宁夏银川市2024-2025学年高三数学上学期第一次月考理试题含解析

Page16宁夏银川市2024-2025学年高三数学上学期第一次月考（理）试题分值：150分时间：120分钟命题人：一、单选题（每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】依据并集运算即可求解.【详解】解：因为集合，，所以.故选：B.2.已知向量，，，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，依据坐标运算可知充分性成立；当时，由向量平行坐标表示可求得，知必要性成立，由此可得结论.【详解】当时，，，，，充分性成立；，则当时，，解得：，必要性成立；综上所述：“”是“”的充要条件.故选：A.3.已知命题p：，；命题q：，，则（）A.是假命题 B.是真命题C.是真命题 D.是真命题【答案】D【解析】【分析】先分别推断命题、的真假，再利用逻辑联结词“或”与“且”推断命题的真假.【详解】由题意，推断得命题为真命题，命题为假命题，所以是假命题，为真命题，所以是真命题，是假命题，是假命题，是真命题.故选：D4.在极坐标系中，点与之间的距离为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过点与的极坐标，可以发觉两点在极点为圆心，3为半径的圆上，求出的大小，最终求出的大小．【详解】点与的极径相等，所以两点在以极点为圆心，3为半径的圆上，通过极角，可知,由勾股定理，可得,故本题选D.【点睛】本题考查了极坐标下，求两点间的距离．5.已知向量满意，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利用数量积公式可求得.【详解】，，又，，，设与的夹角为，，从而，所以与的夹角.故选：C6.在极坐标系中，点到直线的距离为A.1 B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】把点的坐标与极坐标方程分别化为直角坐标及其方程，利用点到直线的距离公式即可得出．【详解】点P（2，）化为：P，即P．直线ρ（cosθsinθ）＝6化为直角坐标方程：xy﹣6＝0，∴点P到直线的距离d1．故选A．【点睛】本题考查了极坐标方程分别化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．7.曲线在处的切线方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程【详解】，则，当时，，，所以切线方程为，即．故选：D．8.2024年5月30日早晨5时01分，天舟二号货运飞船在胜利放射约8小时后，与中国空间站天和核心舱完成自主快速交接．假如下次执行空间站的任务由3名航天员担当，须要在3名女性航天员和3名男性航天员中选择，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对立事务和古典概型的概率公式求解即可.【详解】设“选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员”为事务M，则.故选：B.9.已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则△面积的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题设可得，设结合点线距离公式得，依据三角函数的性质求，再利用三角形面积公式求△面积的最大值．【详解】由题意，椭圆C方程为：，与x正半轴交于，与y正半轴的交于，所以，由是椭圆上任一个动点，设且[0,2π]，所以到直线的距离为=，由此可得：当时，，所以△面积的最大值为.故选：B10.在平行四边形中，点、分别满意，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可.【详解】解：因为在平行四边形中，点、分别满意，，所以，，所以．故选：A11.已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据条件可建立直角坐标系，写出点的坐标，依据点坐标得向量坐标，进而依据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以点为圆心，以分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，，，圆的半径为，设，，，，当时，取最小值，当时取最大值4故选：C12.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数推断函数单调性，从而即可比较大小.【详解】解：构造函数，因为，所以当时，，所以函数在上单调递增，因为，所以，即，所以，故选：D.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量，，则_______.【答案】【解析】【分析】干脆应用向量的坐标运算公式求模.【详解】由题，所以.故答案为：.14.若命题“，”是假命题，则实数范围是___________.【答案】【解析】【分析】命题“，”的否定为“，”，原命题为假命题，则命题的否定为真，由，可求出实数的范围.【详解】命题“，”是假命题，命题“，”是真命题，实数的范围是故答案为：15.已知直线的参数方程为（为参数），且它与抛物线相交于两点，且线段的中点为，则点的坐标为_______________.【答案】【解析】【分析】本题首先可以将直线的参数方程转化为，然后联立直线方程与抛物线方程，得出以及，最终通过线段的中点为即可得出结果.【详解】设，，，因为直线的参数方程为，所以，，直线的直角坐标系方程为，联立直线方程与抛物线方程，得，化简得，，因为线段的中点为，所以，代入直线方程中得，故点的坐标为.【点睛】本题考查参数方程与直角坐标系方程之间的转化，考查直线与抛物线相交的相关运算，考查线段中点的相关性质，考查计算实力，考查化归与转化思想，是中档题.16.已知可导函数的定义域为，满意，且，则不等式的解集是________．【答案】【解析】【分析】构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解．【详解】设，则，因为，，所以，可得在上单调递减，不等式，即，即，所以，因为在上单调递减，所以，又因为，所以不等式的解集为：，故答案为：．三、解答题（共70分）17.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的一般方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，且点，求的值.【答案】（1）曲线；直线（2）【解析】【分析】（1）消去参数t即可得C的一般方程，并用极坐标与直角坐标互化即可得直线的一般方程；（2）写出直线l参数方程的标准形式，再与C的一般方程联立，借助参数的几何意义得解.【小问1详解】曲线C的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为，可得；直线l的极坐标方程为，转化为直角坐标方程为；【小问2详解】把直线l的方程换成参数方程，得（t为参数），代入.得，∴，明显异号.由，∴.18.在直角坐标系中，曲线：经过伸缩变换后得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：．（1）写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小并求出最小值．【答案】（1）（为参数）；；（2）最小值，．【解析】【分析】（1）依据伸缩变换的公式，结合两角和的正弦公式、直角坐标方程与极坐标方程互化公式进行求解，（2）依据参数方程，利用点到直线距离公式，结合协助角公式进行求解【小问1详解】由题意，曲线的参数方程为，经过伸缩变换后，曲线的参数方程为，由得：，化为直角坐标方程为，所以，曲线的参数方程为，直线的直角坐标方程为．【小问2详解】设，点到直线的距离为，（其中，，），当时，即，时，点到直线的距离取到最小值，此时，，，，，所以，点的坐标为．19.现有4个人去参与某消遣活动，该活动有甲、乙两个嬉戏可供参与者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地匀称的骰子确定自己去参与哪个嬉戏，掷出点数为1或2的人去参与甲嬉戏，掷出点数大于2的人去参与乙嬉戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参与甲嬉戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率；（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参与甲、乙嬉戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】解：依题意，这4个人中，每个人去参与甲嬉戏的概率为，去参与乙嬉戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参与甲嬉戏”为事务(i＝0,1,2,3,4)，则（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参与甲嬉戏的概率（Ⅱ）设“这4个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数”为事务B，则，由于与互斥，故所以，这4个人去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率为（Ⅲ）ξ的全部可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故，．所以ξ的分布列是ξ024P随机变量ξ的数学期望考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事务的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列．20.在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）若射线与曲线，的公共点分别为A，B，求的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依据直角坐标与极坐标的转化公式可得，消参得的一般方程，再转化为极坐标方程即可；（2）依据极径意义，问题转化为，代入，，利用三角函数求最值即可.【小问1详解】曲线的极坐标方程为，曲线的一般方程为，所以曲线的极坐标方程为.【小问2详解】设，，因为A，B是射线与曲线，的公共点，所以不妨设，则，，所以，所以当时，取得最大值.21.某校为了提升学生的科学素养、本学期初起先动员学生利用课外时间阅读科普读物、为了了解学生平均每周课外阅读科普读物所花的时间、学期末该校通过简洁随机抽样的方法收集了20名学生平均每周课外阅读的时间（分钟）的数据、得到如表统计表（设表示阅读时间，单位：分钟）组别时间分组频数男生人数女生人数121121046343142115220（1）完成下面的列联表、并回答能有90%的把认为“平均每周至少阅读120分钟与性别有关”？平均每周阅读时间不少于120分钟平均每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：．0.1500.1000.0500.0100.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828（2）为了选出1名选手代表学校参与全市中小学生科普学问竞赛，学校组织了考组对选手人选进行考核，经过层层筛选，甲、乙两名学生成为进入最终阶段的备选选手．考核组设计了最终确定人选的方案：请甲、乙两名学生从6道试题中随机抽取3道试题作答，已知这6道试题中，甲可正确回答其中的4道题目，而乙能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两名学生对每题的回答都是相互独立，互不影响的．若从数学期望和方差的角度进行分析，请问：甲、乙中哪位学生最终入选的可能性更大？【答案】（1）分布列见解析，没有；（2）甲学生入选的可能性更大.【解析】【分析】（1）依据频数分布表中数据填写列联表即可求解，再由列联表计算出观测值，利用独立性检验的基本思想即可求解.（2）甲学生正确作答的题数为听从超几何分布，乙学生正确作答的题数为听从二项分布，分别算出随机变量的数学期望、方差，比较期望与方差即可得出结果.【详解】解：（1）由频数分布表，可推得列联表：平均每周阅读时间不少于120分钟平均每周阅读时间少于120分钟合计男3811女189合计41620∵，∴没有90%的把握认为“平均每周至少阅读120分钟与性别有关”．（2）设甲学生正确作答的题数为，则的取值分别为1，2，3，，，，故的分布列为：123∴，，设乙学生正确作答的题数为，则，，∵，，∴甲学生入选可能性更大．22.已知函数，（1）若，求的极值；（2）探讨的单调区间；（3）求证：当时，.【答案】（1）微小值为，无极大值（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，依据正负可确定单调性，由此可得极值；（2）求导后，分别在和的状况下，依据正负可得单调性；（3）构造函数，求导后令，利用导数可求得单调性，从而得到恒成立，由此可得单调递减，进而由推导得到结论.【小问1详解】当时，，则其定义域为，；当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；的微小值为，无极大值.【小问