第13讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（学生版）-2023年新高二暑期数学衔接（新人教版）

第13讲直线与圆、圆与圆的位置关系【学习目标】1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题【基础知识】一、直线与圆的位置关系设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离d= ,由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.位置关系相交相切相离公共点个数2

1

0

几何法

d<r

d=r

d>r

代数法Δ>0

Δ=0

Δ<0

二、圆的切线1.若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线;2.若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点;3.若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.4.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法(1)若点P在圆上,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜率为- ;若斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.(2)若点P在圆外,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即

可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).5.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D·

+E·+F=0.三、圆的弦长的方法1.交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解.2.弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=.(3)几何法:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l=四、利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法1.由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关

知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有:①关于x、y的一次分式形式常转化为直线的斜率;②关于x、y的一次式常转化为直线的截距;③关于x、y的二次式常转化为两点间的距离等.2.转化成函数解析式,利用函数的性质解决.3.利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目标函数,利用三角函数知识求最大(小)值.五、圆与圆的位置关系1.两圆的位置关系外离、外切、相交、内切和内含.2.两圆的位置关系的判定(1)代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断.(2)几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断.位置关系外离外切相交内切内含图示     公共点个数01210位置关系外离外切相交内切内含Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d与的关系

公切线条数4

32

10

3.两圆的公共弦所在直线方程的求法设☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立 ①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③若两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.故当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线的方程.当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程.若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程.【考点剖析】考点一：直线与圆位置关系的判断例1．(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学校高二上学期期中)直线与圆的位置关系是(

)A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定考点二：求圆的切线方程例2．(2022学年新疆石河子第二中学高二上学期月考)在平面直角坐标系xOy中，点，直线，圆C：．(1)求b的取值范围，并求出圆心坐标(2)若圆C的半径为1，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(3)有一动圆M的半径为1，圆心在l上，若动圆M上存在点N，使，求圆心M的横坐标a的取值范围．考点三：与切线长有关的问题例3．(2022学年四川省巴中市南江中学高二上学期12月月考)直线上一点向圆引切线长的最小值为(

)A． B．1 C． D．3考点四：与弦长有关的问题例4．(2022学年辽宁省辽南协作校高二上学期期中)已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为___________.考点五：与圆有关的最值问题例5．过圆内点作圆的两条互相垂直的弦和，则的最大值为__．考点六：两圆位置关系的判断例6．(2022学年湖南省株洲市炎陵县第一中学高二下学期3月月考)圆与圆的位置关系是(

)A．内切 B．相交 C．外切 D．相离考点七：两圆的公切线与公共弦问题例7．(2022学年四川省绵阳市绵阳南山中学高二上学期期中)已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为(

)A．4 B．6 C． D．【真题演练】1.(2020年高考全国卷Ⅰ)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为A．B． C． D．2．(2020年高考全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 A． B． C． D．3．(2018年高考全国卷Ⅲ)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是 ()A． B． C． D．4．(2016高考全国卷Ⅱ)圆的圆心到直线的距离为1，则 ()A． B． C． D．5．(2021年新高考全国卷Ⅰ)已知点在圆上,点,,则A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2 C．当最小时, D．当最大时,6.(2021年新高考全国卷Ⅱ)已知直线与圆,点,则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切7.(2022年新高考全国卷Ⅱ)设点,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则a的取值范围是_____．8.(2022年新高考全国卷Ⅰ)写出与圆和都相切的一条直线的方程_______．【过关检测】1.(2022学年四川省凉山州宁南中学高二下学期月考)已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为(

)A．1 B．2 C．3 D．2.(2022学年安徽省皖南地区高二下学期开学调研)过点作圆的切线，切点为B，则(

)A．2 B． C．3 D．3.(2022学年云南省保山市昌宁县高二下学期期中)若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是(

)A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能4.(2022学年河南省安阳市高二下学期5月月考)已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是(

)A． B．C． D．5.(多选)(2022学年重庆市清华中学高二上学期第二次月考)对于定点和圆：，下列说法正确的是(

)A．点在圆内部B．过点有两条圆的切线C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为D．过点被圆截得的弦长最小值为6.(多选)(2022学年广东省深圳市重点中学高二上学期期末)点P在圆上，点Q在圆上，则(

)A．两个圆心所在的直线斜率为B．两个圆相交弦所在直线的方程为C．两圆公切线有两条D．|PQ|的最小值为07.(2022学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二上学期期末)过点作圆的切线，则切线方程为______.8.(2022学年江苏省南京市江宁区高二下学期期末)若点到直线l的距离分别为1和4，则这样的直线l共有__