2020高中数学 第六章 平面向量初步 .1-已识别

6.1.1向量的概念

国国困瑁

考点学习目标核心素养

理解向量的有关概念及向量

向量的概念数学抽象

的几何表示

共线向量、相等理解共线向量、相等向量的概

数学抽象

向量念

向量与几何的关正确区分向量平行与直线平

直观想象

系行

预习宗，❷②

◎问题导学

预习教材P133-P136的内容，思考以下问题：

1.向量是如何定义的?怎样表示向量？

2.向量的相关概念有哪些？

3.两个向量能比较大小吗？

Q湎知初豆）

1.位移与向量

（1）向量的概念

一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为

矢量）.

向量的大小也称为向量的慢(或长度)；只有大小的量称为标量,

长度、面积等都是标量.

(2)向量的表示方法

①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记

为错误！,此时向量错误!的模用|错误!I表示.除了用始点和终点的两个大

写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时,

通常用加粗的斜体小写字母如N,6,c等来表示向量；在书写时，

用带箭头的小写字母如错误!，错误!，错误!等来表示向量.

②始点和终点相同的向量称为零向量.零向量的模为0.零向

量的方向是不确定.模不为0的向量通常称为非零向量.模等于1

的向量称为单位向量.e是单位向量的充要条件是|e|二l.

■名师点拨

向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.向量是规定

了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段.

2.向量的相等与平行

一般地，把大小相等、方向桓j可的向量称为相等的向量.

如果两个非零向量的方向相同或相反,则称这两个向量平行.因

为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行.两

个向量z和6平行，记作a.//b.两个向量平行也称为两个向量共线.

■名师点拨

共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方

向均相同.

n判断正误（正确的打“，”，错误的打“X”）

（1）零向量没有方向.（）

（2）向量错误!的长度和向量错误!的模相等.（）

（3）单位向量都平行.（）

（4）零向量与任意向量都平行.（）

答案：（1）X（2）V（3）X（4），

@在下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力;⑤风速.其

中可以看成是向量的有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：选B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量.

❸关于零向量，下列说法中错误的是（）

A.零向量是没有方向的

B.零向量的长度为0

C.零向量只与零向量相等

D.零向量的方向是任意的

答案：A

包如图，四边形/8CD是平行四边形，则图中相等的

向量是_________(填序号).

①错误！与错误！；②错误！与错误!;

③错误！与错误！；④错误！与错误！。

答案：①④

探究宗，❽号每⑥解惑•探究•突破♦

探究点豆L

向量的有关概念

m判断下列命题是否正确,请说明理由:

⑴若向量N与6同向，且INI〉IZ>I,贝1]2〉6;

(2)若向量|0=|b\,则a与6的长度相等且方向相同或相反;

(3)对于任意向量|0=|6|,若a与6的方向相同，则a=b;

(4)向量a与向量6平行，则向量a与6方向相同或相反.

【解】(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和

方向，所以两个向量不能比较大小.

(2)不正确.由|a|二|b|只能判断两向量的长度相等，不能

确定它们的方向关系.

(3)正确.因为|z|=|6],且a与b同向，由两向量相等的条

件，可得2=b。

(4)不正确.因为向量n与向量6若有一个是零向量，则其方向

不定.

错误！

(1)理解零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.

②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.

(2)共线向量与平行向量

①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别.

②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同.

③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同.

跟踪训练;给出下列命题:

①若aIIb,bIIQ则a.//c;

②若单位向量的起点相同,则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量错误!与错误!是共线向量，则/,B,C,。四点必在同一直

线上.

其中正确命题的序号是_________.

解析：①错误.若6=0,则①不成立.

②错误.起点相同的单位向量，终点未必相同.

③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意

移动的.

④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并

不要求两个向量错误!，错误!必须在同一直线上.

答案：③

探究点互__________________________

向量的表示及应用

m⑴如图，B,e是线段力。的三等分点，分别以图中各点为

起点和终点，可以写出个向量.

ARCD

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺

和圆规画出下列向量：

①错误!，使|错误！1=4错误!，点/在点。北偏东45°处;

②NX使|错误!I=4,点8在点/正东处；

③错误!，使|错误！|=6,点C在点8北偏东30°处.

【解】(1)可以写出12个向量，分别是：错误!，错误!，错误!，错误!,

错误！,错误!，错误!，错误！,错误!，错误！,错误！,错误!，故填12。

(2)①由于点/在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点/距

点。的横向小方格数与纵向小方格数相等.又I错误!1=4错误!，小方

格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,

于是点/位置可以确定，画出向量如图所示.

C

/

/

/

A/

/

/

/

O东

②由于点8在点/正东处，且|错误！|=4,所以在坐标纸上点8

距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点方位置可

以确定，画出向量错误!如图所示.

③由于点C在点8北偏东30°处，且|错误！|=6,依据勾股定理

可得，在坐标纸上点C距点8的横向小方格数为3,纵向小方格数

为3yl=5。2,于是点C位置可以确定，画出向量错误!如图所示.

错误!

(1)向量的两种表示方法

①几何表示法：先确定向量的起点,再确定向量的方向，最后根

据向量的长度确定向量的终点.

②字母表示法：为了便于运算可用字母处6,C表示，为了联

系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点

表示向量，或口错误！,错误！,错误！等.

(2)两种向量表示方法的作用

①用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用

向量处理几何问题打下了基础.

②用字母表示法表示向量，便于向量的运算.

跟踪训练;某人从/点出发向东走了5米到达8点,然后改变方向

按东北方向走了io错误!米到达e点，到达e点后又改变方向向西走

了10米到达。点.

⑴作出向量错误!，错误!，错误!；

(2)求错误!的模.

解:⑴作出向量错误!,错误!，错误!,如图所示：

(2)由题意得，ABCD是直角三角形，其中

£BDC=90°,8c=10中米，8=10米，所以BD

=10米.△48。是直角三角形，其中//即=90°,/8=5米，BD

=10米，所以/。=<5^4^(10)^=5错误!(米)，所以|错误！|=5错误!米.

探究点印____________________________

相等向量和共线向量

他阿如图所示，。是正六边形/8。石尸的中心，且错误!=2,错误!

=b>错误！=c。

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与z共线的向量有哪些？

(3)请一一列出与冬仇c相等的向量.

【解】(1)与N的长度相等、方向相反的向量有错误!,错误!，错误!，

错误!.

(2)与2共线的向量有错误！,错误！,错误！,错误！,错误！,错误！,错误！,错误！,

错误!.

(3)与2相等的向量有错误!，错误!，错误!；与6相等的向量有错误!，错误!,

错误！；与C相等的向量有错误！，错误!，错误!.

互动探究

1.［变问法］本例条件不变，试写出与向量错误!相等的向量.

解:与向量错误!相等的向量有错误!，错误!，错误!。

2.［变条件，变问法］在本例中，若|0=1,求正六边形的边长.

解：由正六边形性质知，△尸O/为等边三角形，所以边长/尸

=|N|=1。

错误！

相等向量与共线向量的探求方法

(1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的

向量，再确定哪些是同向共线.

(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线

的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量

的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.

跟踪训练;如图所示，四边形与4BDE是平行四边形.

AB

⑴找出与向量错误!共线的向量;

(2)找出与向量错误!相等的向量.

解：(1)依据图形可次口错误！，错误！，错误!与错误!方向相同，错误！，错误！，

错误!，错误!与错误!方向相反，所以与向量错误!共线的向量为错误!，错误!，错误!,

ED,错误!，错误!，错误!.

(2)由四边形/反力与/AD石是平行四边形，知错误!，错误!与错误!

长度相等且方向相同，所以与向量错误!相等的向量为错误!和错误!。

测评案，争偈回国

1.下列结论正确的个数是（）

①温度含零上和零下温度，所以温度是向量;

②向量的模是一个正实数；

③向量z与6不共线，则a与6都是非零向量;

④若|幻〉|6I,则a>b.

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B.①错误.温度是数量不是向量；②错误.零向量的

模为③正确.因为零向量与任意向量共线;④错误.向量不能比

0o

较大小.

2.设。是正方形/方。的中心，则向量错误!，错误!，错误!，错误!是

（）

A.相等的向量B.平行的向量

C.有相同起点的向量D.模相等的向量

解析：选D。由正方形的性质知|错误!|=|错误！|=|错误!|=|错误!

3.在下列判断中，正确的是（

①长度为0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③单位向量的长度都相等；

④单位向量都是同方向向量；

⑤任意向量与零向量都共线.

A.①②③B.②③④

C.①②⑤D.①③⑤

解析:选D。由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故

两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然③⑤正确，④

不正确，故选D。

4.在下列命题中：

①平行向量一定相等；②不相等的向量一■定不平行；③共线向

量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量;

⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.

正确命题的序号是_________

解析：由向量的相关概念可知④⑥正确.

答案:④⑥

强化•培优•通关[A基础

达标]

1.下面几个命题：

(1)若N=6,则|a|=16];

(2)若|n|=0,贝|N=0；

(3)若|=16],则a=b；

(4)若向量a,6满足错误!则a=6。

其中正确命题的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

解析:选B.(1)正确.(2)错误.|a.|=0,则a=0.(3)错误.a.

与6的方向不一定相同.(4)错误.a与6的方向有可能相反.

2.在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，

这些向量的终点形成的轨迹是()

A.单位圆B.一^殳弧

C.线段D.直线

解析:选A.平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.

3.如图，在。。中，向量错误!，错误!，错误!是()

A.有相同起点的向量[]

AC

B.共线向量

C.模相等的向量

D.相等的向量

解析：选C。由圆的性质可知I错误!|=|错误!|=|错误!|.

4.以下命题：①|a|与|6|是否相等与a,b的方向无关；②

两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较

大小，但它们的模能比较大小.其中，正确命题的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

解析:选C.①正确；②错误；终点相同方向不一定相同或相反；

③正确.

5O如图所示，在正三角形/灰7中，P、Q、H分别A

是BC、/C的中点，则与向量PQ,—相等的向量是

BQC

()

A.错误！与错误！

B.错误！与错误！

Co错误！上7错误！

Do错误！与错误!

解析：选B。向量相等要求模相等，方向相同，因此错误!与错误!都

是和错误!相等的向量.

6.下列命题正确的是（）

A.共线向量一定在同一条直线上

B.所有零向量都相等

C.向量a与6共线，6与c共线，则a与c共线

D.平行四边形两对边所表示的向量一定是相等向量

解析：选B。A错误，两个向量的方向相同或相反都是共线向

量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不

一定在同一条直线上，也可能在两条平行直线上.B显然正确.C

错误，注意到零向量与任意向量共线，若6=0,此结论不成立；若

b大0,此结论成立.。错误，平行四边形两对边所表示的向量可能方

向相反.

7.若a为任一非零向量，6为模为1的向量，下列各式：

①|z|>|6|；②allb，•③\a|>0;④|6|=±1.其中正确的是

（填序号）.

解析：①错误.|a\=错误!时,|m<|b\;②错误.n与6的方向

关系无法确定；③正确，④错误.|6|=1.

答案：③

8.在口ABCD中。是两对角线/C,瓦？的交点，设点集S={A,B,

C,D,O},向量集合了={错误!IMNSS},且MN不重合，则集

合了中元素的个数为

解析：S={A,B,GD,O},S中任意两点连成的有向线段

有：错误！,错误！,错误!，错误！；错误！,错误！,错误！,错误！；错误！,错误！,错误！,错误！；

错误！,错误!，错误！,错误！；错误！,错误！,错误!，错误！。由平行四边形的，性质可次口

(以口图所示)，共有8对向量相等，即错误!二错误！，错误!二错误！，错误!=错误！，

错误！=错误！,错误！=错误!，错误！=错误！,错误！=错误！,错误！=错误！,又集合中元

素具有互异性，所以集合了中的元素共有12个.

答案：12

9。O是正方形ABCD^角线的交点，四边形OAED,

OBB都是正方形，在如图所示的向量中：

⑴分别找出与错误!，错误!相等的向量;

(2)找出与错误!共线的向量；

(3)找出与错误!模相等的向量；

(4)向量错误!与错误!是否相等？

解：(1)错误！=错误！,错误！=错误!.

(2)与错误!共线的向量有：错误!，错误!，错误!.

(3)与/。,一模相等的向量有：错误！,错误！,错误！,错误！,错误！,错误!,

错误！。

(4)向量错误!与错误!不相等，因为它们的方向不相同.

iOo如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并一m+T-十屋

I—i■—1T

----4--------1------，-------1------4-------I--------

；।।411।।।

在一起组成，方格纸中有两个定点/,Bo点C为小正士二±1才1

方形的顶点，且I错误！I=错误!。

⑴画出所有的向量错误!；

(2)求|错误!I的最大值与最小值.

解：⑴画出所有的向量错误!，如图所示.

(2)由(1)所画的图知，

①当点e位于点G或G时,

I错误！|取得最4、值错误！=错误！；

②当点e位于点G或G时,

I错误!I取得最大值错误!=错误!。

所以|错误!|的最大值为错误!，最小值为错误!.

[B能力提升]

llo四边形CEFG,都是全等的菱/

形，HE与CG相交于点”则下列关系不一定成立的

AR

是()

A.I错误！I=I错误！I

Bo错误!与错误!共线

C.M与切共线

D.错误!与错误!共线

解析:选C.因为三个四边形都是全等的菱形，所以|错误！|=|错误!

|/4//8//可故错误!与错误!共线.又三点。，O,石共线，所以错误!与

错误!共线，故A,B,D都正确.故选C。

12.若I错误！|二I错误！I且错误!=错误!，贝】J四边形/反力的形状为

()

A.平行四边形B.矩形

C.菱形