高考数学一轮总复习课件：第一章集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语1．1集合的概念与运算最新考纲1.了解集合的含义、集合元素与集合的属于关系．

2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．

3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．

5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

7．能使用Venn图表示集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：________、________、________．(2)集合中元素与集合的关系元素与集合的关系：对于元素a与集合A，或者_____，或者_____．二者必居其一．(3)常见集合的符号表示确定性互异性无序性a∈Aa∉A(4)集合的表示法：______、______、_________．NN*或N+ZQ

R列举法描述法Venn图法【思考探究】集合{∅}是空集吗？它与{0}、∅有什么区别？相同A=BA⊆BB⊇A不是ABA∪BA∩B∁UA{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈

U,且x

∉

A}1．已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为(

)A．{－1}B．{1}C．{－1，1}D．{－1，0，1}2．下列命题中，正确的个数是(

)①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③M＝{(1，2)}与N＝{1，2}表示同一集合；④若M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{x|x＝t2＋1，t∈R}，则M＝N.A．1B．2C．3D．43．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．4．已知集合M＝{x|x=n+

,n∈Z}，N={x|x=

n+1,n∈Z

}

，n∈Z，则集合M与N的关系为________．5．已知集合S＝{3，a}，T＝{x|x2－3x<0，x∈Z}，且S∩T＝{1}，设P＝S∪T，则集合P的真子集的个数是________.答案：1.D2.B3.－3/24.M

N5.7探究点一集合的基本概念(1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝_____．总结反思：(1)掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．(2)用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质．如集合{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．解析：(1)由x－y∈A，及A＝{1，2，3，4，5}得x>y，当y＝1时，x可取2，3，4，5，有4个；当y＝2时，x可取3，4，5，有3个；当y＝3时，x可取4，5，有2个；当y＝4时，x可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．(2)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，得＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.答案：(1)10(个)

(2)2【变式训练】1.(1)已知集合M＝{x|(x2＋1)(x＋a)≤0}，P＝{x|a2－x≤0}，若M∩P的子集的个数为2，则实数a的值是(

)

A．0B．1C．－1D．－1或0(2)对任意两个集合M，N，定义：M－N＝{x|x∈M且x∉N}，设M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则集合M*N＝(M－N)∪(N－M)＝__________.解析：(1)∵a∈R，x∈R，∴M＝{x|x≤－a}．又P＝{x|x≥a2}，且M∩P的子集的个数为2，则M∩P中有且仅有一个元素，即M∩P＝{x|a2≤x≤－a}中有且仅有一个元素，∴a2＝－a，解得a＝0或a＝－1，故正确选项为D.(2)由已知M＝{y|y≥0}，N＝{y|－3≤y≤3}，∴M－N＝{y|y>3}，N－M＝{y|－3≤y<0}，∴M*N＝{y|－3≤y<0或y>3}．答案：(1)D

(2){y|－3≤y<0或y>3}探究点二集合间的基本关系(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可取值组成的集合．(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求由m的可取值组成的集合．总结反思：判断集合与集合的关系，基本方法是归纳并判断元素与集合的关系．对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素及它的属性，可将元素列举出来直观发现或通过元素特征，求同存异，定性分析．要特别注意∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集在解题中的应用．【变式训练】2.已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}．若B⊆A，求实数a的值．探究点三集合的基本运算已知全集为R，集合A＝{t|t使得{x|x2＋2tx－4t－3≥0}＝R}，集合B＝{t|t使得{x|x2＋2tx－2t＝0}≠∅}，其中x，t均为实数．(1)求A∩B和∁R(A∪B)；(2)设m为整数，g(m)＝m2－3，求M＝{(m，g(m))|g(m)∈A∩B}．解析：(1)由{x|x2＋2tx－4t－3≥0}＝R，得Δ＝4t2＋4(4t＋3)≤0，即t2＋4t＋3≤0，∴－3≤t≤－1，即A＝{t|－3≤t≤－1}，又由{x|x2＋2tx－2t＝0}≠∅，∴Δ＝4t2＋8t≥0，即t≤－2或t≥0，即B＝{t|t≤－2或t≥0}，故A∩B＝{t|－3≤t≤－2}，A∪B＝{t|t≤－1或t≥0}，∴∁R(A∪B)＝{t|－1<t<0}．(2)依题意得：－3≤m2－3≤－2，∴0≤m2≤1，又m∈Z，∴m＝0，±1，∴M＝{(0，－3)，(1，－2)，(－1，－2)}．总结反思：在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、Venn图、图象等工具使问题直观化，并运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观、简洁．【变式训练】3.设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．1．集合的概念(1)解题时要注意集合中元素的三个性质的应用，特别是无序性和互异性，要进行解题后的检测，注意符号语言与文字语言之间的相互转化．(2)解题时要注意空集的特殊地位，讨论时要防止遗漏．2．集合的运算(1)两个集合的交、并、补的运算分别与逻辑联结词“且”“或”“非”对应，但不能等同和混淆．(2)五个关系式A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB)＝∅是两两等价的.集合与新定义A，B是非空集合，如果a∈A，b∈B，满足|a－b|∈A∪B，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．如果A＝{2，3，5，9}，B＝{1，3，6，8}，则集合A，B中“基因元”的对数是(

)

A．8B．10C．13D．16解析：因为A＝{2，3，5，9}，B＝{1，3，6，8}，所以2，1；2，3；2，8；3，1；3，6；3，8；5，3；5，6；5，8；9，1；9，3；9，6；9，8都是A，B中的“基因元”，共13对，故选C.思维提升：本题主要考查考生对“基因元”这一新定义以及集合的交集运算等概念的理解和应用，虽然为“新定义”问题，但是解题思路还是常规的，非常符合新课标高考的考查思想．【跟踪体验】1．(2015·东莞模拟)对任意实数x，y，定义运算x⊗y＝ax＋by＋xcy，其中a，b，c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1⊗2＝3，2⊗3＝4，并且有一个非零常数m，使得∀x∈R，都有x⊗m＝x，则3⊗4的值是(

)A．－4B．4C．－3D．32．(2015·淮安模拟)设集合Sn＝{1，2，3，…，n}，若X⊆Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集．则S4的所有奇子集的容量之和为________．1.2.[友情提示]每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时达标1.1”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订！课时作业1.11．2命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1.理解命题的概念．

2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题．其中__________的语句叫真命题，________________________________________________________________________的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的逆否关系(2)四种命题的真假关系判断真假判断为真判断为假①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性______．【思考探究】一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？相同没有关系提示：不是．命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的__________，q是p的__________；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的____________．充分条件必要条件充要条件答案：1．A

2.C

3.A

4.1

5.(1，4)探究点一命题及其关系与命题的真假判定)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解析：(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．总结反思：在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”和“逆否命题”．能判断真假的陈述句称之为命题．因此命题有真有假，判断数学命题的真假需要相关的数学知识和推理方法，同时四种命题间有着下列相应的真假结论：原命题为真，它的逆命题不一定为真，它的否命题也不一定为真，但它的逆否命题一定为真．【变式训练】1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；(2)若x2＋y2＝0，则实数x、y全为零；(3)若3－2x－x2＞0，则x＜－1或x＞3.解析：(1)原命题是假命题；逆命题：两个全等三角形的面积相等，真命题；否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题；逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题．(2)原命题是真命题；逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零，真命题；逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．(3)由3－2x－x2＞0得x2＋2x－3＜0，∴－3＜x＜1，∴原命题是假命题；逆命题：若x＜－1或x＞3，则3－2x－x2＞0，假命题；否命题：若3－2x－x2≤0，则－1≤x≤3，假命题；逆否命题：若－1≤x≤3，则3－2x－x2≤0，假命题．探究点二充分条件与必要条件的判定)指出下列各小题中，p是q的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；(4)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC.解析：(1)∵(x－2)(x－3)＝0⇒/x－2＝0(可能x－3＝0)，但x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵四边形的对角线相等⇒/四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0⇒/(x－1)2＋(y－2)2＝0.∴p是q的充分不必要条件．(4)∵在△ABC中，大边对大角，大角对大边．∴∠A＞∠B⇒BC＞AC，同时，BC＞AC⇒∠A＞∠B，∴p是q的充要条件．总结反思：充分条件、必要条件、充要条件的判定方法(1)定义法①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据推式及定义下结论．(2)等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．【变式训练】2.判断下列各题中p是q的什么条件．(1)p：|x|≥2，q：x2－x－2≥0；(2)p：直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直，q：a＝－1；(3)p：cosA>cosB，q：A<B.探究点三充分条件与必要条件的应用)总结反思：解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．4．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．等价转换思想在充要条件中的应用思维提升：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．【跟踪体验】1．给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是q的(

)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是(

)A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]1.解析：因为p是q的必要而不充分条件，则p是q的充分不必要条件．答案：A2．解析：因为p是q的充分不必要条件，所以p是q的必要不充分条件．由题知p：x>1或x<－3.设A＝{x|x>1或x<－3}，B＝{x|x>a}，则B

A，所以a≥1.答案：A[友情提示]每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时达标1.2”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订！课时作业1.21.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．

2．理解全称量词和存在量词的意义．

3．能正确地对含一个量词的命题进行否定.1．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记做________，读做“________”．(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记做________，读做“________”．(3)对一个命题p全盘否定记做________，读做“非p”或“p的否定”．(4)命题p∧q，p∨q，p的真假判断．“p且q”，有假则_____；“p或q”，有真则_____；“p”，真假_____．p∧q

p且q

p∨q

p或q

﹁p假真相反2．全称量词与存在量词(1)短语____________________在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示．含有全称量词的命题，叫做__________，可用符号简记为__________，它的否定______________．(2)短语______________________在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____”表示．含有存在量词的命题，叫做______．可用符号简记为________，它的否定__________________．“所有的”“任意一个”∀全称命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，﹁p(x)“存在一个”“至少有一个”∃

特称命题∃x∈M，p(x)

∀x∈M，﹁p(x)探究点一含有逻辑联结词的命题的构成与分解及命题的真假判断解析：(1)①p∧q：5是奇数且是12的约数，假命题；p∨q：5是奇数或是12的约数，真命题；

p∶5不是奇数，假命题．②p∧q：相等向量的模相等且方向相同，真命题；p∨q：相等向量的模相等或方向相同，真命题；

p：相等向量的模不相等，假命题．(2)①是p∧q形式的命题，真命题，其中p：正方体的各条棱长相等，q：正方体的对角线互相平分；②是p∨q形式的命题，假命题，其中p：负数的平方小于0，q：负数的平方等于0.总结反思：(1)含有逻辑联结词的命题的构成与分解一个命题可以是不含任何逻辑联结词的简单形式，也可以是含有逻辑联结词的较复杂形式．判断有关命题的真假时，往往需要弄清命题的构成形式，这时不但要看一个命题中是否含有逻辑联结词，更重要的是要看命题的内容结构中是否含有逻辑联结的真正含义．(2)含有逻辑联结词的命题的真假判断①确定命题的构成形式；②判断其中命题p、q的真假；③确定“p∧q”“p∨q”“p”形式命题的真假．【变式训练】

1.下列结论错误的是(

)A．命题“若p则q”与命题“若q则p”同真同假B．命题p：∀x∈[0，1]，ex≥1，命题q：∃x∈R，x2＋x＋1＜0，则p∨q为真C．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题解析：∵A中两个命题互为逆否命题，∴它们同真同假，A正确；B中的命题p是真命题，而q是假命题，∴p∨q也为真命题，B正确；C中原命题是真命题，但它的逆命题“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，即C错误；D中命题是真命题．故选C.答案：C探究点二全(特)称命题的真假判断与否定)总结反思：全(特)称命题的真假判断(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可；(2)要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．全(特)称命题的否定对一个全(特)称命题的否定是全部否定，而不是部分否定．(1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可．(2)要判断“﹁p”的真假，可以直接判断，也可以先判断“p”的真假，再利用“p”与“﹁p”的真假相反判断．【变式训练】2.指出下列命题是全称命题还是特称命题，写出它们的否定形式，并判断真假：(1)每个指数函数都是单调函数；(2)能够被3整除的整数，能够被6整除；(3)存在实数θ使f(x)＝sin(2x＋θ)是偶函数．解析：(1)全称命题，指数函数或是减函数，或是增函数，∴是真命题，它的否定形式是“存在指数函数不是单调函数”，这是一个假命题．(2)全称命题，由于3能被3整除，但不能被6整除，∴是假命题，它的否定形式是“存在能被3整除的整数不能被6整除”，是真命题．(3)特称命题，如θ＝＋2kπ(k∈Z)时，函数f(x)＝sin(2x＋θ)是偶函数，∴是真命题，它的否定形式是“对任意实数θ，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数”，是假命题．探究点三含逻辑联结词命题真假性的应用)已知命题p：关于实数