2024-2025学年度北师版八上数学-期末复习课六（第七章 平行线的证明）【课件】

总复习期末复习课期末复习课（六）（第七章平行线的证明）数学八年级上册BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS

1.

定义、命题、公理、定理、证明.（1）定义：对一些名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就叫这些名称或术语的定义.（2）命题：判断一件事情的句子叫做命题.正确的命题称为

，不正确的命题称为

.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的

，这种例子称为反例.真命题

假命题

结论

（3）一般地，每个命题都由

和

两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是

，“那么”引出的部分是

⁠.（4）公认的真命题可以称为公理.经过证明的真命题称为定理.演绎推理的过程称为证明.条件

结论

条件

结论

2.

平行线的判定及推论.（1）同位角

，两直线平行；（2）内错角

，两直线平行；（3）同旁内角

，两直线平行；（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；（5）垂直于同一直线的两条直线相互平行.相等

相等

互补

3.

平行线的性质.（1）两直线平行，同位角

⁠；（2）两直线平行，内错角

⁠；（3）两直线平行，同旁内角

⁠.相等

相等

互补

4.

三角形内角和定理与外角的性质.（1）三角形内角和定理：三角形的内角和等于

⁠.（2）三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它

⁠

的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.180°

不相邻

5.

与三角形角平分线有关的几个重要结论.重要结论图形

数学八年级上册BS版02典例讲练

类型一

命题、公理

如图,在△ABC中,已知点D在边AB上,∠ACD＝∠B,

CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在CE上，连接AF.

请从“①AF平分∠BAC，②AF⊥EC”中选择一个作为已知条件，另外一个作为结论，组成真命题，并证明.

情形2：添加条件②.

【点拨】熟练运用角平分线的性质和三角形外角的性质，会证明三角形的全等是解题的关键.

1.

把下列命题写成“如果……那么……”的形式.（1）两个锐角的和是钝角；（2）一个角的补角大于这个角；（3）不相等的角不是对顶角.解：（1）如果两个角都是锐角，那么这两个角的和是钝角.（2）如果∠

A

是∠

B

的补角，那么∠

A

＞∠

B

.

（3）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.2.

判断下列命题是真命题还是假命题.若是假命题，请举一反例加以说明.（1）和为180°的两个角是邻补角；（2）同位角相等；（3）如果a2＝b2，那么a＝b；（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.解：（1）假命题.反例：如图1，∵l1∥l2，∴∠1＋∠2＝180°.但∠1与∠2不是邻补角.

图2图1（2）假命题.反例：如图2，∠1与∠2是同位角，∵l1与l2不平行，∴∠1≠∠2.（3）假命题.反例：如（－3）2＝32，但－3≠3.（4）真命题.类型二

平行线的判定和性质

（1）如图,已知直线a，b都与直线c相交.给出下列条件，其中能判断a∥b的是（

D

）①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°.DA.

①③B.

③④C.

①③④D.

①②③④【解析】①∵∠1＝∠2，∴a∥b.故①正确；②∵∠3＝∠6，∴

a

∥

b

.故②正确；③∵∠4＋∠7＝180°，∠4＝∠6，∴∠6＋∠7＝180°.∴

a

∥

b

.故③正确；④∵∠5＋∠8＝180°，∠5＝∠3，∠8＝∠2，∴∠2＋∠3＝180°.∴

a

∥

b

.故④正确.故选D.

【点拨】对于“三线八角”问题，可利用对顶角相等、同角或等角的补角相等等知识将已知的关系转化为平行线判定的条件，再利用平行线的判定方法判定.（2）如图，已知点D,E,F,G都在△ABC的边上,EF∥

AC,且∠1＋∠2＝180°.①求证：AE∥DG；②若EF平分∠AEB，∠C＝35°，求∠BDG的度数.①证明：∵EF∥AC，∴∠1＝∠

CAE

.

∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＋∠

CAE

＝180°.∴

AE

∥

DG

.

②解：∵EF∥AC，∠C＝35°，∴∠

BEF

＝∠

C

＝35°.∵

EF

平分∠

AEB

，∴∠1＝∠

BEF

＝35°.∴∠

AEB

＝70°.由（1）知，

AE

∥

DG

，∴∠

BDG

＝∠

AEB

＝70°.

1.

如图，已知点E是长方形纸片ABCD的边AB上的一点，沿

CE折叠后交DC于点F，且∠EFD＝76°，则∠ECF的度数是（

B

）A.14°B.38°C.52°D.76°B2.

如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向铺设管道

AD.

由于某些原因，BD段不适宜铺设,需改变方向,由B点沿北偏东23°的方向继续铺设BC段.到达C点后又改变方向,继续铺设CE段.当∠ECB为多少度时,可使所铺管道CE∥AB？试说明理由.此时CE与BC有怎样的位置关系？解：∠ECB＝90°.理由如下：∵分别过A，B两点的指向正北方的线是平行的，∴∠1＝∠A＝67°（两直线平行，同位角相等）.∴∠CBD＝23°＋67°＝90°.当∠ECB＋∠CBD＝180°时，可得CE∥AB（同旁内角互补，两直线平行）.∴∠ECB＝90°.此时CE⊥BC（垂直的定义）.类型三

三角形内角和定理及外角的性质

（1）如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2＝∠3.①求证：∠BAC＝∠DEF；②若∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度数.①证明：在△ACE中，∠DEF＝∠3＋∠CAE.

∵∠1＝∠3，∴∠

DEF

＝∠1＋∠

CAE

＝∠

BAC

，即∠

BAC

＝∠

DEF

.

②解：在△BCF中，∠DFE＝∠2＋∠BCF.

∵∠2＝∠3，∴∠

DFE

＝∠3＋∠

BCF

＝∠

ACB

，即∠

DFE

＝∠

ACB

.又∵∠

ABC

＋∠

BAC

＋∠

ACB

＝180°，∴∠

ABC

＝180°－∠

BAC

－∠

DFE

＝180°－70°－50°＝60°.【点拨】在求角的问题中，常用到三角形内角和定理、三角形外角定理等，要熟练掌握、灵活运用，理清角之间的数量关系.（2）如图，将△ABC的一角沿DE折叠，使点A落在点A'处.若∠A＝50°，则∠1＋∠2＝

⁠.100°

【解析】由题意，得∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，

∴∠ADA'＝2∠ADE，∠AEA'＝2∠AED.

∵∠A＝50°，∴∠

ADE＋∠AED＝180°－∠A＝130°.∵∠1＝180°－∠ADA

'，∠2＝180°－∠AEA‘，∴∠1＋∠2＝180°－∠ADA'＋180°－∠AEA‘＝360°－2∠ADE－2∠AED＝360°－2（∠

ADE＋∠AED）＝360°－2×130°＝360°－260°＝100°.故答案为100°.【点拨】折叠前后的两个三角形全等，利用全等三角形的性质求得角的大小是解决折叠问题的关键.

1.

如图，已知点P是△ABC内一点，且∠BPC＝120°.若∠A

＝50°，BD平分∠ABP，CE平分∠ACP，BD与CE相交于点

F，则∠BFC的度是

⁠.85°

【解析】∵∠A＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝130°.∵∠BPC

＝120°，∴∠PBC＋∠PCB＝180°－∠BPC＝60°.∴∠

ABP＋∠ACP＝130°－60°＝70°.∵BD平分∠ABP，CE平分∠ACP，∴∠FBP＋∠FCP＝35°.∴∠FBC＋∠FCB＝∠

PBC＋∠PCB＋∠FBP＋∠FCP＝60°＋35°=95°.∴∠

BFC＝180°－（∠FBC＋∠FCB）＝180°－95°＝85°.故答案为85°.2.

（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋