高一数学平面向量知识点及典型例题解析

②向量减法：同一个图中画出要点:向量加法的“三角形法那么〞与“平行四边形法那么〞〔1〕用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量是始点与向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。〔2〕三角形法那么的特点是“首尾相接〞，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.〔3〕实数与向量的积3．两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。二．【典例解析】题型一：向量及与向量相关的根本概念概念例1判断以下各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)假设(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量假设共起点,那么终点也相同(6)假设，，那么；(7)假设，，那么(8)的充要条件是且；(9)假设四边形ABCD是平行四边形,那么练习.(四川省成都市一诊)在四边形ABCD中，“EQ\o(AB,\s\up5(→))＝2\o(DC,\s\up5(→))〞是“四边形ABCD为梯形〞的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件D、既不充分也不必要条件题型二:考查加法、减法运算及相关运算律例2化简=练习1.以下命题中正确的选项是A．B．C．D．2.化简得A．B．C．D．3．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，那么()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0B.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝0D.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＝0题型三:结合图型考查向量加、减法例3在所在的平面上有一点，满足，那么与的面积之比是()A．B．C．D．例4重心、垂心、外心性质ABCDE练习:1．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，eq\o(CA,\s\up6(→))=3a，eq\o(CB,\s\up6(→))=2b，求eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))．ABCDE2求证3假设为的内心，且满足，那么的形状为〔〕A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形4．O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，那么eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))B．－eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))5．平面上不共线的四点O，A，B，C.假设eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)等于________．6．平面内有一点P及一个△ABC，假设eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，那么()A．点P在△ABC外部B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上D．点P在线段AC上7．在△ABC中，D是AB边上一点，假设eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，那么λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)题型四:三点共线问题例4设是不共线的向量,向量,假设A,B,D三点共线,求k的值例5A、B、C、P为平面内四点，A、B、C三点在一条直线上eq\o(PC,\s\up6(→))=meq\o(PA,\s\up6(→))+neq\o(PB,\s\up6(→))，求证：m+n=1．练习：1．：，那么以下关系一定成立的是〔〕A、A，B，C三点共线B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线D、B，C，D三点共线2．(原创题)设a，b是两个不共线的向量，假设eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，且A，B，D三点共线，那么实数k的值等于________．第2讲平面向量的根本定理与坐标表示一．【要点精讲】1．平面向量的根本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的_单位向量_、作为基底任作一个向量，有且只有一对实数、，使得…………eq\o\ac(○,1)，把叫做向量的〔直角〕坐标，记作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，，，特别提醒：设，那么向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3．平面向量的坐标运算〔1〕假设，，那么=，=〔2〕假设，，那么〔3〕假设和实数，那么4．向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1,y1)，=(x2,y2)其中BCAOMDBCAOMD二．【典例解析】题型一.利用一组基底表示平面内的任一向量[例1]在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.练习:1．假设、是平面上的一组基底，那么以下各组向量中不能作为基底的一组是()A．与—B．3与2C．＋与—D．与22．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，假设eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ、μ∈R，那么λ＋μ＝________.题型二:向量加、减、数乘的坐标运算例3A〔—2,4〕、B〔3,—1〕、C〔—3,—4〕且,,求点M、N的坐标及向量的坐标.练习:1.(2021年高考辽宁卷)四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，那么顶点D的坐标为()A．(2，eq\f(7,2))B．(2，－eq\f(1,2))C．(3,2)D．(1,3)2．假设M(3,-2)N(-5,-1)且,求P点的坐标；3．假设M(3,-2)N(-5,-1)，点P在MN的延长线上，且,求P点的坐标；4.(2021年广东卷文)平面向量a=，b=，那么向量()A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线5．在三角形ABC中，A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))，那么点C的坐标是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4，－2)D．(4,2)6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，假设表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，那么向量d为()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)7．A(7,1)、B(1,4)，直线y＝eq\f(1,2)ax与线段AB交于C，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，那么实数a等于()A．2B．1C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,3)题型三:平行、共线问题例4向量，，假设∥，那么锐角等于〔〕A．B． C．D．例5．〔2021北京卷文〕向量，如果那么 ( )A．且与同向B．且与反向C．且与同向D．且与反向练习：1．假设向量=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同，求x2．点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？假设能，求出相应的t值；假设不能，请说明理由。3．向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，假设u∥v，那么实数k的值为()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．14．向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，假设ma＋nb与a－2b共线，那么eq\f(m,n)等于()A．－eq\f(1,2)B．2C.eq\f(1,2)D．－25．向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，假设点A、B、C能构成三角形，那么实数m应满足的条件是()A．m≠－2B．m≠eq\f(1,2)C．m≠1D．m≠－16．点和〔为坐标原点〕交点的坐标。题型四：平面向量综合问题例6．ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，.假设//，求证：ΔABC为等腰三角形；假设⊥，边长c=2，角C=，求ΔABC的面积.练习点A(－1,2)，B(2,8)以及eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，求点C、D的坐标和eq\o(CD,\s\up6(→))的坐标．第三讲平面向量的数量积及应用一．【要点精讲】〔1〕两个非零向量的夹角非零向量a与a，作＝，＝，那么∠AＯA＝θ〔０≤θ≤π〕叫与的夹角；说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围0≤≤180。CC〔2〕数量积的概念非零向量与，·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积〔或内积〕。规定；向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；〔3〕数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积.注意：⑴只要⊥就有·=0，而不必=或=．⑵由·=·及≠0却不能推出=．得||·||cosθ1=||·||cosθ2及||≠0，只能得到||cosθ1=||cosθ2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图)．⑶(·)≠(·)，向量的数量积是不满足结合律的．⑷对于向量、，有|·|≤||·|∥时成立．〔4〕向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：。②乘法公式成立；；③向量的夹角：cos==。〔5〕两个向量的数量积的坐标运算两个向量，那么·=。〔6〕垂直：如果与的夹角为900那么称与垂直，记作⊥。两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O〔7〕平面内两点间的距离公式设，那么或。(平面内两点间的距离公式).二．【典例解析】题型一：数量积的概念例1．判断以下各命题正确与否：〔1〕；〔2〕；〔3〕假设，那么；〔4〕假设，那么当且仅当时成立；〔5〕对任意向量都成立；题型二.求数量积、求模、求夹角的简单应用例2；题型三：向量垂直、平行的判定例3．向量，，且，那么。例4．，，，按以下条件求实数的值。〔1〕；〔2〕；。例5．：、、是同一平面内的三个向量，其中=〔1，2〕假设||，且，求的坐标；〔2〕假设||=且与垂直，求与的夹角.练习1假设非零向量、满足，证明:2在△ABC中，=(2,3)，=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值3．向量，，假设，那么〔〕A．B．C．D．4.5．知为的三个内角的对边，向量．假设，且，那么角的大小分别为〔〕A． B．C． D．题型四：向量的夹角例6向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，求与的夹角练习1两单位向量与的夹角为，假设，试求与的夹角。2．||=1，||=2，=+，且⊥，那么向量与的夹角为 〔〕 A．30° B．60° C．120° D．150°3．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，那么〈a，b〉＝()A．150°B．120°C．60°D．30°4．向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5)，假设(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，那么a与c的夹角为()A．30°或150°B．60°或120°C．120°D．150°5.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．假设，，，那么的值为〔〕〔A〕4〔B〕3〔C〕2〔D〕1解析：取△ABC为正三角形易得＝3．选B．4.设向量与的夹角为，，，那么．5．在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，那么三角形ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形.6向量与互相垂直，其中．〔1〕求和的值；〔2〕假设，求的值．题型五：求夹角范围例7的方程有实根,那么与的夹角的取值范围是A.[0,]B.C.D.练习1．设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围2．，,如果与的夹角为锐角,那么的取值范围是3．设两个向量、，满足，，、的夹角为60°，假设向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.4．如图，在Rt△ABC中，BC=a，假设长为2a的线段PQ以点A为中点，问ABCABCa〔以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系〕题型六：向量的模例8．向量与的夹角为，那么等于〔〕 A．5B．4C．3D．1练习1平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0),|b|＝1，那么|a＋2b|等于 〔〕A. B.2 C.4 D.122．平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，〔1〕求证：⊥；〔2〕假设，求的取值范围.3．平面向量中，，且，那么向量______.4．||=||=2，与的夹角为600，那么+在上的投影为。5．设向量满足，那么。6．向量的方向相同，且，那么______。7、O，N，P在所在平面内，且，且，那么点O，N，P依次是的 〔)A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心 D.外心重心内心题型七：向量的综合应用例9．向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,1)，在x轴上一点P，使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))有最小值，那么P点的坐标是________．练习1．向量a与向量b的夹角为120°，假设向量c＝a＋b，且a⊥c，那么eq\f(|a|,|b|)的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2\r(3),3)C．2D.eq\r(3)2．圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，那么eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,2)a2B．－eq\f(3,2)a2C.eq\f(\r(3),2)a2D．－eq\f(\r(3),2)a24．(原创题)三角形ABC中AP为BC边上的中线，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2，那么|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.m＝(coseq\f(3A,2)，sineq\f(3A,2))，n＝(coseq\