2024北京房山区高二（下）期末数学试题及答案

2024北京房山高二（下）期末数学本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题550分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知数列n}满足n1=2n，且1=1，则3=1（C）−3（D）−8（A）（B）44（2）函数yf(x)的图象如图所示，则=（A）ff=（B）ff（C）ff+（D）ff0（3）如图①、②、③、④分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为r,r,r,r，则1234r,r,r,r中最大的是1234（A）r（B）2（D）41（C）3（4）设等差数列a}的前n项和为S，若a=S5=−10，则S取得最小值时n的值为nnn2（A）4（B）5（C）6（D）4或5（5）要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有第1页/共9页（A）72种（B）120种的系数是（C）96种（C）6（D）60种2（6）在(x+)6的展开式中，x2x（A）15（B）60（D）12421（7）某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为151510则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为813834（A）（B）（C）（D）10（8）为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高cm（单位：.编号1234567891011121314x174176170176173170169170182185172176180178172174168170166168182178173172164165180182父亲身高儿子身高y父亲身高的平均数记为x，儿子身高的平均数记为y，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为y=0.839x+28.957.则下列结论中正确的是（A）y与x正相关，且相关系数为0.839（B）点(x,y)不在回归直线上（C）x每增大一个单位，y增大0.839个单位（D）当x时，=y.所以如果一位父亲的身高为，他儿子长大成人后的身高一定是（9）设随机变量X的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是X123456P1p2p3p4p5p6（A）P(X≥4)=1−P(X≤（B）随机变量X的数学期望E(X)可以等于3.512n1（C）当pn=(n2,3,4,5)时，p==6251（D）数列{p}的通项公式可以为p=(n=2,3,4,5,6)nn+n(n（10）已知数列A：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,，其中第一项是02，接下来的两项是20,1，20,1,22，依此类推.S是数列A的前n项和，若S=2t(tN*)，则n的值可以等于再接下来的三项是nn第2页/共9页（A）16（B）95（C）189（D）330第二部分（非选择题共100分）二、填空题共5小题，每小题525分。（11）若f(x)=x，则f'(4)=____.（12）若（x−4=a+ax+ax2+ax3+ax4，则a=____；a+a=____.01234013（13）为了提高学生的科学素养，某市定期举办中学生科技知识竞赛．某次科技知识竞赛中，需回答20个问题，记分规则是：每答对一题得5分，答错一题扣3分．从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取1名，设其答对的问题数量为X，最后得分为Y分．当XP(X=____.=10时，YPY≥60)=0.7的值为____；若，则（14）设无穷数列n}的通项公式为a=−n2+n+3(2).若a}是单调递减数列，则的一个取值为nn____.−x2ax−−x≤（15）已知函数f(x)=x−(a−2)x+x0.给出下列四个结论：①当a0时，=f(x)在定义域上单调递增；②对任意a0，f(x)存在极值；f(x)存在最值；③对任意a2，④设f(x)有n个零点，则n的取值构成的集合是2,3,其中所有正确结论的序号是____.三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（1612分）已知a}是等差数列，b}是等比数列，且a3,35,11,4.=2===nn（Ⅰ）求a}和b}的通项公式；nn（Ⅱ）设nnn，求数列=+c}n的前项和.nSn（1712分）f(x)=−x3+3x2+9x+a.已知函数（Ⅰ）求函数f(x)的极值点；（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求函数−f(x)在[上的最大值．−（1812分）袋子中有5个大小和质地相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球.（Ⅰ）求第一次摸到白球的概率；第3页/共9页（Ⅱ）求第二次摸到白球的概率；（Ⅲ）求两次摸到的小球颜色不同的概率.（1913分）人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的.为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人软件功能视频创作图像修复语言翻译智绘设计大学生人数40204020假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响.（Ⅰ）从该地区的大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；（Ⅱ）采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从该地区的大学生中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为Y，Y的方差记作DY)X的方差记作D(X)，比较D(X)与DY)的大小.（结论不要求证明）（2013分）1已知函数f(x)=(x−2)ex−ax2+ax(aR).2（Ⅰ）当a0时，求曲线=y=f(x)在x=0处的切线方程；（Ⅱ）当a0时，求函数f(x)的单调区间；（Ⅲ）若对于任意的x[2,+)，有f(x)≥0，求的取值范围a（2113分）若数列n}满足：对任意nN*，都有n+1−a1，则称a}是“Pnn（Ⅰ）若n2n1，=−b=2n1n，判断a}b}P是否是“n，n（Ⅱ）已知n}是等差数列，12，其前项和记为，若=nSa}是“恒成Sn2+2nnPnn立，求公差d的取值范围；an+1n（Ⅲ）已知n}是各项均为正整数的等比数列，1=1，记n=n,n=，若a}是“n}Pn3不是“Pc}是“Pa}的通项公式．nn第4页/共9页参考答案一、选择题共10小题，每小题550分。1B2C3A4D5A6B7D8C9D10B二、填空题共5小题，每小题525分。112）1;−813）20;0.3（11）45（14）=（答案不唯一，(2,3)即可）2（15）②③④三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题12分）的公差为d，等比数列n}是的公比为q（Ⅰ）设等差数列n则d=a−a=2，32所以an=2n−1因为a=b=1，a=b=2711144由b=bq3得q=27，所以q=3341所以n=3n−1a=2n−1b=3n1，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，nnc=a+b=2n−1+n1因此nnn从而数列n的前n项和Sn=1+3+(+−)1−3n−1n12n1n=+=n2+21−32（1712分）f'(x)=−3x2+6x+9=−x2−2x−=x+x−，（Ⅰ）令f'(x)0，得=x=−1或x=3f'(x)，f(x)的情况如下：xf'(x)f(x)(−,−−1(−3+)−+−第5页/共9页所以x=−1是函数f(x)的极小值点；x=3是函数f(x)的极大值点.（Ⅱ）因为f(x)的极小值为，即−f(−=1+3−9+a=−10解得a=−5，又f(2)−=−3，f(2)=17.所以当x2时，=f(x)取得最大值17.（1812分）（Ⅰ）设第一次摸到白球的事件为A则335P(A)=，即第一次摸到白球的概率为.5（Ⅱ）设第二次摸到白球的事件为B，则P(B)=P(BA+BA)=P(）P(B|A)B|A)3423=+=56563535，即第二次摸到白球的概率.C（Ⅲ）设两次摸到的小球颜色不同的事件为，则C=AB+BP(C)=P(AB+B)=P(）P(B|+P(A)B|A)32232=+=56565即两次摸到的小球颜色不同的概率为2.5（1913分）（Ⅰ）设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，则4013P()==12040（Ⅱ）因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为6=2，120所以X的取值范围是2，C22541C268C21(=0)==(=)==(=2)==PX4,PX2,PX2,C2615C2156所以X的分布列为：X0122581P6811023()=++==EX01215151515nM222()=M),则EX==（或X）N63第6页/共9页（Ⅲ）DY)D(X)（2013分）（Ⅰ）当a0时，=f(x)=(x−2)ex，f(0)=2f'(x)=(x−x，f'(0)=所以曲线y=f(x)在x0处的切线方程为x+y+2=0.=（Ⅱ）f(x)(x)exaxa(x)ex=−−+=a−(−)由于a0，解f(x)=0得x=a,x=1，12①当a=1，即ae时，=f(x)≥0()(−,+)，则fx在上单调递增；②当lna1，即0ae时，在区间(−,lna),+)上，f(x)0，在区间(a,1)上，f(x)0，所以f(x)的单调增区间为(−,lna),+)；单调减区间为a,1；()③当a1，即ae时，在区间(−),(a,+)上，f(x)0，在区间1,lna)上，f(x)0，所以f(x)的单调增区间为(−),(a,+)；单调减区间为1,lna)；综上，当0ae时，f(x)的单调增区间为(−,lna),+)，单调减区间为(a,1)；当a=e时，f(x)在(−,+)上单调递增；当ae时，f(x)的单调增区间为(−),(a,+)，单调减区间为1,lna).（Ⅲ）解法一：f(x)=(x−)e−a)，x①当a≤0时，因为x2，所以x−10，ex−a0，所以f(x)0，则f(x)在+)上单调递增，fx≥f20成立.()()=②当0a≤e时，f(x)0，2所以f(x)在+)上单调递增，所以f(x)≥f20成立.()=③当ae时，在区间(2,a)上，f(x)0；在区间(a,+)，f(x)0，2所以f(x)在2,lna上单调递减，a,()(+)上单调递增，所以f(a)f(2)=0，不符合题意.综上所述，a的取值范围是−,e(2.解法二：“对于任意的x)，有f(x)≥0”，等价于1“当x≥2时，(x−)2ex−ax2ax≥0恒成立”.+212即−(−)在2,+)上恒成立.x2xa≤x2ex第7页/共9页当x=2时，0a≤0，所以aR.12（x−2)ex2ex当x2时，x2−0，所以恒成立.xa=≤12xx2−x2(x−)ex2ex设()=gx，则()=gx.xx2因为x2，所以g(x)0，所以g(x)在区间(2,+)上单调递增.所以g(x)g(2)=e2，所以a≤e2.综上所述，a的取值范围是−,e（2113分）.2（Ⅰ）数列an是“Pn不是“P（Ⅱ）因为等差数列n是“Pd1．(−)nn1因为1=2，所以Sn2n=+d，2(−)nn12n+Ndn2+2n对任意的n恒成立，由题意，得*2(−)即n1d6n对任意的nN*恒成立．(−)当n=1时，n1d6n恒成立，故d1；(−)当n≥2时，n1d6n对任意的nN*恒成立，即6nn−1d对任意的nN恒成立，*6nn−16n−1因为=6+6，所以d≤6．所以d的取值范围是6]（Ⅲ）设等比数列a的公比为q，因为a=1，所以a=qn1，n1n因为“P数列”n的每一项均为正整数，由an1−an1得an1an，所以因为且q*，q1an−an=qn1(q−a−an1n1，所以单调递增所以在数列an1−a−a”为最小项，an21b−在数列bb−b=2−1”为最小项．n1n2133P−因为a是“a211，所以q2，naab}不是“Pb−b=2−1≤1q≤4，因为数列，所以