2024高考数学解题技巧-教师用书

2024高考数学解题技巧一教师用书

目录

1.函数与方程思想..............................................................1

2.数形结合思想...............................................................9

3.分类与整合思想............................................................18

4.转化与化归思想............................................................27

5.选择题的解题方法..........................................................39

6.填空题的解题方法..........................................................53

1.函数与方程思想

「思想方法解读」函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问

题和解决问题.如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离

或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化

为函数问题.

方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为

方程或方程组去分析问题和解决问题.如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位

置关系、数列中的基本量、二项式中的系数等问题.

热点题型探究

热点1函数与方程思想在不等式中的应用

ln3+1

例1(1)(202。湖南省长郡中学高三第四次适应性考试)若04<1,则二一

x2+1x+1

e、2，的大小关系是()

x2+1In3+1x+1

A，-2>-3~.

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f+1x+1In3+1

B-

In3+1x+1x2+1

C--3―〉e-〉e*2

In3+1x2+1x+1

D,-3->er'2>

答案B

x+1-x

解析设於)=h，贝厅(x)=F，令/Q)>030,令/(x)<0=>x>0,

则段)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减.若0。<1，则0<x2a<i<in

_x2+1x+1In3+1

3,因此人/)»”)》1113),即・故选B.

⑵已知於)=10g2X,龙€[2,16],对于函数式X)值域内的任意实数〃"使f+

,nr+4>2/"+4x恒成立的实数x的取值范围为()

A.(-8,-2]

B.[2,+8)

C.(-8,-2]U[2,+8)

D.(-8,-2)U(2,+8)

答案D

解析因为x€[2,16],所以%)=log2x€[l,4],即加€[1,4].不等式f+〃优

+4>2/n+4x恒成立,即为m(x-2)+(x-2)2>0恒成立.构造函数g(ni)=(x-

2)m+(x-2)2,则此函数在区间[1,4]上恒大于0,

所以fg(4)>0,即ba-2)+(X-2)2>0,

解得x<一2或x>2.

方法指导

函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象

和性质可解决相关的问题.常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用

函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解问题.

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1.若2'+5)W2、+5-x,则有()

A.x+y20B.x+yWO

C.x-yWOD.x-y^O

答案B

解析把不等式变形为2，-5-，£27-5，，构造函数")=2，-57其为R

上的增函数，所以有xW-y,即x+yWO.故选B.

2.(2020.山东省第一次仿真联考)已知/'Q)是函数/U)的导数，且式-x)=

3

.Kx),当x»0时，/(尤)>3》，则不等式式》)-次》-1)<3》-]的解集是()

A.昌，0)B.(-8,苗

C.&+8)D.(-8,

答案D

3

解析设g(x)=/(x)-则g'(X)=/'(X)-3x.因为当时,/(x)>3x,

所以当xNO时，g'W>0,即g(x)在[0,+8)上单调递增，因为.*-x)=*x),

33

所以於)为偶函数，则g(x)也是偶函数，因为於)-於-1)<3%-子所以兀r)-]

X2勺(X-l)-|(x-I)2,即g(x)<g(x-1),则国<以-1|,解得x<^.

热点2函数与方程思想在数列中的应用

例2等差数列｛斯｝的前”项和为S〃，已知Sio=O,515=25,则数列｛如｝的

公差4=,〃的的最小值为.

2

答案f-49

2

解析由题意知10m+45d=0,150+1054=25,解得d=?ai=-3,

Pn(n-1)]_io/

所以nSn=/ana\+—d-，

A3-lOx21

设_Ax)=(x>0),则/'(x)=gx(3x-20),

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令/（x）=0,解得x=y（x=o舍去）,

当x€（0,用时，/）单调递减，当X6理，+8）时，小）单调递增.所以

20

当时，段）取得极小值.取〃=6,得犬6）=-48,取〃=7,得犬7）=-49,

故〃S”的最小值为-49.

方法指导

数列的通项与前〃项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数

列问题.常涉及最值问题或参数范围问题，解决问题的关键是利用函数的单调性

来研究最值问题.

■对点精练

已知数列｛。〃｝满足m=33,an+\-an=2n,则詈的最小值为.

-21

答案y

解析根据数列的递推关系式。，川-。"=2〃，可利用累加法求解其通项公

式,Cln=~Cln_\）+（Cln_1一。2）+***+（"2—Cl\）+tZl=2[1+2+…+（〃—1）]+33

can3333-33

=1?一〃+33.所以f工l=丁fl人+〃一1,设/U）=T+x人-l,令/（x）=—1>0,则

危）在（梅，+8）上是单调递增的，在（0,四）上是单调递减的，因为〃£N*,

所以当〃=5或6时，管有最小值.又因为胃=掌f=y=y,所以答的最小值

且。621

为不=5

热点3函数与方程思想在解析几何中的应用

2

X

例3（2020.山东省青岛市高三一模）已知。为坐标原点，椭圆C:了+

1（。泌>0）的左、右焦点分别为点Fi,尺又恰为抛物线。：方二叔的焦点，以

月产2为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线/与。相交于A,B两点,记点A,8到直线x=-1的距离分别

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为力，血|AB|=di+d2.直线/与C相交于E,/两点，记△0A8,△0£F的面

积分别为Si,S2.

①证明：△屏E的周长为定值；

②求不的最大值.

解(1)因为B为抛物线。：产=人的焦点，

故尸2(1,0),所以C=l,

又因为以人人为直径的圆与椭圆。仅有两个公共点知/=C，所以。=近，

/?=1,

x2

所以椭圆。的标准方程为主+)2=1.

(2)①证明：由抛物线的定义知，\AB\=ds+d2=\AF2\+\BF2\.

又因为|A8|WHF2|+|BF2|,等号当且仅当A,B,尸2三点共线时成立，所以

直线/过定点仍，

根据椭圆定义得，

IE/；］+|£FI|+|FFI|=|EF2|+|EFi|+|FFi|+|FF2|=4a=4啦.

②若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为x=L

因为|AB|=4,\EF\=y［l,所以5==乎.

若直线/的斜率存在，则可设直线"y=4x-l)(ZW0),

设A(xi,yi),B(xz,yi).

y2=©,

由，得3x2-(2Z?+4)x+3=0,

y=k(x—1),

2/c+441c+4

所以xi+X2=-忌-,\AB\=x\+X2+2=-后~.

设£1(孙>3),F(X4,/),

If+/=1,,,,

由，［得(1+2Ar)%2-4Z?x+21^-2=0,

y=k(x-1),

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4d2d-2

则X3+X4=1+2R尔4=]+2女2,

所以|EF|=71+M|X3-X4\

2啦(1+M)

=、1+(X3+必)2-4x3X4

1+2F

则济盟=西餐邛X亡€(0,峪

a+

综上知，年的最大值为坐

方法指导

解析几何中的最值问题、范围问题是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中

经常出现，求解此类问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多

个)变量的函数，然后借助于函数的性质来使问题得以解决.

■对点精练

已知焦点在〉轴上的抛物线。过点(2,1),椭圆C2的两个焦点分别为Fi,

F2,其中尸2与。的焦点重合，过点B与C2的长轴垂直的直线交C2于A,B两

点，且|AB|=3,曲线C3是以坐标原点。为圆心，以|。尸2|为半径的圆.

⑴求C2与C3的标准方程；

(2)若动直线/与C3相切，且与C2交于M,N两点，求△OMN的面积S的

取值范围.

解(1)由已知，设抛物线G的方程为f=2外。〉0),

则4=2p,解得〃=2,即G的标准方程为/=4y.

则F2(0,l),不妨设椭圆C2的方程为5+%=15利〉0),

-2_2

〃+/一1'得X=±/,所以IABI=§~=3,

由1

J=-1,

Xa2=/?2+1,所以a=2,b=y[3,

故。2的标准方程为£+'=1.

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易知|0氏2|=1,所以C3的标准方程为r+y2=i.

⑵因为直线/与C3相切，所以圆心。到直线/的距离为1.

所以5小附2*］二等.

当直线/的斜率不存在时，其方程为工=±1,易知两种情况所得到的△OMN

的面积相等.

由忖+9=1，得丫一岖

中1可)__3・

x=1

不妨设半)，Mj,-可可，则|M7V|=¥^,

此时§=喏=挛

当直线/的斜率存在时，设其方程为丁=丘+加，

则I1^1=1,即加2=3+1.

T+可=1，

由，、得(3F+4)x2+6kmx+3m2-12=0,

y=kx+m

所以正二36后/一4(3-+4)(3相2一12)=48(4+3庐-m2)=48(2d+3)>0恒成

立.

设M(XM,叫)，N(XN,yz),

-6km3疗-12

贝+m=X^=~^T-

所以S=；N1+97（M+XN）2-4XMXN

1（一6k3M2-12

=3业+d

“8（2炉+3）

25+、・

3s+4

2小业+S、2心+3

3d+4

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cc"4

令3Zr+4=则F=—,

所以s普产口答千,

令]=〃?'，则rn'W（0,1,

易知），=--2一加'+2在区间（0,尤上单调递减，所以|WS〈半.

综上，△OMN的面积S的取值范围为|,¥]

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2.数形结合思想

「思想方法解读」数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与

形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想体现了数与

形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.数形结合

的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、

几何问题代数化.

数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问

题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问

题.

热点题型探究

热点1数形结合化解方程问题

'2-x-1(x^0),

例1已知函数段)=，若方程fi,x)=x+a有且只有两个不

gl)(x>0),

相等的实数根，则实数。的取值范围为()

A.(-8,0】B.[0,1)

C.(-8,1)D.[0,+8)

答案C

2-x-l(x<0),

解析函数段)=〃~八、的图象如图所示，当时，函数y=

Hx)的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，即方程_/(x)=x+a有且只有两个

不相等的实数根.

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方法指导

用图象法讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的

解（或函数零点）的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代

数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉

的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程

解（或函数零点）的个数.

■对点精练

|log2（x-1）1,1<X<3,

（多选）已知函数|犬）=1229.若方程.於）=根有四个不同

2-V-6x+了，x>3,

的实根XI,X2,X3,X4满足X1<X2<X3<X4,则下列结论正确的是（）

A.x\X2=1B.—4--=1

XIX2

C.X3+%4=12D.X3%4€（27,29）

答案BCD

解析作出函数y=/（x）与y="?的图象如图所示.由图可知，|log2（xi-1）|=

|10g2（X2-l）|fi1<X1<2<X2<3,log2（Xl-1）+log2（X2-1）=0,即（XI-1）（X2-1）=1,

：.XIX2~X\-X2+1=1,，±+9=l,即A错误，B正确；易知，X3,X4是方程:

x2-6x+^=m（0<m<1）,即方程/-12x+29-=0的两根，.'.X3+X4=12,

XW4=29-2w€（27,29）,即C,D均正确.故选BCD.

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热点2数形结合化解不等式问题

例2(1)(2020•河北省衡水中学高三第一次教学质量检测)如图，函数次幻的

图象为折线ACB,则不等式_Ax)21og2(x+l)的解集是()

A.{尤B.{尤I-14W1}

C.{x|-14Wl}D.{R-l<xW2}

答案C

解析如图所示，画出g(X)=10g2(X+1)的函数图象,从而可知交点。(1,1),

二不等式加02g(x)的解集为{R-14W1},故选C.

3

(2)已知关于x的不等式代>以+5的解集为{x|4<x<b},则必=.

答案2

33

解析设.*x)=m，g(jf)=ax+2(x^0).因为+］的解集为{x|4vxv

b},所以两函数图象在4vxvb上有./U)>g(x),如图所示.当x=4,x=h时,

r531

-+--

12=819

<解

得

可--

由於)=1382

gM,亚

-力+--36

<2

方法指导

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数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几

何意义，从图形上找出解题思路.因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，

利用图象的交点和图象的位置求解不等式.

■对点精练

1.若存在实数a,对任意的x€[0,都有]以-03觥-0户0恒成立,

则实数机的最大值为()

兀c兀

A.zB.

-3兀-5兀

c.彳D.y

答案C

解析在同一坐标系中，作出丁=5加和y=cosx的图象,

当〃?=：时，要使不等式恒成立，只有a=乎，当〃时，在x€[0,河上，

y[2

必须要求y=siwc和y=cosx的图象不在丁二。=为"的同一侧.所以根的最大值

3兀

是不故选C.

2.(多选)设了'(x)是函数式x)的导函数，若/'(x)〉0,且DXI,X2€R⑶#X2),

人用)+««)<式一5二1则下列选项中一定正确的是()

A.式2)勺(e)勺㈤

B./(兀)守(eM⑵

C.fi^<f(2)-/(3)</(3)

D.f(3)<fi3)-fi2)<f(2)

答案ABD

解析因为/'a)>0,所以./U)在R上单调递增，所以.*2)勺⑹勺⑺，故A

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-、，,____/XI+X2]J{X\）+J（X2）lx\+X2

正确；Vxi,无2CR（X1#X2）,怛有於i）+於2）＜2（-~J,E|r2黄一一）,

所以y=/U）的图象是向上凸起的，如图所示.因为/'（x）反映了函数/U）图象上

各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x的增大，.穴的的图象越来越平缓，即

切线的斜率越来越小，所以/⑺守（e）勺''⑵，故B正确；因为人3）-犬2）=

©一A2）

1表示点A（2/2））与8（3/3））连线的斜率，由图可知，（3）＜以《＜/'（2）,

故D正确；C无法推出，故选ABD.

热点3数形结合化解平面向量问题

例3（1）已知明）是单位向量，ab=O,若向量c满足|c-a-"=1,贝

的取值范围是（）

[^2-1,^2+1][^2-1,&+2]

[1,V2+1][1,啦+2]

答案A

解析如图，令OA=a,OB=b,OD=a+b,OC=c,

.a,8是单位向量，。仍=0,•,・四边形AOB。是边长为1的正方形，|仍|

=&.又|c-••.点C在以点。为圆心、半径为1的圆上.

易知点。与O,。共线时，吩石达到最值，最大值为6+1,最小值为6-

的取值范围是[6-1,A/2+I].

⑵（2020•山东省济宁市高三二模）如图，在△A3C中，N3AC=1,AD=2DB,

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P为CD上一点,且满足屐=〃2流+戈瓦若△ABC的面积为2小，贝1]|舒|的最

小值为（）

工C

DB

A.6B.小

4

C.3D.

3

答案B

解析设I通=3a,\AC\=b,则△ABC的面积为权3。蚓崂=2仍，解得必

=1,由#=唐屐?+少诵=机病+1后，且0,P,。三点共线，可知"2+（=1,

।3

即〃?=不故亦=近+声.以A3所在直线为x轴，以A为坐标原点，过A作

A3的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系,

则A(0,0),D(2«,0),B(3a,0),

=3（当且仅当a=犷即a=|,。=4时取“=”）

故I淳I的最小值为4.

方法指导

建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算,

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把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁

为简，轻松破解.

4对点精练

2兀

给定两个长度为1的平面向量/和为，它们的夹角为3.如图所示，点C

在以。为圆心的圆弧AB上运动.若龙=疝在），为，其中尤，y€R,贝+y的

最大值为,此时/AOC=.

答案21

解析由图示和题意可知，A（1,O）,B\

设/AOC=a(a€0,牛则C(cosa,sina).

由花=%醇+），昉，得

1

COS。=X一铲

5解得3

Tina,

sina=冬,

所以x+y=cosa+小sina=2sin（a+

一2兀一

又a"o,yj,所以当a=W时，x+y取得最大值2.

热点4数形结合化解圆锥曲线问题

例4（2020.山东省临沂市高三一模）点M为抛物线y=$上任意一点，点

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3

N为圆/+产一2丁+1=0上任意一点，若函数於)=loga(x+2)+2m>1)的图象恒

过定点P,则l"P|+|MN|的最小值为()

5旦

A-B

24

答案A

解析如图所示，函数/)=log〃(x+2)+2(a>l)的图象恒过定点(-1,2),故

P(—l,2).

y=^x2,即f=4y,焦点为尸(0,1),准线为y=-l,x1+y2-2y+^=0,即

x2+(y-I)2=^.\MP\+\MN\^\MP\+\MF]-^\PD\-1=3-1=|,当P,M,O共

线时等号成立.故选A.

方法指导

与圆锥曲线有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求

解.但一味的强调函数观点，有时会使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲

线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.

■对点精练

22

椭圆方+；=1的左焦点为£直线X=机与椭圆相交于点M,N,当AFMN

的周长最大时，△尸MN的面积是()

A或R座

A,55

J5u-5

答案C

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解析如图，设椭圆的右焦点为F,连接M尸，NF.因为|MF|+|M+

\MF'|+|^r\^\MF\+\NF]+\MN\,所以当直线x=〃？过椭圆的右焦点时，△

五出的周长最大.止匕时|加=等=乎，又，=</一〃=在工=i,所以此时

△尸MN的面积S=：X2X^=半故选C.

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3.分类与整合思想

「思想方法解读」分类与整合思想就是将一个复杂的数学问题分解成若

干个简单的基础问题，通过对基础问题的解答，解决原问题的思维策略.实质上

就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，使用分类与整合思想应明白

这样几点：一是引起分类整合的原因；二是分类中整合的原则，不重不漏，分类

标准统一；三是明确分类整合的步骤；四是将各类情况总结归纳.

常见的分类整合问题有以下几种：①由概念引起的分类整合；②由性质、定

理、公式的限制条件引起的分类整合；③由数学运算引起的分类整合；④由图形

的不确定性引起的分类整合；⑤由参数的变化引起的分类整合.

热点题型探究

热点1公式、定理的分类整合法

例1（1）（2020.全国卷I）（x+±）a+y）5的展开式中的系数为（）

A.5B.10

C.15D.20

答案C

解析（x+y）5展开式的通项公式为Tr+LCSf-y&CN且W5）,所以

6

Q3与（龙+y）5展开式的乘积可表示为xTr+x=xC^-y=c§x-y或=下

\AyAA

CSV-yuC"4-y+2.在工4+［二csf-y中，令3,可得尤A=CSx3/=lOx3}?3,

该项中”的系数为10,在"7；+i=C"4-y+2中，令r=1,可得p2=CN>3=

5於咒该项中xY的系数为5,所以；tY的系数为10+5=15.故选C.

（2）（2020.山西省大同市高三模拟）若等差数列伍”}的前n项和为S”，已知m

=9,a2€Z,且SKS5（〃€N*）,则|ai|+|阂+…+1。〃|=.

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1071-n2,〃W5,

绞案<

口[n2-lOn+50,n>5

解析•.・等差数列｛3｝的前n项和为S〃,

6Z1=9,(22€Z,且SZ<55,

。5=9+4d20,。6=9+5J<0,

,「。2€Z,.\d=-2,

n(n-1)、

/.Sn=9/2+—2—X(-2)=10〃一/，

2

...当时，\a\\+|阂+…+\an\=10n-ft;

2

当n>5时，\a\\+\a2\+…+\an\=2(a\+。2+〃3+。4+as)-(10/2-n)=2(10X5

-52)+层-10〃

=«2-10z?+50,

lOn-n2,

「.lail+㈤+…+I。，=j

n910/1+50,n>5.

方法指导解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤

第一步：确定需分类的目标与对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用

到公式、定理解决问题的对象作为分类目标.

第二步：根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区

分.

第三步：分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处

理.

第四步：汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理.

■对点精练

1.已知数列｛分｝的前〃项和S"满足S"=2a”+i(〃WN*),且m=l厕数列3｝

的通项公式是________.

1,«=1,

答案“'[Ml卜

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解析①当〃=1时，由已知可得。1=2及，

11

艮nn[]di—2。1=2。

②当〃22时，由已知S"=2a”+i(〃CN*),可得=2&(〃22,〃WN*),两

an+\3

式相减得的=2跖小-2a”=2念+1=3以，即丁Cln=宁L，所以数列｛斯｝从第二项开始

构成一个首项为“2=g,公比为|的等比数列，故当心2,〃WN*时有扇=骗>

1,〃=1,

0.所以a“=<]

2\2/'1"A.

2.已知锐角的三个内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,若。是

1,2的等比中项，c是1,5的等差中项，则。的取值范围是_______.

答案(26，迎)

解析因为。是3,2的等比中项，所以。=、y；x2=i.

1+5

因为c是1,5的等差中项，所以c=-y-=3.

因为△ABC为锐角三角形，

(12+32-472>0,

①当。为最大边时，有

[1+3>a,

解得3Wa〈E；

p2+«2-32>0,

②当。为最大边时，有卜+1>3,

解得2/vaW3.

由①②得2啦<a<四,所以实数a的取值范围是(2啦，V10).

热点2位置关系的分类整合法

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例2(1)设A,8是椭圆C：H+.=1长轴的两个端点，若C上存在点M

满足/AMB=120。，则相的取值范围是()

A.(0,1]U[9,+8)B.(0,V3]U[9,+°°)

C.(0,1]U[4,+8)D.(0,小]U[4,+8)

答案A

解析如图，设。E是椭圆的短轴，利用动态分析，或过A,D,B作圆R

根据圆周角定理，易知NAMBW/AOB.若C上存在点M满足120。，

则NADB2120。，所以周=121!/。。82121160。=仍.当焦点在工轴上时，|。8|=

小，|0。|=赤，庠2小，解得0<mWl；当焦点在y轴上时，\OB\=^t,\OD\

=小，坐》S，解得〃.故机的取值范围是(0,1]U[9,+8),选人・

x3,x20,

(2)(2020・天津高考)已知函数段)二八若函数g(x)二段)一|依2一

-x,x<0.

2x\(keR)恰有4个零点，则k的取值范围是()

A.1-8,一；)u(2啦，+8)

B.(-8,_；)u(0,2的

C.(-8,0)U(0,2^2)

D.(-8,0)0(272,+8)

答案D

解析注意到g(o)=o,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程欧-2|=瑞

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恰有3个实根即可，令〃（x）=瑞，即y=|依-2|与//（x）=瑞的图象有3个不同

〃x）仔，x>0,

交点.因为心）=田n当左=0时，y=2,如图1,y=2与〃（x）=

瑞有1个交点，不满足题意；当ZvO时，如图2,y=|依一2|与力。）=胃恒有3

个不同交点，满足题意；当攵>0时，如图3,当丁=依-2与y=f相切时，联

立方程得x2-日+2=0,令/=0得3—8=0,解得女=26（负值舍去），所以女

>2P.综上,Z的取值范围为（-8,0）U（2y/2,+8）.故选D.

（1）二次函数对称轴的变化；（2）函数问题中区间的变化；（3）函数图象形状的

变化；（4）直线由斜率引起的位置变化；（5）圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由

离心率引起的形状变化；（6）立体几何中点、线、面的位置变化等.

岸对点精练

1.如图，M,N是焦点为F的抛物线V=4x上的两个不同的点，且线段MN

的中点A的横坐标为3,直线MN与x轴交于B点，则点8的横坐标的取值范

解析①若直线MN的斜率不存在，则点8的坐标为（3,0）.

第22页共62页

②若直线MN的斜率存在，设A(3,f)«WO),M(xi,yi),N(x2,”)，

侪=4xi,yi-y

则|由J得比一货=4(X1-X2),二；~-(2yi+yi)=4,

［历=4x2,尤1一X2

2?

即kMN=~,直线MN的方程为y—=7(x-3),

2

_t2yr=7。-3),

，点8的横坐标初=3-万，由j'消去x,

y2=4x

fl

得y2-2(y+2尸—12=0,由/>0得户<12,又rWO,.,.加=3—万6(—3,3).

综上，点8的横坐标的取值范围为(-3,3］.

2.若函数段)=-Mx-。)在xW［-1,1］上的最大值为4,则a的值为.

答案5或-5

解析函数段)=-+g勺图象的对称轴为V，应分六-1,-导

W1,1>1,即。<一2,—2MW2和a>2三种情形讨论.

①当。<一2时，由图1可知./U)在上的最大值为«-1)=-\-a=-

(a+1),由一(a+1)=4,得。=一5,满足题意.

②当-2—W2时，由图2可知段)在［-1,1］上的最大值为序号由小

4,得。=±4(舍去).

③当。>2时，由图3可知式x)在上的最大值为式1)=。-1,由。-1=

4,得。=5,满足题意.

综上可知，。=5或-5.

热点3含参数问题的分类整合法

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例3(2020•海南省高三三模)已知函数兀r)=ln(x+1)-x+$+aF,«€R.

(1)若a=0,证明：当-l<x<0时，於)<0,当%>0时，於)>0；

⑵若x=0是«x)的极大值点，求。的值.

解(1)证明：当。=0时，.*x)=ln。+1)-》++,定义域为(一1,+8).

1x2

f(X)=-----1+%=----

J/X+1X+1

当心>-1时，f(功>0,

所以7U)在(-1,+8)上单调递增.

又因为人0)=0,

所以当-1<X<O时,於)<0,当心>0时,危)乂).

(2)若由(1)知，当x>0时，(x+1)-x+&2>o=#o).

这与x=0是/(x)的极大值点矛盾.

1c3ax3+(3a+

若a<0,f'(x)=7-1+x+3OX2=:

Jx+1x+1

3axV3a+1)

X>-L

3a+1

令/(x)=0,可得x=0或x=.

13a+1

①若«<-,贝U---v0.

3a+1

当-14<-F-时，f(x)>0,

3a+1

当x>-f-时，f'

所以义x)在［-黑」，+8)上单调递减，与x=0是./U)的极大值点矛盾.

13a+1

②若-铲。<0,贝1J-一/—>0.

3«+1

当时，/(“)20,

第24页共62页

3a+1

当介-^-时，f(^)<0.

所以Kr)在1-1,-哭J上单调递增，与x=0是/U)的极大值点矛盾.

13a+1

③若4=-1,则-3a=。

当-l<x<0时,f(x)>0,当x>0时，/'(x)<0.

所以7U)在(-1,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减.

此时x=0是/U)的极大值点.

综上所述，若x=0是7U)的极大值点，则。=-；.

方法指导

(1)分类整合要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.

(2)分类整合时要先根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象

与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类

合并，其中级别与级别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后

整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出.

「对点精练

已知函数,g(x)=ax12+x+l(a>0).

⑴设F(x)=喂,讨论函数尸(x)的单调性;

⑵若0<a,证明：/(x)>g(x)在(0，+8)上恒成立.

解⑴产出=鬻=加+x+1

(2a-1

2

-ax+(2a-l)x-叫x-a

F'(%)=

1-x2

①若/(x)=%rwo,

・•・F(x)在R上单调递减.

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]2。—12。一12。一1

②若。>5,则下~>0,当x<0或x>FVC-—时，F'(x)<0,当0<x「Vf一时,

/a)>o,「.Fa)在(-8,0),(号」，+8)上单调递减，

在10，若口上单调递增.

12。—12。—12a—1

③若贝当时，时，

0<a<乙5,Ctx<—0—4ogx>0F'(x)<0,^―V—€<x<0

F'(x)>0.

・•・F(X)在1-8,(0,+8)上单调递减，在佟J,o)上单调递增.

(2)证明：,「OvaW；,.,.加+X+1W++X+L

设〃(x)=e*-+-1,则/?'(幻二^一彳一1.

设p(x)=h'(JC)=ev-x-1,贝ljp'(x)=er-1,

在(0,+8)上,p'㈤〉。恒成立.

•・㈤(x)在(0,+8)上单调递增.

又〃'(0)=0,.•.x€(0,+8)时，川(功>0,

.•.以>)在(0,+8)上单调递增，:7(x)>山0)=0,

e'--x-l>0,ev>^x2+x+1,

e*>52+*+1^ax2+x+1,

./x)>g(x)在(0,+8)上恒成立.

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4.转化与化归思想

「思想方法解读」转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种

手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题

化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题

化归为已经解决的问题.

常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数

问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问

题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空

间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等.

热点题型探究

热点1特殊与一般的转化

例1(1)(2020,全国卷II)数列｛&,｝中，=2,am+n=aman,若ak+\+ak+2+…

l：15

+m+io=2-2,则A=()

A.2B.3

C.4D.5

答案