考点17 点、直线、平面之间的位置关系（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）

考点17点、直线、平面之间的位置关系(核心考点讲与练)

一、空间中的平行关系

1.平行直线

(1)平行公理

过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.

(2)基本性质4(空间平行线的传递性)

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(3)定理

如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.

2.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线/与平面a没有公共点，则称直线/与平面。平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

平面外一条直线与此

a______

平面内的一条直线平阂Q,Zxza,

判定定理

行，则该直线平行于此a//b=^a//a

平面

一条直线和一个平面

平行，则过这条直线的a//a,auB,

性质定理

任一平面与此平面的aAB=b

交线与该直线平行

3.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

一个平面内的两条粗

aua,Zxza,adb=P,

判定定理交直线与另一个平面

all万，6〃£=。〃尸

平行，则这两个平面z^7

平行

两个平面平行，则其/X7

中一个平面内的直线4〃£,au£

平行于另一个平面//

性质定理如果两个平行平面同

时和第三个平面相。〃£,czny=a,

交，那么它们的交线£Ay=b=^a//b

平行

二、空间中的垂直关系

1.直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的定义

如果一条直线和一个平面相交于点0,并且和这个平面内过交点(。)的任何直线都垂直，就

说这条直线和这个平面互相垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论

文字语言图形语言符号语言

auQ、

Zxza

如果一条直线与平面内的两条1

“Gb=O>

判定定理相交直线垂直,则这条直线与

ILa

这个平面垂直7

ILb>

=/_La

如果在两条平行直线中，有一b

a//b\

推论1条垂直于平面，那么另一条直

-J,0)=b_La

线也垂直于这个平面

如果两条直线垂直于同一个平a-La卜己〃b

推论2

面，那么这两条直线平行6_La

2.直线和平面所成的角

(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直

于平面，则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°

的角.

(2)范围：.

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂

直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围：[0,n].

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线

互相垂直,就称这两个平面互相垂直.

(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面过另一个平面的

八一

判定定理一条垂线,则这两个平面互相垂

直Ah

如果两个平面互相垂直，那么在

>

性质定理一个平面内垂直于它们交线的Jan8=a

直线垂直于另一个平面A

=>7±a

1.异面直线的判定方法

定义法

过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不

定理法经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定

理使用)

凑被强两弟直所示是鼻面直缓,即两面及单行

反证法或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理,

:导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面

2.求异面直线所成的角的三步曲

GE）。!即依据定义作平行线'作出异面直线所成的角i

［即证明至出的角是异面直线所成的角〜-〜'：

,一~^x序三索弦:翥值很值而募五星茶融而加具薪始

（［三求或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝：

［角，则它的补角才是要求的角!

3.线面平行的证明方法

（1）定义法：一般用反证法；

（2）判定定理法：关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号

语言叙述证明过程；

（3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.

4.构造平行直线的常用方法

（I）构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平

行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线；

（2）构建平行四边形:可以利用已知的平行关系（如梯形的上下底边平行）或构建平行关系（如

构造两条直线同时平行于已知直线），从而构建平行四边形.

应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已

知直线平行，还可以利用交线判断已知平面内的直线与已知直线的位置关系，即在已知平面

内所有和交线平行的直线都与已知直线平行，所有和交线相交的直线都与己知直线异面.

5.判定平面与平面平行的4种方法

（1）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点（不常用）；

（2）面面平行的判定定理（主要方法）；

（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（客观题可用）；

（4）利用I平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（客观

题可用）.

利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常

用来确定交线的位置.对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角

形来解决.

6.证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性a_La=%，a）；

③面面平行的性质（a-La,a〃夕naJ_份；④面面垂直的性质.

7.利用判定定理证明平面与平面垂直的一般方法

先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直；

若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明

〈芝曳育〉空间两直线位置关系的判定

1.（2021重庆市缙云教育联盟高三上学期9月月度质量检测）已知直线/,m，平面a,

加ua,那么“U/a”是"〃/"'（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

求异面直线所成的角

1.（2021山东临沂模拟）如图，四边形A8C。和四边形AOPQ均为正方形，它们所在的平面

互相垂直，则异面直线AP与8。所成的角为.

2.（2022河南省十所名校高三）如图，圆锥的底面直径AB=2,其侧面展开图为半圆，底

面圆的弦AO=6,则异面直线AO与8C所成的角的余弦值为（）

A.0B.立C.立D.—

342

直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

1.（2021海南省三亚华侨学校高三10月月考）正方体ABC。-AIBIGOI中，E、尸分别是

BBi,CG的中点，

（1）证明：直线AE//平面QCG9

（2）求异面直线4E和8厂所成角的余弦值.

2.（2022年高考数学一轮复习讲练测）如图，ABCD与4OEF为平行四边形，M,N,G分

别是A8,AD,EF的中点.

AMB

求证：（1）BE〃平面OMF；

（2）平面BDE〃平面MNG.

多向脸直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

1.（2022河南省联考高三核心模拟卷）在四棱锥产一A3CD中，平面Q43_L平面ABC。，

AB//CD,ZADC=9Q0,8=2AB=2,PA=AD=五,PB=5以为PC的中

点.

（1）求证：PCJ_平面BMD；

（2）求三棱锥的体积

2.（2022年高考数学一轮复习考点微专题）如图所示，在四边形48CD中，

AD//BC,AD=AB,ZBCD=45°,ABAD=90°,将△A8D沿8D折起，使得平面

ABOJ_平面BCD,构成四面体ABC。，则下列说法正确的是（）

A.平面平面ABCB.平面ACDL平面BCD

C.平面ABC_L平面BCDD.平面AC£>J_平面ABC

3.（2022年高考数学一轮复习讲练测）如图所示，四边形ABCD中，AD//BC,AD=AB,

ZBCD=45°,ZJ3AD=90°.将”8。沿对角线8。折起，记折起后A的位置为点尸，且使平

面P8O_L平面BCD.

求证：（1）CC_L平面尸8£）.

（2）平面PBC_L平面PDC.

百月宝>平行与垂直的综合问题

1.如图，直三棱柱ABC-A18cl中，底面是边长为2的等边三角形，点£>,E分别是BC,

A&的中点.

G

(1)证明：OE〃平面ACG4；

(2)若=证明：GC平面ADE.

1.(2019年全国统一高考数学试卷(新课标II))

设口，夕为两个平面，则&//月的充要条件是

A.a内有无数条直线与月平行

B.1内有两条相交直线与£平行

C.a,夕平行于同一条直线

D.a,夕垂直于同一平面

2.(2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标IID)如图，点N为正方形ABCD的中

心，AECD为正三角形,平面£CD_L平面A8CRM是线段EO的中点，则

A.BM=EN,且直线是相交直线

B.BM手EN,且直线是相交直线

C.BM=EN,且直线是异面直线

D.BM丰EN,且直线是异面直线

3.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥P—A5CD的底面是矩形，PDX.

底面ABC。，/为8c的中点，且尸

（1）证明：平面BAM_L平面尸80；

（2）若尸求四棱锥尸一ABC。的体积.

经典变式练

一、单选题

1.（2022・山东聊城•二模）已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线/是底面所在平面内

的一条直线，则该直线/与母线所成的角的余弦值的取值范围为（）

2.（2022•北京丰台・二模）已知两条不同的直线/,加与两个不同的平面a,户，则下列结论

中正确的是（）

A.若I〃a、m±l,则B.若/J_a,/〃尸，则

C.若IA.m,贝U/〃aD.若a_L£,I±a,则/〃£

3.（2022・重庆八中模拟预测）已知三个平面a,夕，，，其中an/3=a,13y=b,y\a=c,

且ab=P,则下列结论一定成立的是（）

A.b,c是异面直线B.bc-PC.h//cD.a与c没有公共点

4.（2022•江西•二模（理））已知平面四边形ABCQ中，AB=AD=BD=4iBC=辰口=4，

现沿80进行翻折，使得A到达4的位置，连接A'C,此时二面角A-BO-C为150。，则

四面体ABC。外接球的半径为（）

A26R4将「2万n4V2T

3333

5.（2022•江西景德镇•三模（理））已知正方体48CO-ABCQ的棱长为2,P为正方形ABC。

内的一动点,E、尸分别是棱AA,、棱AQ的中点.若D.PH平面BEF,则的最小值为（）

A.逑B.逝C.非D.245

55

6.（2022.河北秦皇岛•二模）如图，在直三棱柱ABC-A耳G中，的=AC=8C=1,A8=血,

D,E分别是A4，CG的中点，则直线8c与平面A8E所成角的正弦值为（）

A-TB-Tc-T口.器

7.（2022.湖南永州三模）中国古代数学瑰宝《九章算术》记录形似“楔体”的“羡除”.所谓“羡

除“，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形），两个不平行对

面是三角形的五面体.如图,在羡除ABCDEFrp,四边形ABC。是边长为2的正方形，EAD,

FBC均为正三角形，£F//平面ABC。，且E尸=24?,则羡除ABCDEF的体积为（）

8.（2022•浙江嘉兴•二模）如图，已知正方体ABCD-A耳GA的棱长为1，则下列结论中正

确的是（）

①若E是直线AC上的动点，则QE〃平面4/G

②若E是直线AC上的动点，则三棱锥E-ABG的体积为定值!

③平面A/G与平面A8CQ所成的锐二面角的大小为£

4

④若F是直线3。上的动点，则RFJLAC

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

二、多选题

9.（2022•辽宁葫芦岛•一模）如图所示，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中

点，则下列满足MN〃平面A8C的是（）

10.（2022•辽宁沈阳•二模）在四棱锥P-ABC£>中，底面488为梯形，AB//CD,则（）

A.平面心。内任意一条直线都不与BC平行

B.平面PBC内存在无数条直线与平面玄。平行

C.平面PAB和平面PCD的交线不与底面A8C。平行

D.平面力力和平面P8C的交线不与底面4BCD平行

11.（2022•广东惠州•一模）近年来，纳米晶的多项技术和方法在水软化领域均有重要应用.

纳米晶体结构众多，下图是一种纳米晶的结构示意图，其是由正四面体沿棱的三等分点作平

行于底面的截面得到所有棱长均为〃的几何体，则下列说法正确的有（）

A.该结构的纳米晶个体的表面积为7G“2

B.该结构的纳米晶个体的体积为史亚/

12

C.该结构的纳米晶个体外接球的表面积为

4

D.二面角A/-A2A3-B3的余弦值为-g

12.（2022・辽宁锦州•一模）如图，在直四棱柱AB8-ABCD中，BCLCD,AB//CD,

BC=6M=A8=A£>=2,点P,Q,R分别在棱Bq,CC,,OR上，若A,P,Q,R

四点共面，则下列结论正确的是（）

A.任意点P,都有4尸〃QR

B.存在点P,使得四边形APQR为平行四边形

C.存在点P,使得8C〃平面APQR

D.存在点P,使得△APR为等腰直角三角形

13.（2022•江苏南通•模拟预测）已知正四棱柱A8C£>—A/8/C/Q的底面边为1,侧棱长为a,

M是CC/的中点，则（）

A.任意a>0,AiMA-BD

B.存在“>0,直线4G与直线相交

C.平面与底面A由/G。/交线长为定值或

2

D.当a=2时，三棱锥外接球表面积为37r

14.（2022•江苏泰州•模拟预测）在正四棱锥P-A3CD中，点KMS分别是棱PA,PB,PC上

的点，S.PM=xPA，PN=yPB,PS=zPC，其中x,y,zw（0,l],则（）

A.当*=y=z时，平面ABC。//平面MNS

B.当x=l,y=；,z=l时，PD〃平面MNS

21i

C.当x=w，y=-,z=-04,点Ow平面MNS

2i

D.当x=§，y=3时，存在zw（o,l],使得平面PAC_L平面MNS

15.（2022.广东广州.二模）如图，圆柱的轴截面A8C。是正方形，E在底面圆周上，

AE=BE,AF_LDE,尸是垂足，G在8。上，DG=2BG,则下列结论中正确的是（）

A.AFYBD

B.直线OE与直线AG所成角的余弦值为g

C.直线DE与平面ABCD所成角的余弦值为逅.

6

D.若平面AfGc平面ABE=/,则/〃FG

16.（2022•广东茂名•二模）棱长为4的正方体AB8-ABCQ中，E,1分别为棱AR,M

的中点旦G=X4C（O〈/IW1）,则下列说法中正确的有（）

A.三棱锥尸-AEG的体积为定值

B.当时，平面EGC截正方体所得截面的周长为6指+如

一2斤

C.直线FG与平面8CG4所成角的正切值的取值范围是年,2a

D.当23时，三棱锥A-EFG的外接球的表面积为153号乃

44

三解答题

17.（2022•青海西宁•一模（文））如图，四棱锥P-A3CO中AB=AQ=2,8=4,AB//CD,

AD_L平面COP,E为PC中点.

⑴证明：3E7/平面以。；

（2）若CP，平面以。，CP=2y/3,求三棱锥的体积.

18.（2022•甘肃兰州•一模（理））已知四棱锥中，底面A8CD为菱形，点E为校

PC上一点（与P、C不重合），点KN分别在棱PD、PB上，平面EMN〃平面ABCD

（1）求证：比>〃平面AWN；

TT

⑵若E为PC中点，PC=BC=BD=2,^PBC=-,PCVBD,求二面角〜MN-A的正

弦值.

19.（2022,海南海口•模拟预测）如图所示的几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，两

个锥体的底面在同一平面内，8C是半圆锥底面的直径，力在底面半圆弧上，且2£>B=OC，

△ABC是等边三角形.

⑴证明：8。平面SAC；

⑵若BC=2,SB=亚,求直线CD与平面SAB所成角的正弦值.

20.（2022•山东潍坊•二模）如图，线段AC是圆。的直径，点B是圆。上异于A,C的点,

AC=2,BC=\,以，底面ABC,M是PB上的动点，且PM=4尸8（0<4<1）,N是尸C的

并加以证明；

⑵若平面PBC与平面ABC所成的角町，点M到平面碗的距离是争求2的值.

21.（2022•山东聊城•二模）如图，在四棱锥E-ABCD中，EC,平面ABC。，AS1BC,

△48是等边三角形，AC=2.

B

⑴若AB=1,求证：BC,平面COE；

(2)若二面角E-AB-£)为30。，EC=\,求直线DE与平面ABE所成的角的正弦值.

22.（2022・江西•二模（理））如图所示，在多面体ABCCFE中，A8AB=2ACCOAB=2AC

EF,平面A8C£>JL平面ABEF,AB=AD=AF=2EF=2CD,/CCA=NAFE=90°,M,N分别

为线段BE,CE的中点.

FE

(1)求证：FAIMN；

(2)求平面BO尸与平面8EF所成锐二面角的余弦值.

考点17点、直线、平面之间的位置关系(核心考点讲与练)

二、空间中的平行关系

1.平行直线

(D平行公理

过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.

(2)基本性质4(空间平行线的传递性)

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(3)定理

如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.

2.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线/与平面。没有公共点，则称直线/与平面"平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

平面外一条直线与此

平面内的一条直线平a_闻Q,Zxza,

判定定理

行，则该直线平行于此a//b=>a//a

平面

一条直线和一个平面

平行，则过这条直线的a//a,auB,

性质定理

任一平面与此平面的*aCl0=b=>a//b

交线与该直线平行

3.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

一个平面内的两条粗

交直线与另一个平面auQ,Zxza,aAb=P,

判定定理

平行，则这两个平面a〃£,6〃£=a〃£

平行

两个平面平行，则其

中一个平面内的直线aHB、aua=a〃£

平行于另一个平面//

性质定理如果两个平行平面同

时和第三个平面相Q〃£,CZAy=a,

交，那么它们的交线£Ay=b=^a//b

平行

三、空间中的垂直关系

1.直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的定义

如果一条直线和一个平面相交于点0,并且和这个平面内过交点(0)的任何直线都垂直，就

说这条直线和这个平面互相垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论

文字语言图形语言符号语言

aua、

9a

如果一条直线与平面内的两条1

-Gb=O>

判定定理相交直线垂直,则这条直线与

ILa

这个平面垂直7

l±b>

=/_La

如果在两条平行直线中，有一b皿、

推论1条垂直于平面，那么另一条直二=/?_La

线也垂直于这个平面

如果两条直线垂直于同一个平--La

推论2^a//b

面，那么这两条直线平行--La

2.直线和平面所成的角

(1)定义：一条斜线和它在平面内的见影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直

于平面，则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°

的角.

JI"

(2)范围：0^_=.

3.二面角

(1)定义：从•条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角:

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂

直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围：[0,n].

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线

互相垂直,就称这两个平面互相垂直.

(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面过另一个平面的

/(37±o]

判定定理一条垂线,则这两个平面互相垂C=4夕

直£

如果两个平面互相垂直，那么在luB

>

性质定理一个平面内垂直于它们交线的aGB=a

直线垂直于另一个平面4l±a,

=>7±a

1.异面直线的判定方法

定义法

过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不

定理法经过该点的直线为异面直线（此结论可作为定

理使用）

凑便便两渠直线示臭鼻而直缓,即两重双并行

反证法或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理,

1导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面

2.求异面直线所成的角的三步曲

即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角:

［即证明出出的角是异面直线所成的角"'：

i解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角:

;或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝:

!角，则它的补角才是要求的角

3.线面平行的证明方法

（1）定义法：一般用反证法；

（2）判定定理法：关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号

语言叙述证明过程；

（3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.

4.构造平行直线的常用方法

（1）构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平

行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线；

（2）构建平行四边形:可以利用己知的平行关系（如梯形的上下底边平行）或构建平行关系（如

构造两条直线同时平行于己知直线），从而构建平行四边形.

应用线面平行的性质定理时，关键是过己知直线作辅助平面与己知平面相交，所得交线与已

知直线平行，还可以利用交线判断已知平面内的直线与已知直线的位置关系，即在已知平面

内所有和交线平行的直线都与已知直线平行，所有和交线相交的直线都与已知直线异面.

5.判定平面与平面平行的4种方法

（1）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点（不常用）；

（2）面面平行的判定定理（主要方法）；

（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（客观题可用）；

（4）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（客观

题可用）.

利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常

用来确定交线的位置.对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角

形来解决.

6.证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性〃儿”_La=b_La）；

③面面平行的性质（a-La,a.〃归。邛）;④面面垂直的性质.

7.利用判定定理证明平面与平面垂直的一般方法

先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；

若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明

1.（2021重庆市缙云教育联盟高三上学期9月月度质量检测）已知直线/,m，平面a,

机ua,那么“ma”是“l//m"（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据线面的位置关系可直接判断出结论.

【详解】因为由〃/a可得〃/机或/4m异面，

由l//m可得H/a或/ua，

所以“〃/a”是“〃/6”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

求异面直线所成的角

1.（2021山东临沂模拟）如图，四边形ABC。和四边形4OPQ均为正方形，它们所在的平面

互相垂直，则异面直线AP与8。所成的角为.

【答案】*

【解析】如图，将原图补成正方体ABCC-QGHP,连接GP,则GP〃BD,

所以NAPG为异面直线4P与8。所成的角，在AAGP中，AG=GP=”，

所以NAPG=*

答案：*

2.（2022河南省十所名校高三）如图，圆锥的底面直径AB=2,其侧面展开图为半圆，底

面圆的弦AO=百，则异面直线AO与8C所成的角的余弦值为（）

A.°B.qC.手»与

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标运算结合异面直线的成角的范围即

可求出结果.

【详解】

在劣弧AO上取AB的中点M,以。为原点，OM为x轴，OB为＞轴，Q4为z轴建立

如图所示的空间直角坐标系，

因为圆锥的底面直径AB=2,其侧面展开图为半圆，底面圆的弦AZ）=百，

所以»•3C=2xlx;r,所以BC=2，则CO=g，

所以4（0,-1,0）,8（0,1,0）,。倒,0,@,0日,;，01

所以AO=

则

ADBC_^x0+|x(-l)+0xV33

cos(A£),BC)d=Jl

阿可柠:唱而一4

故异面直线AO48C所成的角的余弦值为且.

，因为异面直线的成角范围为0，'

4

故选：C.

直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

1.（2021海南省三亚华侨学校高三10月月考）正方体ABC。-中，E、尸分别是

BBi,CG的中点，

（2）求异面直线4E和8尸所成角的余弦值.

【答案】（1）证明过程见详解（2）!

5

【分析】（1）连接DFEF,证明AE//DF,然后利用线面平行的判定定理即可证明AE//

平面。CCQ

（2）连接AC-则NAEG或其补角为异面直线AE和8厂所成角，利川余弦定理求

出异面直线所成角的余弦值即可

【详解】（I）证明：连接。/，EF,

在正方形8CG片中，E、F分别是8以，CG的中点，所以EF//BC,且上尸=BC,

在正方形ABC。中，AD//BC,&AD=BC,所以AO//E/L且4。=所，所以四边

形AEFD为平行四边形，

则有AE//0E，因为小u平面。CGA，AEZ平面。CC2，

所以AE//平面。CCQ.

（2）连接EC-AC-

则在正方形BCC#中，因为E、F分别是8所，CG的中点，

所以有BE=FJ

所以四边形为平行四边形，则有Eg//BF,

所以NAEG或其补角为异面直线AE和8尸所成角

设正方体边长为2,则AE=百，EC,=75,AG=26,

所以cos=5+5-12」,由于异面直线所成角为锐角或者直角

2x55

所以异面直线AE和BF所成角的余弦值为：

2.（2022年高考数学一轮复习讲练测）如图，ABCD与ACEF为平行四边形，M,N,G分

别是A8,AD,E尸的中点.

求证：（1）8E〃平面0M尸；

（2）平面BOE〃平面MNG.

【分析】（1）作辅助线，由中位线定理以及线面平行判定定理证明即可；

（2）先证明平面MNG,£>E〃平面MNG,再由面面平行的判定定理证明即可.

【详解】证明：（1）如图，连接AE,则AE必过。尸与GN的交点0,连接M0,

则M0为母48£的中位线，所以8E〃M。，

又BEC平面DMF,MOu平面DWF,所以8E〃平面。MF.

（2）因为MG分别为平行四边形AOE尸的边AD,EF的中点，所以OE〃GN,

又函:平面MNG,GNu平面MNG,所以DE〃平面MNG.

乂M为AB中点,所以MN为△48/）的中位线，

所以又平面MNG,历Nu平面MNG,

所以30〃平面MNG,

又DE与BD为平面内的两条相交直线，

所以平面8CE〃平面MNG.

岑弓嗡＞直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

1.（2022河南省联考高三核心模拟卷）在四棱锥尸-A5CD中，平面平面A8C。，

AB//CD,ZADC=90°,CD=2AB=2,PA=AO=0，PB=6M为尸。的中

（1）求证：PC_L平面BMD：

（2）求三棱锥O-BMP的体积

答案】（1）证明见解析；（2）1.

【分析】（1）由余弦定理求得6C，由面面垂直的性质定理得F4与平面ABCQ垂直，从

而得线线垂直，求得PO,等腰三角形性质得线线垂直后可证得线面垂直；

（2）通过转换法求得体积，yD-MpB=vD-MBc=yM-BCD'然后由体积公式计算.

【详解】（1）证明：在四边形ABCD中，AB//CD,ZADC=90°，AD=®，A6=l,

所以BD=JAD2+A^2=J§,

所以cosZ.BDC=cos/.DBA=—j=,

在△BCD中，由余弦定理得BC=6

在中,AB=1,PA=e，PB=5

所以AB2+PA2=PB2，

所以ABLF4.

又平面BAB，平面A3C£＞，平面RWc平面ABCD=AB，Q4u平面246，

所以P4JL平面A8CD.

又ADu平面ABC。,

所以Q4J_A。.

在/\PAD中，可得P£>=-JpA2+AD2=2，

所以PCD.一PCB是等腰三角形，且PD=DC，PB=BC,

因为〃为PC的中点，

所以PC_LM£>,PC上MB

又由BM，。知<=平面瓦加，BMcDM=M.

所以PC,平面MDS

（2）解：由抬_L平面ABC。，可得点P到平面BCD的距离是PA=0，

点M到平面BCD的距离是P到平面BCD的距离的-,即点M到平面BCD的距离为

2

也，

所以VD-BMP=V］）_BCD=KW-BCD~326'万血=§­

2.（2022年高考数学一轮复习考点微专题）如图所示，在四边形AB8中，

AD//BC,AD=AB,NBCD=45°,ZBAD=90°,将△回£）沿8。折起，使得平面

A3。J_平面BCD,构成四面体ABCD，则下列说法正确的是（）

A.平面平面ABCB.平面AC。，平面BCD

C.平面ABC_L平面BCDD.平面AC。_L平面ABC

【答案】D

【分析】在四边形ABC。中，由已知条件可得3DLCD,而在四面体ABC。中，由平面

48。J_平面BCD，结合面面垂直的性质定理可得CQJ_平面43。，从而有8_LAB,

再由线面垂直的判定定理可得A3,平面ACD，再利用面面垂直的判定定理可得结论

【详解】•••在四边形ABC。中，AD//BC,4BCD=45。,

ZADC=135°，,/AD=AB,ZBAD=90°.

ZADB=45°,

ZB£）C=90°,:.BD±CD.

又在四面体ABC。中，平面ABD，平面BCD,且平面ABDc平面BCD=BD,故CO_L

平面AB。，CO_LAB，又AD_LAB,A。CD=D,AB_L平面AC。，

又ABU平面ABC，.•.平面ABC_L平面ACO.

故选：D

3.(2022年高考数学一轮复习讲练测)如图所示，四边形ABCC中，AD//BC,AD=AB,

ZBCD=45°,ZBAD=90°.将△A8O沿对角线8力折起，记折起后4的位置为点尸，且使平

面P8£>_L平面BCD.

求证：(1)©。_1平面灯?。.

(2)平面PBC_L平面PDC.

【分析】(1)利用平面四边形A8C7)证得8。JLOC,借助面面垂直的性质即可得解；

(2)结合(1)的结论及已知证得8PJ_平面PDC,利用面面垂直的判定得解.

【详解】(1)在平面四边形A8CO中，AD=AB,NBAL>=90。，则/A8A>/4£)B=45。，

5LAD//BC,即有ND8C=45°,而/£>C8=45°,于是得NB£>C=90°,

在折后的几何体P8CD中，BDYDC,因平面尸8O_L平面BCD,平面P8。1平面BCD^BD,

C£)u平面BCD,

所以C£>_L平面尸BD；

(2)由⑴知CO_L平面P8O,P8U平面PBC,于是得CO1.8P,

又BPLPD,PDCD=D,POU平面PDC,C3U平面PDC,则8P_L平面POC,又BPu

平面PBC,

所以平面P8C_L平面PDC.

平行与垂直的综合问题

1.如图，直三棱柱A8C-AI8CI中，底面是边长为2的等边三角形，点O,E分别是BC,

AS的中点.

(1)证明：CE〃平面ACGAi；

（2）若=证明：平面力DE.

【分析】（1）由线面平行的判定定理，只要证明QE〃AC,就可证明QE〃平面ACG4.

（2）因为88i_L平面ABC,由线面垂直的性质定理得，BBi±AD,因为底面ABC是等边三

角形，。为8c的中点，所以BCLA。，所以4O_L平面囱8CG,所以AC_LGO,由勾股定

理得CiDIDBi,结合线面垂直的判定定理得GD_L平面ADE.

【详解】（1）连接48,AiC,

在直三棱柱ABC-481G中，侧面ABB4是矩形,

因为点E是45的中点，所以点E是A山的中点，

又因为点。是8c的中点，所以OE〃4C,

因为DEC平面