沪教版2020必修第三册-第2讲 空间直线与直线间的位置关系（巩固基础+能力提升练习）教师版

第2讲空间直线与直线间的位置关系

（巩固基础+能力提升练习）

【巩固基础】

一、单选题

1.（2020•安徽省肥东县第二中学高二月考（文））若4、6为异面直线，直线4与4平

行，则与的位置关系是（）

A.相交B.异面C.平行D.异面或相交

【答案】D

【分析】根据异面直线所成角判断.

【详解】因为4、4为异面直线，

所以4、6所成的角为锐角或直角，

因为直线4与4平行，

所以4与4所成的角为锐角或直角，

所以4与4的位置关系是异面或相交，

故选：D

2.（2020•浙江高二期中）如图，在长方体ABC。-44GA中，体对角线AG与面对

角线的位置关系一定是（）

A.平行B.相交C.异面D.共面

【答案】C

【分析】根据异面直线的判定定理可得答案.

【详解】因为5DU平面ABCZ）,平面ABCD,AeAC{,A^BD,

所以根据异面直线的判定定理可知&G与5。为异面直线.

故选：C

【点睛】关键点点睛：利用异面直线的判定定判断是解题关键.属于基础题.

3.（2020•南昌市第三中学高二月考（文））如图，在正方体—中，E,F

分别是AA，片6的中点，则与直线少互为异面直线的是（）

A.CGB.BGC.DED.AE

【答案】D

【分析】可以证明选项A,3,C的直线和直线C尸都是共面直线，直线与直线AE互为

异面直线.

【详解】因为直线4a、CGu平面BCCg,Cbu平面BCCg,

所以直线cq、4G与直线共面；

又因为E,尸分别是4〃，耳4的中点，

所以直线C/〃直线OE，所以C尸与OE为共面直线；

因为直线CF与直线AE不同在任意一个平面内，

可得直线CF与直线AE互为异面直线.

故选：D

【点睛】本题主要考查异面直线的定义与判定，考查共面直线的判定，意在考查学生对这

些知识的理解掌握水平.

4.（2020•博兴县第三中学高二月考）如图，点M，N,分别是正方体

ABC。—44G。的棱BC，CG的中点，则异面直线4。和MN所成的角是（)

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】通过平移的方法作出直线用。和所成的角，并求得角的大小.

（详解】依题意点M，N,分别是正方体ABCD-44GA的棱BC,CG的中点,

连接C[D,CBBD,结合正方体的性质可知BDUB\D[,BCJ/MN,

所以/Cd。是异面直线用A和脑V所成的角，

根据正方体的性质可知，AC内。是等边三角形，所以/。避。=60。，

所以直线4。和MV所成的角为60°.

故选：C

【点睛】本小题主要考查线线角的求法，属于基础题.

5.（2020•唐山市第十一中学高二期中）在如图所示的四个正方体中，能得出相，切的是

（）

c

D.

c.1•；III**II

....j—yI）D

HB

【答案】A

【分析】根据正方体的性质判断异面直线的夹角即可知正确选项.

【详解】根据各选项图形知：/中48,必；8中A5和CD的夹角为60。；C中A5和CD

的夹角为45°；〃中AB和CD的夹角为arctan、/5；

故选：A

【点睛】本题考查了利用正方体的性质判断异面直线是否垂直，属于基础题.

6.（2020•赣州市赣县第三中学高二月考（文））分别和两条异面直线平行的两条直线的位

置关系是（）

A.一定平行B.一定异面C.相交或异面D.一定相交

【答案】C

【分析】根据空间两条直线的位置关系分别判断即可

【详解】解：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交，

故选：C

【点睛】此题考查空间异面直线的性质和空间两直线的位置关系的判断，属于基础题

7.（2020•四川泸州市•泸县五中高二月考（理））如图所示，若分别是三棱柱

的顶点或所在棱的中点，则表示直线Ga,上W是异面直线的图形有（）

G

E]MJ1/'[\、N

1।i\।

!1\\1

/11\1

人1、人

J、1、

二_________Lr_________'7

NHHNH

①②。④

A.①②B.③④C.②④D.①③

【答案】c

【分析】根据异面直线的定义即可判断.

【详解】①中，GH//MN,

③中，设GM分别为AC,5C中点，连接GM,

则GM//AB,GM

2

在三棱柱中AB//HN,AB=HN,

所以GMHHN豆GM手HN,故GH,VN必相交,

③

对于②设分别为棱GB,CH中点,

②

GHu平面AHCG,Nw平面0平面AHCG,

所以直线G〃,MN是异面直线;

对于④，同理②可得直线G〃,MN是异面直线.

【点睛】本题考查了异面直线的定义以及异面直线的判定方法，即平面外一点与平面内一

点的连线和平面内不过该点的直线成异面直线，属于基础题.

8.（2020•江西省吉水县第二中学高二期中）如图，在正方体ABC。-4用GR中，E

为AC的中点，则异面直线CE与所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【分析】连接AC,由已知条件可证得3D，平面A41clC,从而可得由此可

得答案

【详解】连接AC,则ACLB。，

因为A&，平面ABC。，在平面ABCD内，

所以A4

因为A4jAAC=A,

所以30,平面A&GC，

因为CE在平面A&GC内，

所以80,CE,

所以异面直线CE与50所成的角为90°,

故选：D

【点睛】此题考查求异面直线所成的角，属于基础题

二、填空题

9.（2019•康保衡水一中联合中学高二期中）在棱长为1的正方体A5CO-4月中,

M和N分别为A片和BBl的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值

【答案】|

【分析】如图，设AB,CG的中点分别为E,F,连接证明为直线

与CN所成角或补角，再利用余弦定理求解.

【详解】如图，设AB,CG的中点分别为E,F,连接用E，4£E£

由题得AMIIqE，耳中|CN,

则NEB7为直线AM与CN所成角或补角.

因为棱长为1,则4E==g式，EF=；瓜

556

—4----------

4442

由余弦定理得cos/殁/=

5

2-

22

2

所以直线AM与QV所成角的余弦值为y.

故答案为：—

【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能

力，属于基础题.

10.（2020•全国高二）如图，在正方体ABC。—4耳中，E,尸依次是AA和

瓦G的中点，则异面直线AE与Cb所成角的余弦值为_.

3

【答案】-

【分析】连AE、BF、EF，利用平行四边形可得成V/AE,可得ZBRC是异面直线

AE与C下所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果.

【详解】在正方体ABCD—AgGA中，连AE、BF、EF,

■.E,歹依次是4。和Be1的中点,

所以AE/ABZ且4E=BXF,所以四边形A.B.FE为平行四边形,

所以EF//4与且EF=A}B],又//AB且[g=AB,

所以EFV/A5且4=A5,所以四边形A3EE为平行四边形,

：.BF//AE,是异面直线AE与C厂所成角（或所成角的补角）,

设正方体ABCD—4片。］。的棱长为2,则BF=CF=-x/4+l=75，

cosNBFC=5+"4厂=-.

2x75xv55

3

异面直线AE与5所成角的余弦值为g.

3

故答案为：—.

【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理，属于基础题.

11.（2020•重庆市第三十七中学校高二期中）在正方体中，异面直线

与5c所成的角大小等于.

【答案】600.

【分析】连接4。，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得/阴。即

为异面直线与耳。所成的角，连接5。后，解三角形地。即可得到异面直线43与

耳。所成的角.

【详解】

DiCi

连接a。，由正方体的几何特征可得：AD//B[C,

则/网。即为异面直线AyB与B.C所成的角或其补角，

连接BD，易得BD—\D—A[B

故NBAQ=60°

故答案为：60°

【点睛】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面

直线夹角的定义判断出/网。即为异面直线43与片。所成的角或者其补角，是解答本

题的关键.

12.（2020•安徽省怀宁县第二中学高二期中（文））已知正方体ABCD-44GA中，E

为CR的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.

【答案】|

3

【详解】连接DE,

设AD=2,易知AD〃BC,

ZDAE就是异面直线AE与BC所成角，

在ARtADE中，由于DE=\后，AD=2,可得AE=3,

AD9

cosZDAE=—=—.

AE3

三、解答题

13.（2020•务川伤佬族苗族自治县汇佳中学高二期中）长方体ABC。-46G。的底面

4BCD是边长为1的正方形，其外接球的表面积为5万.

（1）求该长方体的表面积；

（2）求异面直线与片。所成角的余弦值.

【答案】（1）4百+2；⑵昱.

4

【分析】（1）由外接球的表面积可求出球半径，即长方体体对角线，由此求出长方体的

高，即可求出表面积；

（2）连接A。，AXB,因为所以是异面直线3。与耳。所成的角

或补角，利用余弦定理求出即可.

【详解】解：（1）设外接球的半径为R，则4〃尺2=5不，解得R=亚.

2

设相=%，则犬+12+12=（2氏）2=5,解得彳=百，

所以该长方体的表面积为2、（1'百+1'6+1、1）=46+2.

（2）连接A。，A.B,因为4。//耳。，所以是异面直线应＞与8c所成的角

或补角.

又BD=&.，43=2,4。=2,

所以在AABD中，COS幺DB=22+（&）2J22=也

2x2xV24

即异面直线3。与用C所成角的余弦值为正.

4

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移

直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形.

【能力提升】

一、单选题

1.（2021•浙江高二期末）已知空间三条直线a,b,c.若a_Lc,则（）

A.6与c平行B.6与c异面

C.6与c相交D.6与c平行、异面、相交都有可能

【答案】D

【分析】利用正方体模型进行分析判断

【详解】解：如图在正方体A3CD—4与。1。中，ABLAD,ABLAA,,此时A。与

AA相交；

当A5_LA£>,AB_L5C时，AD//BC；当AB_LAD,A3_LCQ时，AD与CQ异

面，

所以由a_LZ?,a_Lc,可得6与c平行、异面、相交都有可能,

2.（2020•江苏苏州市•高二期中）如图，在正方体中，4片与

所成的角为（）

【答案】B

【分析】连接AR,BR,得出46/2为A片与G3所成的角，即可求解.

【详解】如图，连接A',BR,

因为AB//AG且AB=DjC；,

所以ABC】已为平行四边形，

所以BC1//A。，

C

B

所以ZB/。为AB,与GB所成的角，

jr

因为AAA。为等边三角形，所以N4AD]=§.

故选：B

3.（2021•赣州市赣县第三中学高二开学考试（文））已知棱长为2的正方体

ABC。—44GA中，p，E,F,G分别为CG，CD,»D,A耳的中点，则异

面直线GF与PE所成角的余弦值为（）

A.-B.旦C.史D.亚

3336

【答案】C

【分析】取"G中点H,连接班1则NGEH为异面直线6/与/方所成的角.

【详解】如图所示：

取2G中点X，连接彼，则加V/PE,即NGEH为异面直线G尸与PE所成的角,

V2_V3

可得小/=行，GH=2所以GF=JW，从而得到COS。二

76-T

故选：C

【点晴】方法点晴：求异面直线的夹角，通常把其中一条直线平移到和另外一条直线相交

即得异面直线所成的角.

4.（2021•湖南长沙市•长郡中学高二期末）已知正方体ABC。-A与GA的棱长为1，

直线与直线DG的夹角等于（）

6432

【答案】C

【分析】连接3C1、BD,证明出⑷可得出异面直线A2与直线DG所成的角为

NBCQ,分析ABC。的形状，进而可得出结果.

【详解】如下图所示，连接§G、BD,

在正方体ABCD—7414GR中，AB//CXDXAB—ClDl,

所以，四边形为平行四边形，则BQ〃42，

所以，异面直线与直线DC】所成的角为N3G。，

TT

易知，ABG。为等边三角形，则N3GD=g.

故选：C.

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移

直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是10,,当所作的角为钝角时，应取它的

补角作为两条异面直线所成的角.

5.（2021•福建宁德市•高二期末）在长方体ABC。—A4GR中，AB^BC=1,

A4=G，则异面直线AG与C2所成角的余弦值为（）

A1R也「夜D/

4244

【答案】C

【分析】连接A|6,BCi，将异面直线AQ与C2所成角转化为直线4G与A13所成角

的大小来求解.

【详解】如图所示，连接48,5。，根据长方体的性质可知Cn〃AB,则异面直线

AQ与CD,所成角的大小等于AG与A,B所成角的大小.

在三角形48cl中，A.B=BC,=^1+(A/3)2=2,AQ=拒,

V2

所以cos/网2.

故选：c.

【点睛】用定义法求解异面直线夹角问题时，首先要将所给的直线进行平移，找到两条异

面直线夹角的平面角，然后通过求解三角形的方式求解出答案.

6.（2020•广东佛山市•佛山一中高二月考）若直线。与直线/所成的角相等，则a,

b的位置关系是（）

A.异面B.平行C.相交D.相交、平行、异面

均有可能

【答案】D

【分析】根据题意，以正方体为例，即可找到满足条件的直线。，6与直线/所成的角相

等，则。，〃的位置关系可以为相交、平行、异面.

【详解】解：若allb,显然直线。，6与直线/所成的角相等；

若a,Z?相交，则。，力确定平面a,若直线/_La,

：.l1a,l±b,此时直线。，〃与直线/所成的角相等；

当直线。，〃异面时，同样存在直线/与。，〃都垂直，此时直线。，匕与直线/所成的角

相等；

故选D.

二、填空题

7.（2020•跳南市第一中学高二期中（文））如图所示，正方体ABC。-A4GR中，

E,歹分别是棱BC,CG的中点，则异面直线所与耳。所成的角为.

【答案】600

【分析】先利用平行关系找到为异面直线所和用A所成的角或其补角，再利用

正方体性质求角的大小即可.

【详解】连接,AD,,ABX,则EF为ABC3的中位线，EF//BC,.

又：AB〃CD//G2,.♦.四边形ABC,DX为平行四边形，BCJ/AD,./.EFHAD,.

ZAD.B,为异面直线EF和所成的角或其补角.

正方体ABC。—440。中，易知，AB1=BQ]=AR,

AABJD；为正三角形，；./ARB]=60°.

.•.EE与所成的角为60°.

故答案为：60°.

8.（2020•北京四中高二期中）正方形A5CD与正方形AB跖有公共边A3,平面

4BCD与平面砂所成角为60°,则异面直线A3与FC所成角大小等于

【答案】45°

【分析】由已知条件可得平面A6CD与平面互防所成角即为NC6E,结合正方形的性

质得出△CEF是等腰直角三角形，通过平移得出异面直线A5与FC所成角为NCEE,求

解得出答案.

【详解】•.・面ABCDn面ABEF=AB,且5C,A3,5E,A5,5Cc5E=3,

;.NCBE=60°,筋_1面5。£

连接CE,如图所示,

则比=9=。e=即，

又防//AB,则E尸，面BCE,•:CEu面BCE,:.EF_LCE

即△CEF是等腰直角三角形，ZCFE=45°

则异面直线AB与FC所成角大小等于45°

故答案为：45°

9.（2020•广西南宁市•南宁三中高二月考（文））在正方体ABC。-A4GR中，£为

棱。。的中点，则异面直线AE与所成角的余弦值为.

【答案】叵

5

【分析】根据A3C。—4耳是正方体，易得BCiPAR,则NRAE即为异面直线

AE与BG所成角或其补角，然后在三角形AE2中，利用余弦定理求解.

【详解】因为ABC。-4用£。是正方体,

所以BGPA2,连接A2，*,如下图所示:

DEC

则ZD.AE即为异面直线AE与8。所成角或其补角,

不妨设正方体棱长为2,

在三角形AER中，AE^ylAD2+DE2=A/22+12=A/5-DE=AE=5

AD,=V22+22=2V2.

AD；+AE2—*2屈

所以cos二

ZDrAE~5~

2ADlxAE

（71

又异面直线夹角的范围为0,Q

故异面直线AE与BC］所成角的余弦值为半

故答案为：叵

5

【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法以及余弦定理的应用，还考查了转化化归的

思想和运算求解的能力，属于基础题.

10.（2020•天津二十中高二月考）如图所示，在正方体ABC。—A4G。中，若E为

2a的中点，则直线AG与OE所成角的余弦值为

与IEG

【答案】眄

10

【分析】取A01的中点尸，连接跖，DF,则跖//A]G，则ND石厂为直线与

所成角，设正方体MC。-A4CD的棱长为2],求解三角形，即可得出结果.

【详解】解：如图,

取A[D]的中点p，连接所，DF,

则EE//AC],则NDEF为直线AG与。石所成角，

设正方体ABCD-的棱长为2a,

则跖=gaG=W，DE=DF=J(2a)2+/=耳,

.5ci~+2<?"—5a~A/10

/.cosADEb----广---尸一二-----.

2义42ax<5a10

直线AG与DE所成角的余弦值为叵.

10

故答案为：叵.

10

【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题.

11.（2020•台州市三梅中学高二月考）已知/掰信N44G,AB//AA,则AC与4G的位

置关系是.

【答案】平行、重合、相交或异面

［分析］根据空间中直线之间的位置关系即可判断.

【详解】

根据等角定理可得AC//AG，

根据上图可知，与4G异面.

综上所述，4c与4G的位置关系是平行、重合、相交或异面.

故答案为：平行、重合、相交或异面

【点睛】本题考查了空间中直线与直线的位置关系、等角定理，考查了基本知识的掌握情

况，属于基础题.

三、解答题

12.(2019•山西大同市•大同一中高二月考)已知〃是棱长为a的正方体.

(1)求直线物1与a'所成角；

(2)求直线〃/与物i所成角；

(3)求直线期和4C所成角.

【答案】(1)-(2)-(3)-

432

【分析】(1)由AD//BC得ND42是直线与3c所成角，求出ND42即可得解;

(2)由//。避得ACXB\是直线RA与BA1所成角，求出ZC.BA,即可得解；

(3)证明AC,平面后即可得ACLBD],即可得解.

【详解】

(1)正方体ABC。-44Gq是棱长为。的正方体，

AD//BC,：.ZAD^是直线DAl与BC所成角,

7T

'：AD=AA1,AD±,；.ZAD^=—,

IT

...直线。4与3c所成角为一.

4

(2)•.•4。//。15,.・./。1网是直线。4与84所成角，

7T

•••网=4£=3£,ZQBA=J,

直线与B4]所成角为

(3):四边形ABC