湖州市吴兴区2022-2023学年数学九年级第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．一个不透明的袋中装有2个红球和4个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A． B． C． D．2．已知点都在双曲线上，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．反比例函数（x＜0）如图所示，则矩形OAPB的面积是（）A．-4 B．-2 C．2 D．44．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．5．如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（）A．15 B．10 C．7.5 D．56．在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F，那么下列选项正确的是（）①BP=BF；②如图1，若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD=25，且AE＜DE时，则DE=16；④在③的条件下，可得sin∠PCB=；⑤当BP=9时，BE∙EF=108.A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤7．如图，的直径，是上一点，点平分劣弧，交于点，，则图中阴影部分的面积等于（）A． B． C． D．8．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，使点P′在△ABC内，已知∠AP′B＝135°，若连接P′C，P′A：P′C＝1：4，则P′A：P′B＝（）A．1：4 B．1：5 C．2： D．1：9．如图，在菱形ABCD中，于E，，，则菱形ABCD的周长是A．5 B．10 C．8 D．1210．抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题(每小题3分,共24分)11．二次函数的图象如图所示，则点在第__________象限.12．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于__________________．13．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是_____．14．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝______．15．抛物线的顶点坐标为______.16．（2016湖北省咸宁市）如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论：①；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为．其中正确的是________（把你认为正确结论的序号都填上）．17．如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点，于，连接，则=_________度.18．如图，点A，B，C都在⊙O上∠AOC＝130°，∠ACB＝40°，∠AOB＝_____，弧BC＝_____．三、解答题(共66分)19．（10分）某校薛老师所带班级的全体学生每两人都握一次手，共握手1540次，求薛老师所带班级的学生人数．20．（6分）解方程：x2－4x－7＝0.21．（6分）一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．请用列表法或画树形图法求下列事件的概率：(1)搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球．(2)搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．(3)再放入几个除颜色外都相同的黑球，搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是黑球的概率为，求放入了几个黑球？22．（8分）问题提出（1）如图①，在中，，求的面积．问题探究（2）如图②，半圆的直径，是半圆的中点，点在上，且，点是上的动点，试求的最小值．问题解决（3）如图③，扇形的半径为在选点，在边上选点，在边上选点，求的长度的最小值．23．（8分）如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂长可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，.（1）在旋转过程中：①当三点在同一直线上时，求的长；②当三点在同一直角三角形的顶点时，求的长.（2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图2，此时，，求的长.24．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣4，﹣1）．（1）画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AB2C2，画出△AB2C2并求线段AB扫过的面积．26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，动点E、F分别在边AB、AD上，且AF=AE．将△AEF绕点E顺时针旋转10°得到△A'EF'，设AE=x，△A'EF'与矩形ABCD重叠部分面积为S，S的最大值为1．（1）求AD的长；（2）求S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.因此，∵地口袋中共有2+4=6个球，其中黄球3个，∴随机抽取一个球是黄球的概率是.故选B．考点：概率．2、D【分析】分别将A，B两点代入双曲线解析式，表示出和，然后根据列出不等式，求出m的取值范围．【详解】解：将A（-1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线，得，，∵y1＞y2，，解得，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解不等式．反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式．3、D【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图象上一点向x轴，y轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|解答即可．【详解】∵点P在反比例函数（x＜0）的图象上，∴S矩形OAPB=|-4|=4，故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义，掌握反比例函数上一点向x轴，y轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|是关键．4、B【分析】根据中心对称图形的概念，即可求解．【详解】A、是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查中心对称图形的概念掌握它的概念“把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”，是解题的关键.5、D【分析】首先证明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积．【详解】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∵AC＝2AD，∴，∴，∵△ACD的面积为15，∴△ABD的面积＝×15＝5，故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.6、C【分析】易证BE∥PG可得∠FPG=∠PFB，再由折叠的性质得∠FPB=∠FPG，所以∠FPB=∠PFB，根据等边对等角即可判断①；由矩形的性质得∠A=∠D=90°，AB=CD，用SAS即可判定全等，从而判断②；证明△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求出DE，从而判断③；证明△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得到sin∠PCB的值，从而判断④；证明△GEF∽△EAB，利用对应边成比例可得出结论，从而判断⑤.【详解】①∵四边形ABCD为矩形，顶点B的对应点是G，∴∠G=90°，即PG⊥CG，∵BE⊥CG∴BE∥PG∴∠FPG=∠PFB由折叠的性质可得∠FPB=∠FPG，∴∠FPB=∠PFB∴BP=BF，故①正确；②∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC又∵点E是AD的中点，∴AE=DE在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（SAS），故②正确；③当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，即，解得AE=9或16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，故③正确；④在Rt△ABE中，在Rt△CDE中，由①可知BE∥PG，∴△ECF∽△GCP∴设BP=BF=PG=a，则EF=BE-BF=15-a，由折叠性质可得CG=BC=25，∴，解得，在Rt△PBC中，∴sin∠PCB=，故④错误.⑤如图，连接FG，

∵∠GEF=∠PGC=90°，

∴∠GEF+∠PGC=180°，

∴BF∥PG

∵BF=PG，

∴四边形BPGF是菱形，

∴BP∥GF，GF=BP=9

∴∠GFE=∠ABE，

∴△GEF∽△EAB，

∴

∴BE•EF=AB•GF=12×9=108，故⑤正确；①②③⑤正确，故选C.【点睛】本题考查四边形综合问题，难度较大，需要熟练掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理和三角函数，综合运用所学几何知识是关键.7、A【分析】根据垂径定理的推论和勾股定理即可求出BC和AC，然后根据S阴影=S半圆O－S△ABC计算面积即可．【详解】解：∵直径∴OB=OD=，∠ACB=90°∵点平分劣弧，∴BC=2BE，OE⊥BC，OE=OD－DE=4在Rt△OBE中，BE=∴BC=2BE=6根据勾股定理：AC=∴S阴影=S半圆O－S△ABC==故选A．【点睛】此题考查的是求不规则图形的面积，掌握垂径定理与勾股定理的结合和半圆的面积公式、三角形的面积公式是解决此题的关键．8、C【分析】连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP＝∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，代入整理即可得解．【详解】解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′，在△ABP和△CBP′中，∵，∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP＝P′C，∵P′A：P′C＝1：4，∴AP＝4P′A，连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，∴△APP′是直角三角形，设P′A＝x，则AP＝4x，∴PP'＝，∴P'B＝PB＝，∴P′A：P′B＝2：，故选：C．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质以及判定，掌握全等三角形的五种判定方法的解本题的关键.9、C【解析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC=2，然后利用周长公式进行计算即可得答案.【详解】如图连接AC，，，，菱形ABCD的周长，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，熟练掌握的灵活应用相关知识是解题的关键.10、B【分析】根据题意，求出b2﹣4ac与0的大小关系即可判断.【详解】∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×9＝0∴二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴有一个交点．故选：B．【点睛】此题考查的是求二次函数与x轴的交点个数，掌握二次函数与x轴的交点个数和b2﹣4ac的符号关系是解决此题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、四【分析】有二次函数的图象可知：，，进而即可得到答案.【详解】∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴，即：，∴点在第四象限，故答案是：四【点睛】本题主要考查二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与二次函数解析式的系数之间的关系，是解题的关键.12、【解析】试题分析：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，∴DE=．故选B．考点：相似三角形的判定与性质．13、（0,3）【分析】要求抛物线与y轴的交点，即令x=0，解方程即可．【详解】解：令x=0，则y=3，即抛物线y=2x2-5x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．故答案为（0，3）．【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与y轴的交点坐标，令x=0，即可求得交点纵坐标．14、1﹣1【分析】连接OC，作EF⊥OC于F，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC=30°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ECF=15°，根据正切的定义列式计算，得到答案．【详解】连接OC，作EF⊥OC于F，∵点A关于直线CD的对称点为E，点E落在半径OA上，∴CE=CA，∵=，∴∠AOC=∠AOB=30°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，∵CE=CA，∴∠CAE=∠CEA=75°，∴∠ACE=30°，∴∠ECF=∠OCA-∠ACE=75°-30°=15°，设EF=x，则FC=x，在Rt△EOF中，tan∠EOF=，∴OF==，由题意得，OF+FC=OC，即x+x=1，解得，x=2﹣2，∵∠EOF=30°，∴OE=2EF=1﹣1，故答案为：1﹣1．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、解直角三角形的应用、三角形内角和定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．15、【分析】直接利用公式法求解即可，横坐标为：，纵坐标为：.【详解】解：由题目得出：抛物线顶点的横坐标为：；抛物线顶点的纵坐标为：抛物线顶点的坐标为：(-4,-10).故答案为：（-4，-10）.【点睛】本题考查二次函数的知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.16、①②．【解析】解：①如图所示，∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，∴∠BOE=∠COF．在△BOE与△COF中，∵OB=OC，∠BOE=∠COF，OE=OF，∴△BOE≌△COF，∴BE=CF，∴，①正确；②∵OC=OB，∠COH=∠BOG，∠OCH=∠OBG=15°，∴△BOG≌△COH，∴OG=OH．∵∠GOH=90°，∴△OGH是等腰直角三角形，②正确；③如图所示，∵△HOM≌△GON，∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误；④∵△BOG≌△COH，∴BG=CH，∴BG+BH=BC=1．设BG=x，则BH=1﹣x，则GH====，∴其最小值为，∴△GBH周长的最小值=GB+BH+GH=1+，D错误．故答案为①②．17、25【解析】首先求出∠HDB的度数，再利用直角三角形斜边中线定理可得OH=OD，由此可得∠OHD=∠ODH即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,DO=OB,∠DAO=∠BAO=25°，∴∠ABO=90°−∠BAO=65°，∵DH⊥AB，∴∠DHB=90°，∴∠BDH=90°−ABO=25°，在Rt△DHB中，∵OD=OB，∴OH=OD=OB，∴∠DHO=∠HDB=25°，故答案为：25.【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.18、80°50°【分析】直接利用圆周角定理得到∠AOB＝80°，再计算出∠BOC＝50°，从得到弧BC的度数．【详解】解：∵∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝130°﹣80°＝50°，∴弧BC的度数为50°．故答案为80°，50°．【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角定理的内容.三、解答题(共66分)19、薛老师所带班级有56人．【分析】设薛老师所带班级有x人，根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设薛老师所带班级有x人，依题意，得：x（x﹣1）＝1540，整理，得：x2﹣x﹣3080＝0，解得：x1＝56，x2＝﹣55（不合题意，舍去）．答：薛老师所带班级有56人．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20、【解析】x²－4x－7＝0,∵a=1,b=-4,c=-7,∴△=(-4)²-4×1×(-7)=44>0,∴x=,∴.21、（1）；（2）；（3）n＝1【分析】（1）摸到白球的可能为2种，根据求概率公式即可得到答案；（2）利用树状图法，即可得到概率；（3）设放入黑球n个，根据摸到黑球的概率，即可求出n的值.【详解】解：（1）根据题意，恰好摸到白球有2种，∴将“恰好是白球”记为事件A，P(A)＝；（2）由树状图，如下：∴事件总数有12种，恰好抽到2个白球有2种，∴将“2个都是白球”记为事件B，P(B)＝；（3）设放入n个黑球，由题意得：＝，解得：n＝1．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解题的关键是掌握求概率的方法.22、（1）12；（2）；（3）．【分析】（1）如图1中，过点作，交延长线于点，通过构造直角三角形，求出BD利用三角形面积公式求解即可.（2）如图示，作点关于的对称点，交于点，连接，交于点，连接、、，过点作，交延长线于点，确定点P的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ的长度即为答案.（3）解图3所示，在上这一点作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN的长.【详解】（1）如解图1所示，过点作，交延长线于点，，，，交延长线于点，为等腰直角三角形，且，，在中，，，即，，，解得：，，．（2）如解图2所示，作点关于的对称点，交于点，连接，交于点，连接、、，过点作，交延长线于点，关于的对称点，交于点，，，点为上的动点，，当点处于解图2中的位置，取最小值，且最小值为的长度，点为半圆的中点，，，，，，在中，由作图知，，且，，，由作图知，四边形为矩形，，，，的最小值为．（3）如解图3所示，在上这一点作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于点，交于点，，，，，．，，为上的点，为上的点，当点处于解图3的位置时，的长度取最小值，最小值为的长度，，，．扇形的半径为，，在中，，的长度的最小值为．【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.23、（1）①，或；②或；（2）.【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2=AD2-DM2，计算即可，当∠ADM=90°时，根据AM2=AD2+DM2，计算即可．（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2=CD1即可．【详解】（1）①，或.②显然不能为直角，当为直角时，，∴.当为直角时，，∴.（2）连结，由题意得，，∴，，又∵，∴，∴.∵，∴，即.又∵，，∴，∴.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．24、（1）（2）点P的坐标；（3）M【分析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得M在对称轴上，根据两点之间线段最短，可得M点