2023-2024学年山东省菏泽市高一下学期7月期末教学质量检测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省菏泽市高一下学期7月期末教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1−i)z=2+i，则复数z的虚部为(

)A.32 B.−32 C.32.已知向量BC=(2,1)，AB=(0,−1)，则|ACA.2 B.3 C.2 D.3.下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是(

)

A.这10年粮食年产量的极差为15

B.这10年粮食年产量的平均数为31

C.前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差

D.这10年粮食年产量的中位数为294.已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是(

)A.若a⊥c，b⊥c，则a/​/b

B.若a/​/b，a/​/α，则b//α

C.若a/​/α，b//α，c⊥a，且c⊥b，则c⊥α

D.若β⊥α，γ⊥α，且β∩γ=a，则a⊥α5.已知向量|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为45∘，则b在A.22a B.2a 6.某商场开展20周年店庆购物抽奖活动(100%中奖)，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元;若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元;若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为(

)A.536 B.518 C.297.建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅(如图所示)，因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台O1O2，已知该圆台的上、下底面积分别为16πcm2和9πcm2，高超过1cm，该圆台上、下底面圆周上的各个点均在球O的表面上，且球O的表面积为A.80πcm3 B.259π3cm38.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB上的点，CD平分∠ACB，且CD=1，csinA+3acosA.1 B.3 C.2 D.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面向量a=(1,2)，b=(−2,x)，则A.当x=2时，a+b=(−1,4)

B.若a/​/b，则x=−1

C.若a⊥b，则x=1

10.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2;红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则(

)A.A与D相互独立 B.A与B相互独立 C.B与D相互独立 D.A与C相互独立11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱AB上的动点，DF⊥平面DA.FD1=FC B.三棱锥C−DED1的体积为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若虚数3−i是关于x的实系数方程2x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则m=

13.已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2=2a2−2b2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bcos(1)证明：a+b=2c．(2)若a=6，cosC=916，求16.(本小题12分)近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图 ①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．(1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家?(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计(单位：元)，所得频率直方图如图 ②所示．(ⅰ)估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数(求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表);(ⅱ)若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．17.(本小题12分)已知盒中有大小、质地相同的

红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是1(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．(i)写出该试验的样本空间Ω；(ii)设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．18.(本小题12分)

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4.E，F分别在线段BC和AD上，EF/​/AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

(Ⅰ)求证：NC//平面MFD；

(Ⅱ)若EC=3，求证：ND⊥FC；

(Ⅲ)求四面体NFEC体积的最大值．19.(本小题12分)“费马点”是由法国数学家费马提出并征解的一个问题：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120∘时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120∘时，最大内角的顶点为费马点.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B+(1)求A;(2)若bc=2，求PA(3)设|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．

答案解析1.A

【解析】解：∵1−i∴z=2+i则复数z的虚部为322.A

【解析】解：根据题意可得AC=AB+BC=(0,−1)+(2,1)=(2,0)，

故|3.C

【解析】解：A选项，将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，这10年的粮食年产量极差为40−25=15，故A正确；B选项，这10年粮食年产量的平均数为28+28+27+26+33+36+40+37+25+3010=31，故C选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故C错误．D选项，从小到大，选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数，这10年的粮食年产量的中位数为28+302=29，故故选：C．4.D

【解析】解：对于A，若a⊥c，b⊥c，则a、b可能平行，可能异面，可能相交，故A错误；

对于B，若a/​/b，a/​/α，则b/​/α或b⊂α，故B错误；

对于C，以长方体ABCD−A′B′C′D′为例，AB/​/平面A′B′C′D′，CD/​/平面A′B′C′D′，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC与平面A′B′C′D′不垂直，故C错误；

对于D，设α∩β=b，α∩γ=c，

在β内取直线e⊥b，在γ内取直线f⊥c，

由α⊥β，α∩β=b，e⊥b，e⊂β，可得e⊥α，

同理可得f⊥α，故e//f，

又e⊄γ，f⊂γ，故e//γ，

又e⊂β，β∩γ=a，

故e//a，故a⊥α，故D正确．

故选D．5.B

【解析】解：∵|a|=1，|b|=2，，

a与

b的夹角为

45​∘，

∴b6.B

【解析】解：由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，⋯，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种情况，

两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：

 ①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为(1,3)，(3,1)，(1,1)，(3,3)，概率为P1=436=19;

 ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为(6,5)，(6,4)，(6,2)，概率为P2=336=112;

 ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为(5,6)，7.B

【解析】解：由题意作出圆台的轴截面，跟外面的球的截面圆得到等腰梯形与圆外接，且两底在圆心两侧(同侧不满足高超过1cm)

其中O为球心，O1和O2分别为圆台的两个底面圆圆心，

由题意易得O1D=4，O2C=3，OD=OC=5，

由勾股定理可得O1O=3，O2O=4.可得圆台的高ℎ=8.B

【解析】解：

∵csinA+3acosC=0，

∴由正弦定理可得sinCsinA+3sinAcosC=0，

因为sinA≠0，所以sinC+3cosC=0，

可得tanC=sinCcosC= −3，

由0<C<π可得C=

2π3，

∴

∠ACD=

∠BCD=

π3．

∵

S△ACB=

S△ACD+

S△BCD，

∴

12ab

sin2π3=

19.ACD

【解析】解：对于A、当x=2时，b=(−2,2)，则a+b=(−1,4)，故A正确；

对于B、若a/​/b，则1×x=−2×2，则x=−4，故B错误；

对于C、若a⊥b，则a→·b→=−2+2x=0，则x=1，故C正确；

对于D、若a与b的夹角为钝角，则a10.BCD

【解析】解：不放回依次取出两个，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，共12种，事件A=“13,14,23,24,31,41,32,42”；事件B=“12,13,14,21,23,24”；事件C=“12,21,31,41,32,42”；事件D=“12,21,34,43”.事件AD=⌀，事件AB=“13,14,23,24”，事件BD=“12,21,”，事件AC=“31,41,32,42”，则PA=812=PAD=0，PAB=4所以PAD≠PAPDPAB=PAPBPBD=PBPDPAC=PAPC故选：BCD11.ABD

【解析】解：对A选项，易知Rt△DFD1≌Rt△DFC，∴FD1=FC，∴A选项正确；

对B选项，∵△CDE的面积为定值，且D1到平面CDE的距离也为定值，

∴三棱锥C−DED1的体积为定值，∴B选项正确；

对C选项，易知AC/​/A1C1且△A1C1B为等边三角形，

∴BC1与AC所成的角为60°，∴C选项错误．

对D选项，∵AE⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A112.−12

【解析】解：将3−i代入方程2x2+mx+n=0，

可得2(3−i)2+(3−i)m+n=0，

化简可得3m+n+16−(12+m)i=0，

根据复数相等的充要条件可得3m+n+16=012+m=013.2【解析】解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，

则圆锥的母线长为R，

设圆锥的底面半径为r，

则2πr=πR，

即r=R2，

∵r=3，

∴R=2314.π6【解析】解：因为c2=2a2−2b2，

所以由正弦定理得sin2C=2sin2A−2sin2B=2×1−cos2A2−2×1−cos2B2=cos2B−cos2A=cos(B+A+B−A)−cos[B+A−(B−A)]=−2sin(B+A)sin(B−A)，

可得sin2C=−2sinCsin(B−A)，

因为sinC≠0，可得sinC=−2sin(B−A)，

可得sinC=−2sinBcosA+2sinAcosB，

即sin(A+B)=−2sinBcosA+2sinAcosB，

所以sinAcosB+sinBcosA=−2sinBcosA+2sinAcosB，

可得3sinBcosA=sinAcosB，即3bcosA=acosB，

又c2=2a2−2b2>0，

所以a>b，则A>B，

所以B∈(0,π2)15.解：(1)证明：因为b(cos C+1)=c(2−cos B)，整理得sin Bcos C+sin因为A+B+C=π，所以sinA=由正弦定理可得a+b=2c．(2)因为cosC=916，

由余弦定理可得，

c2=a2+则4c因为a=6，所以6+b=2c，

所以36+12b+b则144+4b2−27b=36+12b+b2解得b=4或b=9，当b=4时，a=6，

此时▵ABC的面积

S=1当b=9时，a=6，

此时▵ABC的面积

S=1所以▵ABC的面积为1574【解析】(1)利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可；(2)利用余弦定理及(1)的结论，三角形面积公式计算即可．16.解：(1)小吃类所占百分比为1−30%−15%−10%−5%−5%=35%

应抽取小吃类80×35%=28家，

应抽取生鲜类80×15%=12家，

答：所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家．

(2)(i)根据题意可得(0.002×3+2a+0.006)×50=1，解得a=0.004，

设75百分位数为x，因为(0.002+0.004+0.006)×50=0.6，

(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8，

所以(x−450)×0.004+0.6=0.75，解得x=487.5，

所以75百分位数x应该在450与500之间，

(x−450)×0.004+0.6=0.75，解得487.5，

该直播平台商家平均日利的中位数为487.5元．

平均数为(325×0.002+375×0.004+425×0.006+475×0.004+525×0.002+575×0.002)×50=440，

所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元．

(ⅱ)(500−48050×0.004+0.002+0.002)×50×1000=280

所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为【解析】(1)根据分层抽样的定义计算即可；

(2)(i)根据中位数和平均数的定义计算即可；

(ii)根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可．17.解：(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件

A,B,C

，因为

A,B,C

为两两互斥事件，由已知得

P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=34P(B)+P(C)=12∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是

2,1,1

；(2)(i)由(1)知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，

用1，2表示红球，用

a

表示黄球，用

b

表示蓝球，

m

表示第一次取出的球，

n

表示第二次取出的球，

(m,n)

表示试验的样本点，则样本空间

Ω={(1,1),(1,2),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,a),(2,b),(a,1),(a,2),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,a),(b,b)}

．(ii)由(i)得

n(Ω)=16

，记“取到两个球颜色相同”为事件

M

，“取到两个球颜色不相同”为事件

N

，则

n(M)=6

，所以

P(M)=6所以

P(N)=1−P(M)=1−3因为

58>【解析】(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件

A,B,C

，根据

A,B,C

为两两互斥事件，由

P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=3(2)(i)根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用

a

表示黄球，用

b

表示蓝球，

m

表示第一次取出的球，

n

表示第二次取出的球，

(m,n)

表示试验的样本点，列举出来；(ii)由(i)利用古典概型的概率求解．18.(Ⅰ)证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，

所以MN//EF//CD，MN=EF=CD，

所以四边形MNCD是平行四边形，

所以NC//MD，

因为NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，

所以NC//平面MFD.

(Ⅱ)证明：连接ED，设ED∩FC=O，

因为平面MNEF⊥平面ECDF，平面MNEF∩平面ECDF=EF，且NE⊥EF，NE⊂平面NEFM，

所以NE⊥平面ECDF，

又因为FC⊂平面ECDF，

所以FC⊥NE，

又矩形ECDF中，EC=CD，

所以矩形ECDF为正方形，

所以

FC⊥ED，

又因为FC⊥NE，NE∩ED=E，NE⊂平面NED，ED⊂平面NED，

所以FC⊥平面NED，

又因为ND⊂平面NED，

所以ND⊥FC.

(Ⅲ)解：设NE=x，则EC=4−x，其中0<x<4，

由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC，

所以四面体NFEC的体积为：

VN−FEC=13S△EFC⋅NE=12x(4−x)，

所以VN−FEC≤【解析】(Ⅰ)先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的