串讲02圆锥曲线（考点串讲）高二数学下学期期中考点大串讲（2020选修）

串讲02圆锥曲线高二沪教版数学下册期中考点大串讲技巧总结0102040503目

录易错易混典例剖析考点透视考场练兵考点透视考点透视1.求圆的方程

典例剖析2.已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为

求l的方程；2.直线与圆的位置关系(2)求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程.设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.（2）设过点P的圆C的弦的中点为E(x，y)，

则CE⊥PE，所以kCE·kPE＝－1，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.3.已知一个圆的圆心坐标为A(2，1)，且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1，P2两点，若点A到直线P1P2的距离为

求这个圆的方程.解设圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，所以直线P1P2的方程为x＋2y－5＋r2＝0.解得r2＝6.故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝6.3.圆与圆的位置关系4.最值与范围问题

5.圆锥曲线的定义及应用

C(3)已知动点M的坐标满足方程

＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是（

）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对C

∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等.∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.6.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线.

【类题通法】

“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．6.圆锥曲线的性质及应用

AB

7.圆锥曲线中的定值、定点问题【类题通法】

圆锥曲线中的定值、定点问题(1)定值问题的常见类型及解题策略①求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．③求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．(2)定点问题的两种解法①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．8.圆锥曲线中的证明与探索性问题易错易混易错点1忽视椭圆定义中的限制条件易错点2对椭圆的标准方程认识不清易错点3忽视焦点的具体位置致误易错点4求轨迹方程忘记约束条件致误易错点5忽视焦点所在坐标轴致错易错点6忽视隐含条件致误易错点7忽略双曲线方程中含有的字母的正负易错点8忽视斜率不存在的情况致错易错点9忽视定义中定点不在定直线上而致错易错点10抛物线标准方程不确定时，忽略分类讨论而致误1.与圆相关的最值问题与圆相关的最值结论：(1)已知圆C及圆外一定点P，设圆C的半径为r，则圆上点到点P距离的最小值为|PM|＝|PC|－r，最大值为|PN|＝|PC|＋r(即连接PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点)．(2)已知圆C及圆内一定点P，则过点P的最长弦为直径，最短弦为与该直径垂直的弦AB．技巧总结1.与圆相关的最值问题与圆相关的最值结论：(3)如图，已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为|PM|＝d－r，距离的最大值为|PN|＝d＋r(过圆心C作l的垂线，垂足为P，CP与圆C交于点M，其反向延长线交圆C于点N(d为圆心到直线的距离)．(4)如图，已知圆C和圆外的一条直线l，则过直线l上的点作圆的切线，切线长的最小值为|PM|．1.与圆相关的最值问题2.求轨迹方程轨迹的定义：平面上一动点M,按照一定规则运动,形成的曲线叫做动点M的轨迹.轨迹方程的定义：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式.若求“轨迹方程”，只需写出动点坐标x,y满足的关系式，注意x,y的取值范围；若求“轨迹”，则要先求出“轨迹方程”，再说明方程的轨迹图形，注意“补漏”和“去掉多余”的点．步骤：①建：建立平面直角坐标系；②设：求谁的轨迹就设谁的坐标为(x,y);③限：找限制条件，即动点满足的几何关系；④代：将点的坐标代入几何关系式中；⑤化：化简代数式，查漏排余方法：相关点法、直接法、定义法、消参法(建系不同,方程不同)3.求椭圆的标准方程(待定系数法)4.求双曲线的标准方程(待定系数法)5.求抛物线的标准方程求抛物线标准方程的方法：(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n的值．6.求椭圆的焦点三角形的面积7.求双曲线的焦点三角形的面积8.求双曲线的渐进线9.抛物线定义的应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现“点点距”与“点线距”的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．①点在抛物线外：求抛物线上的点P到抛物线外的定点A的距离与到准线的距离d之和的最小值．方法是利用抛物线的定义把d转化为|PF|(F为抛物线的焦点)，即将求|PA|＋d的最小值转化为求|PF|＋|PA|的最小值．利用P，A，F三点共线求最小值．②点在抛物线内：求抛物线上的点P到抛物线内的一定点A的距离与到抛物线焦点F的距离之和的最小值．方法是利用抛物线的定义把|PF|转化为P到准线l的距离d，即将求|PA|＋|PF|的最小值转化为求d＋|PA|的最小值．利用点A到准线的垂线段最短求最小值．10.圆锥曲线的中点弦问题解决椭圆或双曲线的中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．11.圆锥曲线的弦长12.求圆锥曲线的离心率

一．填空题考场练兵

3.已知抛物线的焦点是圆x2+y2-3x-1=0的圆心，则该抛物线的标准方程为

．

4.已知直线x+y-5=0与圆C：x2+y2-4x+2y+m=0相交于A，B两点，且|AB|=4，则实数m=____．

-7

5.已知椭圆Γ经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为Γ的焦点，则Γ的离心率的最小值为

．

4

则a的值为4．故答案为：4．7.省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇．永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥．当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m,当水面下降0.9m时，水面的宽度为____米．___________【解析】解：建系如图，设抛物线方程为x2=ay,__________8则根据题意可知图中A坐标为(3.2，-1.6)，∴3.22=a×(-1.6)，∴a=-6.4，∴抛物线方程为x2=-6.4y,令y=-(1.6+0.9)=-2.5，可得|x|=4，∴水面的宽度为8米．故答案为：8．

【解析】解：法一、设点B在第二象限．如图，连接BF2，AF2．因为以O为圆心，OF2为半径的圆经过点B，所以BF1⊥BF2．不妨设|BF1|=m(m＞0)，则|AF1|=2m.由双曲线的定义可得|BF2|=m+2a,|AF2|=2m+2a.

B二．选择题故选：B．14.圆x2+y2=1与圆(x-2)2+y2=1的位置关系是(____)A.相交B.外切C.外离D.内含

B

【解析】解：根据椭圆的性质可得|B1F1|=|B1F2|=a,|F1F2|=2c,C

【解析】解：依题意知，直线l的斜率存在，设为k,双曲线9x