2025版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组2.6函数与方程及函数的综合应用

.6函数与方程及函数的综合应用考点一函数的零点1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)=2-|x|,A.2B.3C.4D.5答案A由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=|x由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.2.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)=6x-log2A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)答案C∵f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=64-log24=33.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()A.-14C.14,答案C明显f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=ex与y=3-4x的图象,由图象知函数f(x)=ex+4x-3的零点肯定落在区间0,34内,又f14=4e-2<0,f评析本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的实力,属中等难度试题.4.(2011课标理,12,5分)函数y=11-x的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象A.2B.4C.6D.8答案D函数y=11-x=易知y=11-x与y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象共有8个交点,不妨设其横坐标为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8,由对称性得x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2,∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x5.(2011课标文,12,5分)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有()A.10个B.9个C.8个D.1个答案A在同一平面直角坐标系中分别作出f(x)和y=|lgx|的图象,如图.又lg10=1,由图象知选A.评析本题考查函数的图象、周期等相关学问,考查学生作图、用图实力,体现了数形结合思想.6.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,答案1解析∵函数f(x)在R上单调递减,∴-4a-32≥0,0<a<1方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2-x3的图象恰有两个交点,则需满意3a<2,得a<23,综上可知,1易错警示(1)f(x)在R上单调递减,需满意-4a-3(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用的方法.评析本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为两个函数图象交点个数的问题是求解这类问题的常用方法.7.(2015湖北文,13,5分)函数f(x)=2sinxsinx+π2-x2答案2解析f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin2x与y2=x2的图象如图所示:由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.考点二函数模型及应用1.(2024课标Ⅱ文,3,5分)如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12,设1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,则称ai,aj,ak为原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,则称ai,aj,ak为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A.5B.8C.10D.15答案C依据已知条件可知原位大三和弦有a1,a5,a8;a2,a6,a9;a3,a7,a10;a4,a8,a11;a5,a9,a12,共5个.原位小三和弦有a1,a4,a8;a2,a5,a9;a3,a6,a10;a4,a7,a11;a5,a8,a12,共5个,所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10,故选C.2.(2016四川,5,5分)某公司为激励创新,安排逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金起先超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)()A.2024年B.2024年C.2024年D.2024年答案B设x年后研发资金超过200万元,则130(1+12%)x>200⇒1.12x>2013⇒xlg1.12>lg2013⇒0.05x>0.19⇒x>3.8,故该公司全年投入的研发资金起先超过200万元的年份是3.(2011湖北文,15,5分)里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.

答