热点10圆(原卷版+解析)

热点10圆命题趋势命题趋势广东中考中对圆这部分的知识，是必考知识点。题型主要有比较全面，可能是选择题，填空题，简答题的相关证明与计算等。对考生考查要求高，考查学生们的推理能力、运算能力，考查空间观念与几何直观，考查化归与转化思想。这几年来均是第22题~24题中的简答形式进行考查，难度较大。2020年中考第24题出现了几何综合题型，2022年中考第22题考查题型难度不大，知识综合强度小，预测今年考查难度会有所提升。热点解读热点解读在备考中，要求考生熟练掌握与圆有关的基础知识，三角函数，三角形相似，解直角三角形，勾股定理，平行性质等知识．纵观近几年的中考试题，主要考查以下两个方面：一是考查圆的切线与角度、平行四边形等证明．二是考查线段长度、角度等计算．满分技巧满分技巧命题热点1：圆的有关概念及性质（1）圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是轴对称图形也是中心对称图形.（2）圆具有对称性和旋转不变性.（3）不共线的三点确定一个圆.（4）圆上各点到圆心的距离都等于半径.（5）圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧.（6）连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.（7）弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

推论：在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等.

命题热点2：*垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

（2）推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

（3）推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.

注意:轴对称性是圆的基本性质,垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的,它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.命题热点3：与圆有关的角及其性质（1）圆心角:顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等.

②半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90°的圆周角所对的弦是圆的直径.

③圆内接四边形的对角互补.

命题热点4：圆周长、弧长计算（1）半径为R的圆周长：C=πd=2πR.

（2）半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l,则l=.

命题热点5：圆、扇形面积计算（1）半径为R的圆面积S=（2）半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇=或S扇=.

命题热点6：圆柱、圆锥的有关计算（1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh,全面积S=2πRh+2πR2(R表示底面圆的半径,h表示圆柱的高).

（2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl,全面积S=πRl+πR2(R表示底面圆的半径,l表示圆锥的母线).

（3）圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR2h.

圆锥的体积=×底面积×高,即V=πR2h.

命题热点7：正多边形与圆（1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.（2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.（3）正多边形的内角和=(n-2)·180°;正多边形的每个内角=

;

正多边形的周长=边长×边数;正多边形的面积=×周长×边心距.命题热点8：点、线与圆的位置关系如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:（1）点在圆外⇔d>r;（2）点在圆上⇔d=r;（3）点在圆内⇔d<r.2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交位置关系相离相切相交图形公共点个数012数量关系d>rd=rd<r3.切线的性质与判定（1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

4.*切线长定理（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.限时检测限时检测1．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于P，若∠A＝30°，∠APD＝60°，则∠B等于（

）A．30° B．40° C．50° D．60°2．如图所示，点在圆上，若，则的度数是（

）A． B． C． D．3．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．4．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接，，，若，则的大小为（

）A． B． C． D．5．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个矩形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上，且．则图中阴影那分的面积（

）A． B． C． D．6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA长为8，则△PEF的周长是_____．7．如图，等边三角形ABC中，AB=4，圆O与三角形内切，则阴影部分的面积为________．8．如图，两个圆都是以点O为圆心，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，，则图中圆环的面积为_________．9．如图，已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，且半径为2，则阴影部分的面积为____．10．如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为______．11．如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A，点E为⊙O上一点，AD＝DE，连接DE并延长，交AB延长线于C．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若AC＝6，∠C＝30°，求线段EC的长．12．如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE．（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．13．如图，⊙O的内接四边形ABED中，∠BAD＝90°，AB＝AE，AD，BE的延长线相交于点C，DF是⊙O的切线．（1）求证：FD＝FC；（2）若EF＝3，DE＝4，求AB的长．14．(2023·广东佛山·一模）如图，在⊙O上有位于直径AB的两侧的定点C和动点P，=2，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂AC线CD，垂足为点D．（1）如图1，求证：△ABC∽△PCD；（2）类比（1）中的情况，当点P运动到什么位置时，△ABC≌△PCD？请在图2中画出△PCD，并说明理由．（3）如图3，当点P运动到某一位置时，有CP⊥AB时，求∠BCD的度数．15．如图，是的直径，点是上一点，点是延长线上一点，，是的弦，．（1）求证：直线是的切线；（2）若，求的半径；（3）若于点，点为上一点，连接，，，请找出，，之间的关系，并证明．中考连接1．(2023·湖南娄底）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（

）A． B． C． D．2．(2023·山东聊城）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（

）A．30° B．25° C．20° D．10°3．(2023·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．4．(2023·湖北宜昌·中考真题）如图，四边形内接于，连接，，，若，则（

）A． B． C． D．5．(2023·广西贺州）如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（

）A． B．2 C． D．6．(2023·黑龙江大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是(

)A． B． C． D．7．(2023·四川遂宁·中考真题）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（

）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm28．(2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．9．(2023·云南·中考真题）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．10．(2023·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________．11．(2023·江苏泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A，B不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．12．(2023·黑龙江哈尔滨）一个扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角是___________度．13．(2023·四川宜宾）如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且．(1)求证：DE是的切线；(2)若点F是OA的中点，，，求EC的长．14．(2023·湖北十堰）如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．15．(2023·四川雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC；(3)若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．16．(2023·四川成都·中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．(1)求证：；(2)若，，求及的长．17．(2023·江苏扬州·中考真题）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长．18．(2023·黑龙江哈尔滨）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，延长交于点F，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．热点10圆命题趋势命题趋势广东中考中对圆这部分的知识，是必考知识点。题型主要有比较全面，可能是选择题，填空题，简答题的相关证明与计算等。对考生考查要求高，考查学生们的推理能力、运算能力，考查空间观念与几何直观，考查化归与转化思想。这几年来均是第22题~24题中的简答形式进行考查，难度较大。2020年中考第24题出现了几何综合题型，2022年中考第22题考查题型难度不大，知识综合强度小，预测今年考查难度会有所提升。热点解读热点解读在备考中，要求考生熟练掌握与圆有关的基础知识，三角函数，三角形相似，解直角三角形，勾股定理，平行性质等知识．纵观近几年的中考试题，主要考查以下两个方面：一是考查圆的切线与角度、平行四边形等证明．二是考查线段长度、角度等计算．满分技巧满分技巧命题热点1：圆的有关概念及性质（1）圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是轴对称图形也是中心对称图形.（2）圆具有对称性和旋转不变性.（3）不共线的三点确定一个圆.（4）圆上各点到圆心的距离都等于半径.（5）圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧.（6）连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.（7）弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

推论：在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等.

命题热点2：*垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

（2）推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

（3）推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.

注意:轴对称性是圆的基本性质,垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的,它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.命题热点3：与圆有关的角及其性质（1）圆心角:顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等.

②半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90°的圆周角所对的弦是圆的直径.

③圆内接四边形的对角互补.

命题热点4：圆周长、弧长计算（1）半径为R的圆周长：C=πd=2πR.

（2）半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l,则l=.

命题热点5：圆、扇形面积计算（1）半径为R的圆面积S=（2）半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇=或S扇=.

命题热点6：圆柱、圆锥的有关计算（1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh,全面积S=2πRh+2πR2(R表示底面圆的半径,h表示圆柱的高).

（2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl,全面积S=πRl+πR2(R表示底面圆的半径,l表示圆锥的母线).

（3）圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR2h.

圆锥的体积=×底面积×高,即V=πR2h.

命题热点7：正多边形与圆（1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.（2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.（3）正多边形的内角和=(n-2)·180°;正多边形的每个内角=

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正多边形的周长=边长×边数;正多边形的面积=×周长×边心距.命题热点8：点、线与圆的位置关系如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:（1）点在圆外⇔d>r;（2）点在圆上⇔d=r;（3）点在圆内⇔d<r.2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交位置关系相离相切相交图形公共点个数012数量关系d>rd=rd<r3.切线的性质与判定（1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

4.*切线长定理（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.限时检测限时检测1．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于P，若∠A＝30°，∠APD＝60°，则∠B等于（

）A．30° B．40° C．50° D．60°答案:A分析：要求∠B的度数，可以求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．【详解】解：∵∠APD是△APC的外角，∴∠APD=∠C+∠A，∵∠A=30°，∠APD=60°，∴∠C=∠APD-∠A=60°-30°=30°，∵∠B和∠C是同弧所对的圆周角，∴∠B=∠C=30°，故A正确．故选：A．2．如图所示，点在圆上，若，则的度数是（

）A． B． C． D．答案:C分析：根据圆周角定理即可求解．【详解】∵点A、B、C在圆上∴又∵∴故选：C3．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．答案:B分析：根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．【详解】解：∵AD是⊙O的切线，∴BA⊥AD，∵∠ADB=58.5°，∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，∵点A是弧EC的中点，∴BA⊥EC，∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，故选：B．4．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接，，，若，则的大小为（

）A． B． C． D．答案:C解析：解：在⊙O中，∠CBD=25°，∴∠CAD=25°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC=2∠CAD=50°，∴∠EBC+∠ECB=（180°-50°）÷2=65°，∴∠BEC=180°-65°=115°．故选：C．5．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个矩形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上，且．则图中阴影那分的面积（

）A． B． C． D．答案:B解析：连接OF，设CD＝x，则DE＝2x∵∠O＝45°，则OD＝x，在RtΔOEF中，由勾股定理得OE2+EF2＝OF2，即，解得x＝±1（舍去负数），∴OD＝1，S阴影＝S扇形AOB﹣S△OCD﹣S矩形CDFE，，．故选B．6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA长为8，则△PEF的周长是_____．答案:16分析：由切线长定理知，AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝12，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．【详解】解：∵PA、PB、EF分别与⊙O相切于点A、B、C，∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝8，∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝16．故答案为：16．7．如图，等边三角形ABC中，AB=4，圆O与三角形内切，则阴影部分的面积为________．答案:分析：首先连接圆心和切点，结合等边三角形的性质可以得到CD=AC=2，OD=DC·tan∠OCD=，进一步求出，，最后利用阴影部分面积=得出结果.【详解】解：设圆O分别与AC和CB的切点为点D和E，连接OD、OE、OC，OC交圆O于点F，∴∠ODC=∠OEC=90°，∴∠OCD=∠OCE=∠DCE=30°，

又∵CD=AC=2，∴OD=DC·tan∠OCD=，∴，同理，∴，,所以阴影部分的面积=，故答案为.8．如图，两个圆都是以点O为圆心，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，，则图中圆环的面积为_________．答案:分析：连接OP，OA，根据切线的性质得到OP⊥AB，根据垂径定理求出AP=5，最后根据圆的面积公式计算即可达到答案.【详解】解：连接OP，OA，∵大圆的弦AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，∴，又AB=10，∴AP=5，在中，，∴，∴圆环的面积为．故答案为．9．如图，已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，且半径为2，则阴影部分的面积为____．答案:分析：由⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆可求得∠AOB，进而求得圆的半径为OA，由扇形的面积公式求得S扇形OAB，由三角形的面积公式求出S△OAB，根据S阴影=S扇形OAB-S△OAB即可求得结果．【详解】解：∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，∴∠AOB=360°÷6=60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴S扇形OAB=，过O作OH⊥AB于H，如下图所示：∴∠AOH=∠AOB=30°，∴AH=AB=，∴OH=，∴S△OAB=AB×OH=，∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=，故答案为：．10．如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为______．答案:分析：如图，过点B作BE⊥CD，交⊙O于E，连接AE，交CD于P，连接BP，OE，根据垂径定理可得CD垂直平分线BE，根据垂直平分线的性质可得BP=PE，可得PA+PB=PA+PE，即可得出AE为AP+BP的最小值，根据∠AOD＝2∠AOB＝60°可得∠BOD=30°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠DOE=∠BOD=30°，可得∠AOE=90°，根据CD为直径可得OA的长，根据等腰直角三角形的性质求出AE的长即可得答案．【详解】如图，过点B作BE⊥CD，交⊙O于E，连接AE，交CD于P，连接BP，OE，∵CD是⊙O的直径，BE⊥CD，∴CD垂直平分线BE，∴BP=PE，∴PA+PB=PA+PE，∴AE为AP+BP的最小值，∵∠AOD＝2∠AOB＝60°，∴∠BOD=30°，∵OB=OE，OD⊥BE，∴∠DOE=∠BOD=30°，∴∠AOE=90°，∴△AOE是等腰直角三角形，∵CD=6，∴OA=CD=3，∴AE==，∴AP+BP的最小值为．故答案为：11．如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A，点E为⊙O上一点，AD＝DE，连接DE并延长，交AB延长线于C．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若AC＝6，∠C＝30°，求线段EC的长．答案:(1)见解析(2)分析：（1）连接，由等腰三角形的性质可得，，进而得到，根据切线的判定即可得出结论；（2）设的半径为，则，根据含角的直角三角形的性质得到，解方程即可求出，在中，根据勾股定理即可求出长．【详解】(1)如图：连接，，是的半径与相切(2)设的半径为，则与相切解得：在中,12．如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE．（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．答案:(1)证明见解析(2)分析：（1）如图，连接，根据等弧对等角，可知，进而可得，，四边形是平行四边形，可证；（2）证明，则，证明，则，求解的值，对计算求解即可．【详解】(1)证明：如图，连接∵D，C为的三等分点∴，∴∵，∴∴∵，∴四边形是平行四边形∴．(2)解：在和中∵∴∴∵∴∴∵，∴∴即解得∴∴的长为．13．如图，⊙O的内接四边形ABED中，∠BAD＝90°，AB＝AE，AD，BE的延长线相交于点C，DF是⊙O的切线．（1）求证：FD＝FC；（2）若EF＝3，DE＝4，求AB的长．答案:(1)见解析(2)分析：（1）连接，根据半圆所对的圆周角是直角得到是的直径，根据切线的性质得到，求得，由等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到，，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，求得，又根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】(1)解：证明：连接，，是的直径，是的切线，，，，，，，，，，；(2)解：，，在中，，，，在中，，，，，，，，，，，，，．14．(2023·广东佛山·一模）如图，在⊙O上有位于直径AB的两侧的定点C和动点P，=2，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂AC线CD，垂足为点D．（1）如图1，求证：△ABC∽△PCD；（2）类比（1）中的情况，当点P运动到什么位置时，△ABC≌△PCD？请在图2中画出△PCD，并说明理由．（3）如图3，当点P运动到某一位置时，有CP⊥AB时，求∠BCD的度数．答案:(1)见解析(2)当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，画图见解析(3)30°解析：分析：（1）由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC．（2）同（1）证∠D=∠ACB，∠A=∠P，即可得到答案．（3）由∠ACB=90°，，可求得∠ABC的度数，然后利用相似，即可得∠PCD的度数，又由垂径定理，求得，然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数，从而求得答案．【详解】(1)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵PD⊥CD，∴∠D=90°．∴∠D=∠ACB．∵∠A与∠P是所对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC．(2)当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC．理由如下：∵AB，PC是⊙O的半径，∴AB=PC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵PD⊥CD，∴∠D=90°．∴∠D=∠ACB．∵∠A与∠P是所对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△ABC≌△PCD（AAS）画图如下：(3)解：∵∠ACB=90°，，∴∴∠ABC=30°．∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°．∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，∴．∴∠ACP=∠ABC=30°．∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．15．如图，是的直径，点是上一点，点是延长线上一点，，是的弦，．（1）求证：直线是的切线；（2）若，求的半径；（3）若于点，点为上一点，连接，，，请找出，，之间的关系，并证明．答案:（1）见解析；（2）3；（3），理由见解析解析：分析：（1）先求出∠BAD＝120°，再求出∠OAB，进而得出∠OAD＝90°，即可得出结论；（2）先判断出△AOC是等边三角形，得出AC＝OC，再判断出AC＝CD，即可得出结论；（3）先判断出∠CAP＝∠CEM，进而得出△ACP≌△ECM（SAS），进而得出CM＝CP，∠APC＝∠M＝30°，再判断出，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，连接，，，，，，，，，点在上，∴直线是的切线；（2）解：如图1，连接，由（1）知，，，，是等边三角形，，，，，，即的半径为3；（3），理由：如图，，，连接，延长至，使，连接，，为的直径，，四边形是的内接四边形，，，，，过点作于，，在中，，，，，，，即．中考连接1．(2023·湖南娄底）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（

）A． B． C． D．答案:A分析：由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据勾股定理，得出AD=，同时在Rt△BOD中，OD=，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案．【详解】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，在等边三角形ABC中AD⊥BC，OB平分∠ABC，∴∠OBD=∠ABC=30°，由勾股定理，得AD=，在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=，∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比为．故选：A．2．(2023·山东聊城）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（

）A．30° B．25° C．20° D．10°答案:C分析：如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度数20°．故选：C．3．(2023·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．答案:B分析：阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D，∵∠AOB=2×=60°，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，∴OD=，∴阴影部分的面积为，故选：B．4．(2023·湖北宜昌·中考真题）如图，四边形内接于，连接，，，若，则（

）A． B． C． D．答案:B分析：根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可．【详解】∵四边形内接于，∴，由圆周角定理得，，∵∴故选：B．5．(2023·广西贺州）如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（

）A． B．2 C． D．答案:C分析：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，利用阴影部分面积列出等式，得出，然后由勾股定理求解即可．【详解】解：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，∴，解得：，∴，故选：C．6．(2023·黑龙江大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是(

)A． B． C． D．答案:B分析：根据圆锥侧面展开图的面积，计算求解即可．【详解】解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为，∴圆锥侧面展开图的面积为，故选B．7．(2023·四川遂宁·中考真题）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（

）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2答案:C分析：先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积．【详解】解：在中，cm，∴它侧面展开图的面积是cm2．故选：C8．(2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．答案:30°##30度分析：根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．【详解】∵OC⊥AB，OD为直径，∴，∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=∠AOD=30°，故答案为：30°．9．(2023·云南·中考真题）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．答案:分析：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，，进行解答即可得．【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，故答案为：．10．(2023·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________．答案:或分析：根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．【详解】解：连接OA，①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，设圆的半径=r，∴OA=r，OC=4-r，∵AC=4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，解得：r=，即AD=AO=；②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，∵AO•AC=OC•AD，∴AD=，∵AO=，AC=2，OC=4-r=，∴AD=，综上所述，AD的长为或，故答案为：或．11．(2023·江苏泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A，B不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．答案:32分析：连接OA，根据切线的性质和直角三角形的性质求出∠O=64°．再根据圆周角的定理，求解即可．【详解】解：连接OA，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO=90°，∴∠O=90°-∠P，∵∠P=26°，∴∠O=64°，∴∠C=∠O=32°．故答案为：32．12．(2023·黑龙江哈尔滨）一个扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角是___________度．答案:70分析：设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．【详解】解：设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式得：

解得n=70．故答案是：．13．(2023·四川宜宾）如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且．(1)求证：DE是的切线；(2)若点F是OA的中点，，，求EC的长．答案:(1)见解析(2)分析：（1）连结OC，利用等腰三角形的性质和圆周角定理证，即可由切线的判定定理得出结论；（2）解，求出，从而求得，则可求得，再证，得，即可求得，即可由求解．(1)证明：如图，连结OC，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴DE是的切线；(2)解：在中，，，∴，∴，∴，∴，又∵点F为AO中点，

∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．14．(2023·湖北十堰）如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．答案:(1)见解析(2)分析：（1）连接，设，，根据已知条件以及直径所对的圆周角相等，证明，进而求得，即可证明是的切线；（2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形是正方形，进而求得的长，根据，，即可求解．(1)如图，连接，，则，设，，，，为的直径，，，即，，，，，，，，为的半径，是的切线；(2)如图，连接，是的切线，则，又，四边形是矩形，，四边形是正方形，，在中，，，，，由（1）可得，，，，解得．15