿「2%-；=1,

解得外）=1或％=一耳（舍去），

11-1-41r

点P（1,D到直线y—4=0的距离为—=2,2,

所以曲线y=d—inx上任一点到直线x-y-4=0距离最小值为2夜.

6

故选：c.

【点睛】本题考查由切线的斜率，求切点坐标，涉及点到直线的距离公式，属基础题.

6.在AA8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C若函数/(耳=；*3+"2+.2+。2一的卜+1无

极值点，则角3的最大值是

11117r兀

A.-B.-C.—D.一

6432

【答案】C

【详解】函数/(X)=gd+笈2+(〃2+，一觉卜+1无极值点，则导函数无变号零点，

/'(x)=*+2bx+/+c2—,△=/?2——c24-<0=>cosB—“+'..—>—

2ac2

5€(0,不)，5€(0,3].故最大值为：

故答案为C.

7.函数/(x)=ax-Inx?O(aeR)恒成立的一个必要不充分条件是()

A.ae；，+8)B.«G[0,+OO)C.ae[l,+oo)D.aw(F,e]

【答案】B

【分析】先利用参变分离法求/(力=以一InxNO(awR)恒成立时。的范围，再与选项条件比较包含关系,

即可作出选择.

]n

,Y

【详解】Q/(x)=ox-lnx>0..a>(---)max

X

AInx,1-lnx

令y=——，贝iJy=——z-=0x=e

XX

当Ovxce时y'>0,当时y'vO,因此当元=e时%俶=,，。之!，

*ee

因为J,+8)为[0,+8)真子集，所以函数〃x)=ar—Inx之O(aeR)恒成立的一个必要不充分条件是

ae[0,+8),类似可得A是充要条件，C是充分不必要条件，D既不是充分条件也不是必要条件.

故选：B

【点睛】本题考查不等式恒成立、充要关系判断，考查综合分析求解判断能力，属中档题.

8.定义在R上的函数〃力的导函数为第x),若对任意实数》,有〃x)>/'(x),且〃x)+2020为奇

函数，则不等式/(力+2020/<0的解集是()

7

A-(-?⑼B.(0,+?)C.18,皆D,g,+oo)

【答案】B

【分析】构造函数/(x)=4i+2020,根据导函数得单调性，利用单调性求解不等式的解集.

【详解】/(x)+2020为奇函数，所以/(0)+2020=0,/(0)=-2020

考虑函数尸(x)=+2020,尸(x)=<o，

所以产(力=1单+2020在"上单调递减，

F(0)=^^+2020=0.

/(%)+2020/<0的解集等价于+2020<0的解集，

e'

即F(x)<尸(0)的解集为(0,+8).

故选：B.

【点睛】此题考查构造函数讨论函数单调性，结合奇偶性和特殊值求解不等式，关键在于准确构造函数.

9.已知函数f(x)=%3+以2+公+c,下列结论中错误的是

A.BxoeR,f(xo)=0

B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形

C.若％是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-8,x0)单调递减

D.若％是f(x)的极值点，贝!|f'(xo)=0

【答案】C

【详解】试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当Xf—8时，函数值f—8,当xf+8时，函数值

也f+8,又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定mxoCR,f(xo)=0,选项A中的结论正

确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x+nO'+nG+nO+h的形式，通过平移函数图象，函数的

解析式可以化为y=x，+nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对

称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x“xz,则极小值点

x2>x„即函数在一8到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关

系，显然选项D中的结论正确.

【解析】函数的零点、对称性、单调性、极值.

10.已知函数/(x)=gav2+2办+lnx在区间(0,+8)上为增函数，则实数。的取值范围是

8

A.[0,1]B.[0,+oo)C.(—L+oo)D.(—1,1)

【答案】B

【分析】将问题转化为/'WNo,即a2一—」一在区间(0,+8)上恒成立,再根据一一」一<0可得答案.

x+2xx+2x

【详解】因为/(x)=+2ax+lnx,

所以f*(x)=ar+2a+—,

x

因为函数/(x)=~ax2+2ar+lnx在区间(0,+8)上为增函数，

所以6+2。+420,即——」一在区间(0,+℃)上恒成立，

xx+2x

因为y=f+2X=(X+—1在(0,+00)上递增，

所以X?+2x>0,所以—;~—<0,

x2+2x

所以aNO.

故选:B.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式恒成立问题，考查了转化划归思想,属于中档题.

11.已知函数/、(x)=x-alnx+a(aeR)有两个零点，则a的取值范围是()

A.(e,+oo)B.(e2,+°o)C.(/,")D.(e2,2e2)

【答案】B

【分析】对f(x)求导，分类讨论各种情况下的零点个数则可求出a的取值范围.

【详解】/(x)=l--=—(x>0),

XX

当aWO时，/(x)>。，.・・/(x)在(0,38)上单调递增，不合题意，

当。>0时，0<尢<。时，ru)<o；时，/'(x)>0,・・・/(十)在(0,。)上单调递减，在3yo)上单

调递增，・•・f(x)min=.f(a)=2a-alna,依题意得2o-alnav0,JQ>/,取*/=/,则玉<。，

22

x2>at且/(x)=/(e)=e>0,f(^x2)=f^a^=a-2a\na+a=a(a-2\na-^-1),令

g(a)=a-21na+l,

则g,(fi)=l-j>0,Ag(。)在卜2,+a))上单调递增，

・・・以4)>且(/)=/一3>0,

9

...在(e,a)及(〃述2)上各有一个零点，故a的取值范围是(e2,+00),

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数求函数的零点个数，考查学生分类讨论的能力和计算能力，属于中档题.

“、x2,x<00

12.己知/(x)=〈,若尸(％)+(1一a)/(x)一。=0恰有两个实数根.％,则玉+々的取值范围是

e,x>0

()

A.(―l,+<x))B.(—1,2In2—2]C.(~oo,2-21n2]D.(—00,2In2—2]

【答案】D

【分析】对方程/2(x)+(i—a)/(x)—a=o进行求解得/(x)=a,再求出玉+9=lna-JZ3>D,利

用导数求函数的最大值，即可得答案；

【详解】f2(x)+(\-a)f(x)-a=0,(/(x)+l)(/(x)—a)=0=/(x)=-l或/(x)=a,

x<0

-/f(x)=<5一,/(x)>0,f(x)=-\(舍去)，

e,x>0

-2

Xy=a,1-

/.<=>x]=-\Ja,x2=lna,

e"=a,

玉+x2=h\a-y[a(a>1),

2

:•令t=则y=21nr—r,y=：-1,

y>0=>l<Z<2,y<0=>/>2,

・•・函数y在(1,2)单调递增,在(2,+8)单调递减，

•••Wax=M2)=21n2-2,

r.x,+x2G(-<x>,2In2-2],

故选：D.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值、方程的根，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考

查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于。的函数值域问题.

二、填空题

____।

13.已知函数/(x)=sinx+Jl—J,贝(I]7(力公=_.

-1

10

71

【答案】一

2

11

【详解】J"%）公=siax+Ji-/

ii________i______

而「irudr=（-cosx）lL=0,JJ1一在公表示半圆f+。=i（y之。）的面积,即/，[_%2公=工,则

-1-1-12

111________

dx=卜iuzix+

-]-1

点睛：本题考查微积分基本定理、定积分的几何意义；求定积分的值主要有两种方法:

⑴利用微积分基本定理求解，即找出函数/(X)的原函数尸(处进行求解，即

[hf(x)dx=F(x)t=F(b)-F(a)；

Ja

⑵利用函数的几何意义进行求解，主要涉及五2—炉,62—(X—幻2的定积分，如J：yla2-x2dx表示

y=yja2-x2,即半圆f+炉1=20)的面积.

14.已知函数/(x)=2f—lnx+1,则/(x)的单调减区间为.

【答案】

【分析】先求函数定义域，然后对函数求导，使导函数小于零，求出的解集与定义域求交集就是所求的单调减

区间

【详解】解：函数的定义域为(0,+纥)，

由/(x)=2%2-lnx+1,得/'(x)=4x-，,

令/(x)<0,则4/一1<0，解得一]<x<5，

又因为x〉0,所以0<%<,，

2

所以“X)的单调减区间为(0,,

故答案为：I2J

【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，解题时要注意函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.

15.己知函数/(x)=Y+x—sinx,若/(2》)+/卜2-3)>0,则实数x的取值范围为.

【答案】(―,一3)-(1,+00)

11

【分析】利用导数判断了(X)单调性，结合函数奇偶性，将目标不等式进行等价转化，再求一元二次不等式即可.

【详解】解：因为/(一力=一9一%+5缶1=一/(力，且其定义域为R,故“X)是奇函数：

又/,(x)=3x2+l-cosx>l-cosx>0,故/(x)在/?上单调递增.

故/(2x)+/(f—3)>(),

也即/(2x)>/(3-x2)

故可得2x>3-/，即f+Zx—3>0，

(x+3)(x-l)>0,

解得X«T»,—3)U(1,+°0).

故答案为：(―00,—+8).

16.已知函数/(幻=/+加与函数g(x)=——2])的图象上至少存在一对关于x轴对称的

点，则实数加的取值范围是.

【答案】[2-ln2,2]

【分析】使用等价转化，原问题等价于Zz(x)=/(x)+g(x)=x2+inx—3x+机在；,2有零点，通过〃'(x)

的符号判断函数可力的单调性并计算值域，值域包含0,然后简单计算即可.

【详解】原问题等价于〃(x)=/(x)+g(x)=x2+lnx-3x+加在g,2有零点，

而“(X)=2X+L-3='(2X-1)(X-1),

XX

知力(尤)在单调递减，在(1,2]单调递增，

又〃(1)=〃?-2,A(2)-ln2—2+m,|=-ln2--+m,

⑴4

,c5c3In28-ln?八

In2-2+机一|-In2-----\-m=2In2——=------------->0

I4J44

所以可判断力(2)>/?(；],

因而/z(x)的值域为上〃—2,ln2—2+可，又M")有零点,

由机一2<0Wln2-2+w得帆e[2—ln2,2].

12

故答案为：［2—In2,2］

【点睛】本题主要考查根据函数零点所在区间求参数，考查了等价转化思想的应用，以及对分析能力和计算能

力的考查.，属中档题.

三、解答题

13

17.己知函数/(x)=§d-2x2—4x+4.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当xe［-3,6］时，求函数”X)的最大值和最小值.

4744

【答案】(1)单调递增区间是(一8,—1)和(4,内)，单调递减区间是(一1,4):(2)最大值为工，最小值为一一.

【分析】⑴求得函数y=/(x)的导数/'(x)=f-3x-4,分别解不等式/'(x)>0和/'(x)<0,可分

别得出函数y=/(x)的单调递增区间和单调递减区间；

⑵利用导数求得函数y=/(x)在区间［-3,6］上的极大值和极小值，并与〃一3)、“6)的大小关系，由

此可得出该函数在区间［-3,6］上的最大值和最小值.

1a

【详解】⑴•//(X)=-x3x2-4%+4,/,(X)=X2-3X-4=(X+1)(X-4).

令/'(x)>0得％<—1或x>4；令/"(x)<。得-1<x<4.

所以，函数y=/(x)单调递增区间是(一8,—1)和(4,*»),单调递减区间是(一1,4)；

⑵由⑴可知，当XG［-3,-1)时,当XG(-1,4)时,/'(x)<0；当xe(4,6］时，f'(x)>0.

所以，函数y=/(x)的极大值为/(—1)=卫，极小值为"4)=—竺，

63

1Q

v/(-3)=-y,f(6)=-2,贝！1/(4)<〃-3)<〃6)</(—1),

所以，当元=一1时-，函数y=/(x)有最大值为卫，

当％=4时，函数y=/(x)有最小值为一苦.

【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于基础题.

18.已知函数/⑴二%3一?》.

(1)求函数的极值；

13

(2)若g(x)=/^1+alnx在工+8)上是单调增函数，求实数。的取值范围.

x

【答案】(1)极大值为2;极小值为—2；(2)［-l,+oo)

【分析】(1)求出了'(X),进而求出厂(%)>0,./(%)<0的解，得出/(x)的单调区间，即可求出结论；

(2)求出g'(x),由g'(x)NO在口,内)上恒成立，分离参数转化为“与新函数的最值关系，通过求导求

出新函数的最值，即可求解.

【详解】(1)f'(x)=3x2-3=3(x+l)(x-1),

令/'(x)=。，得x=-l或x=l.

当/'(x)>0时，x<—1或x>l；

当了'(x)<0时，

随》的变化，r(x),/(x)变化如下表所示：

X(-8,—1)-1(-1,1)1(1,同

/'(x)+0—0+

单调递增极大值2单调递减极小值-2单调递增

因此，当尤=—1时，/(x)有极大值，且极大值为2；

当x=l时，“X)有极小值，且极小值为-2.

(2)^(x)——x~H----3+alnx,则g'(x)=2x——H—.

XXX

因为g(无)在U,4w)上是单调增函数，所以g'(x)20在［1,+8)上恒成立,

即不等式2x-4020在［1,4W)上恒成立，

XX

也即。2—2厂在［1,+8)上恒成立.

X

设//(X)=4-2工2,贝=--y-4x.

XX

当X£［l,+8)时，//(x)vO恒成立，

所以〃。)在工+o。)上单调递减，

Wmax=h(y)=~\.

14

所以

即实数。的取值范围为［-1,+8).

【点睛】本题考查函数导数的应用，涉及到函数的单调性、极值最值问题，不等式恒成立与最值关系，分离参

数是解题关键，属于中档题.

19.已知函数/(x)=x-alnx(aeR).

(1)当a=2时，求曲线y=/(x)在点41,/(D)处的切线方程；

(2)讨论函数f(x)的单调区间.

【答案】(1)x+y—2=0(2)当aWO时增区间(0,+8),当a>0时增区间(。,物)，减区间(0,a)

2

【详解】试题分析：(1)当a=2时，/(x)=x-21nx,求得切点为A(l,l),/'(x)=l—求得斜率为

r⑴1故切线方程为丁一1=一3一1)；(2)函数的定义域为(0,+8),/'(x)=l—g=当

时，...x〉。，.../'(幻>。恒成立，函数单调递增，当a〉0时，/W在(0,。)上单调递减，在(a,+8)上单

调递增.

试题解析：

9

(1)：a=2^：.f(x)=x-2lnxf/./(l)=l-21nl=l,即A(l,l)

2

=八1)=1-2=-1,

X

由导数的几何意义可知所求切线的斜率k=/'(I)=-1,

所以所求切线方程为y-l=-(x—l),即x+y—2=0.

(2)r(幻=1一0=",

XX

当aVO时，〈x〉。，.../'(x)>0恒成立，

；•f(x)在定义域(0,+8)上单调递增；

当a>0时，令/'(x)=0,得x=a,

vx>0.f\x)>0,得x>a；/'(x)<。得0cx<a；

/(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

【解析】导数与切线、单调区间.

20.在第六个国家扶贫日到来之际，中共中央总书记、国家主席①、中央军委主席习近平对脱贫攻坚工作作出

重要指示强调，新中国成立70年来，中国共产党坚持全心全意为人民服务的根本宗旨，坚持以人民为中心的发

展思想，带领全国各族人民持续向贫困宣战.某县政府响应号召，实施整治环境吸引外地游客的脱贫

战略，效果显著.某旅行社组织了两个旅游团于近期来到了该县的某风景区.数据显示，近期风景区中每天空气

质量指数近似满足函数/⑺=I*+12InfT-6(4K，422,aeR),其中，为每天的时亥!j.若在凌晨4

点时刻，测得空气质量指数为21.8.

15

(I)求实数"的值;

(n)求近期每天在［4,22］时段空气质量指数最高的时刻f.(参考数值：ln2a0.7)

【答案】(I)600；(II)12时.

【分析】(1)将，=4代入解析式，解关于a的方程，即可得出结论；

(2)求尸”),求出/«)的单调区间，进而求出/Q)极值，即可求解.

【详解】解：(I)由〃4)=21.8得莞+24x0.7—4—6=21.8,

所以。=600；

(II)由/⑺=萼也-+12心-—6

'')产+144

600(144-『)

12T/、600(12+/)1

得/'(，)=+丁=(127)

(『+144)2f

由/'(f)=O得t=12.

列表得

t(4,12)12(12,22)

/⑺+0-

/(0增极大值减

所以函数/(1)在f=12时取极大值也是最大值，

所以近期每天空气质量指数最高的时刻为12时.

【点睛】本题考查函数应用问题，利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于中档题.

21.已知函数/+以2-02工+3,(IER.

(1)若a<0,求函数“X)的单调减区间；

(2)若关于x的不等式2xlnx«/'(x)+a2+l恒成立，求实数a的范围.

(a、

【答案】(1)三，一(2)

(3a)a2-2

【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函的递减区间即可；

3r1/、3工1

(2)问题等价于QN/HX---------在(0,+8)上恒成立，令九(x)=bvc---------,根据函数的单调

22x22x

性求出a的范围即可.

16

【详解】解(1)f(x)=3V+2av--=(3x・a)(A+H)

由『(x)VO且aVO得：一〈六^一。

3

函数/"(x)的单调减区间为(三■，-a]

(2)依题意Xd(0,+8)口寸，不等式(A-)+a?+l恒成立,

3r1

等价于---------在(0,+8)上恒成立.

22x

h(x}=lwc~————

''22x

则〃(力泻+¥-叫”(»。)

当xG(0,1)时，/1(x)>0,h(x)单调递增

当xG(1,+8)时，/](%)<0,h(x)单调递减

当x=\时一，h