2025年普通高等学校对口招生考试数学题型专项练解答题必刷题组（解析版）

2025年普通高等学校对口招生考试数学题型专项练解答题•必刷题组011．已知（其中且）．(1)若，，求实数的取值范围；(2)若，的最大值大于1，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由对数函数的定义域和单调性解不等式即可求解的取值范围；（2）由取值范围求出取值范围，分类讨论参数，由函数的增减性，确定函数最大值，再令解不等式即可.【详解】（1）当时，，即有，所以解得，故实数的取值范围是；（2）因为，则时，．当时，则函数最大值，解得；当时，则函数最大值，解得；综上所述，的取值范围是．2．已知=（1，2），=（-2，4），(1)//（+），求(2)⊥，求与夹角的余弦值【答案】(1)(2)【分析】（1）求出+和的坐标，根据//（+）可得方程，求出m,继而求出，即可求得答案；（2）根据⊥，求得，根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】（1）由=（1，2），=（-2，4），可得+，,故由//（+），可得，解得；故，则；（2）由⊥可得：，则，故，，，，故.3．在中，其顶点坐标为.(1)求直线的方程；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出AB的斜率，再利用点斜式写出方程即可；（2）先求出，再求出C到AB的距离即可得到答案.【详解】（1）由已知，，所以直线的方程为，即.（2），C到直线AB的距离为，所以的面积为.4．如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.(1)求证：BC⊥平面VCD；(2)求证：AD∥MN.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证出VD⊥BC，BC⊥CD，利用线面垂直的判定定理即可得证.（2）利用线面平行的性质定理即可证出.【详解】（1）在四棱锥VABCD中，因为VD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以VD⊥BC.因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.又CD⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，CD∩VD＝D，则BC⊥平面VCD.(2)因为底面ABCD是矩形，所以AD∥BC.又AD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，则AD∥平面VBC.又平面ADNM平面VBC＝MN，AD⊂平面ADNM，则AD∥MN.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的性质定理，属于基础题.5．已知抛物线的焦点与曲线的右焦点重合.（1）求抛物线的标准方程；（2）若抛物线上的点满足，求点的坐标.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）求出双曲线的右焦点坐标，可求出的值，即可得出抛物线的标准方程；（2）设点，由抛物线的定义求出的值，代入抛物线的方程可求得的值，即可得出点的坐标.【详解】（1）由双曲线方程可得，，所以，解得.则曲线的右焦点为，所以，.因此，抛物线的标准方程为；（2）设，由抛物线的定义及已知可得，解得.代入抛物线方程可得，解得，所以点的坐标为或.6．某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5箱为一等品.(1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；(2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）有古典概型概率计算公式以及组合数的计算即可求解.（2）利用超几何分布的知识求得分布列以及期望.【详解】（1）设从这9箱产品中随机抽取的3箱产品中至少有2箱是一等品的事件为，则，因此从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率为.（2）由题意可知的所有可能取值为，由超几何分布概率公式得，，，，所以的分布列为：0123所以.7．已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意，联立方程求出，即可得到双曲线方程；（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.【详解】（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为所以，由可得,解得，，故双曲线的标准方程为（2）设，AB中点的坐标为则①，②，②①得：，即，又，所以，所以直线的方程为，即解答题•必刷题组021．已知函数的图像过点．(1)求实数的值；(2)判断函数的奇偶性并证明．【答案】(1)2(2)奇函数，证明见解析【分析】（1）将点坐标代入解析式求解，（2）由奇函数的定义证明．【详解】（1）解：∵函数的图像过点，∴，∴；（2）证明：∵函数的定义域为，又，∴函数是奇函数．2．已知，，与的夹角为.（1）求；（2）的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算出的值；（2）由题意得出，利用平面向量数量积的定义和运算律可得解.【详解】（1）；（2）.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，同时也考查了利用平面向量数量积计算向量的模，考查计算能力，属于基础题.3．已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比数列基本量的计算，结合等差中项即可求解，（2）根据裂项求和即可求求解.【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列，所以，即：，解得：，故；（2）设，4．如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．

(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）由线面垂直的判定证明；（2）求出直角梯形的面积，以为四棱锥的高求体积.【详解】（1）∵底面，底面，∴．又，，平面，∴平面．（2）由题意易知四边形为直角梯形，∴．∴．5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且轴时，.(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线与抛物线交于两点，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）令，求出，故，得到抛物线方程；（2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出弦长和面积.【详解】（1）令时，，解得，故当轴时，，所以，故抛物线的标准方程为；（2）设，，由（1）可知，由，消去得，则，，所以，又，，所以，故因为点到直线的距离，所以的面积为6．一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，4个白球，1个黑球.(1)若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；(2)若从盒中有放回的取球3次，求取出的3个球中白球个数的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）设事件“第一次取到红球”，事件“第二次取到红球”，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得；（2）依题意服从二项分布，的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）设事件A=“第一次取到红球”，事件B=“第二次取到红球”，由于是不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，所以第一次取球有8种方法，第二次取球是7种方法，一共的基本事件数是56，由于第一次取到红球有3种方法，第二次取球是7种方法，，一次取到红球有3种方法，第二次取到红球有2种方法，，;（2）由题可知白球个数，且有，，故的分布列为：0123所以的数学期望为：.7．已知在中，内角、、的对边分别为、、，，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理计算即可得；（2）由正弦定理计算即可得.【详解】（1），，，由余弦定理可得：，即；（2），，，由正弦定理可得：，故.8．某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐8吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？【答案】甲种2车皮、乙种2车皮【分析】设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元，列出线性约束条件，再利用线性规划求解.【详解】设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元．目标函数为，约束条件为：，可行域如图中阴影部分的整点．直线截距2z最大时，z最大．解方程组得：M点坐标为．∵M不为整数点，结合图像，依次将代入约束条件，得以及为可行域内偏上方的整数点，经比较可得，当过时，截距2z最大，即.所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．解答题•必刷题组031．已知函数．(1)求函数的定义域；(2)若函数的图象过，求的单调区间．【答案】(1)(2)增区间为，减区间为.【分析】（1）根据解析式有意义解不等式可得；（2）根据图象过点求a，然后由复合函数单调性求解即可.【详解】（1）由题可知，即，解得，所以函数的定义域.（2）由函数的图像过，有，解得，令，则，因为为增函数，在上单调递增，在上单调递减，所以，由复合函数单调性可知，函数在的增区间为，减区间为.2．在等差数列中，(1)已知，求与；(2)已知，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解；（2）利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】（1）由题意知，解得.（2）由题意知，即，解得，所以，即.3．袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球.(1)求得分的分布列及均值；(2)求得分大于6的概率.【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望的公式即可求解，（2）根据分布列即可求解概率.【详解】（1）由题意可知，随机变量的取值为,所取小球为1白3黑时，所取小球为2白2黑时，所取小球为3白1黑时，所取小球为4白时，所以，随机变量的分布列为5678随机变量的均值为：（2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为4．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为2，最小值为-2【分析】（1）结合公式计算直接得出结果；（2）由题意求得，根据余弦函数的单调性即可求解.【详解】（1）由，知函数的最小正周期为；（2）由，得，令，则，函数在上单调递减，所以，所以，即函数在上的最大值为2，最小值为-2.5．已知圆的圆心在直线上，且过点(1)求圆的方程；(2)已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由点在直线上，可设出圆心坐标，利用圆上两点列出方程，求出圆心坐标即得方程；（2）首先结合图形判断点在圆上，设出直线，利用垂径定理将弦长问题转化为圆心到直线的距离问题求得，即得直线方程.【详解】（1）设圆心坐标为，因圆过点,故有,即：，解得：，则,圆的半径为，故圆的方程为：.（2）如图，直线经过的点恰好在圆上，因直线被圆截得的弦长为2，故其斜率一定存在，设直线为，即，过点作,垂足为，则,又,故得：,即点到直线的距离为，解得：或，即直线的方程为：或.6．如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.

(1)证明：平面；(2)若平面，证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，设与交于点，连接，由线面平行的判定定理即可证明；（2）由线面垂直的性质定理及判定定理即可得证.【详解】（1）设与交于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面.

（2）因为底面是正方形，所以，

又因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以.7．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4.(1)求的方程；(2)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，求弦长|AB|.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出焦点坐标，设点的坐标，从而根据直线的斜率和三角形面积得到方程组，求出答案；（2）求出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，根据弦长公式求出答案.【详解】（1）由题意知，设点的坐标为，则直线的斜率为．因为直线的斜率为，所以，即，所以的面积，

解得或（舍去），故抛物线的方程为．（2）设点，，其中．

则直线的方程为，由，消去整理得，显然，，故弦长.解答题•必刷题组041.设函数（且），满足.(1)求的值；(2)若，求使不等式对任意实数恒成立的的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求得.（2）根据函数的奇偶性、单调性、一元二次不等式恒成立等知识求得的取值范围.【详解】（1）∵，∴，∴.（2）由（1）得：（且），的定义域为，，∴是奇函数．∵，∴，∴∴在上是减函数．不等式等价于．∴，即恒成立．∴，解得.2．已知，.(1)求，的值；(2)求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据判断三角函数值的正负，结合同角三角函数关系即可求解；（2）根据二倍角正弦公式直接计算求解即可.【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，所以.（2）因为，，所以3．一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分.(1)若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分的概率分布列.【答案】(1)(2)分布列见解析【分析】（1）根据题意，求得取出的球中有1个红球和2个黑球的情况的概率，即可求解；（2）根据题意得到随机变量的可能取值为3，4，5，6，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列.【详解】（1）解：设“一次取出3个球得4分”的事件记为，则事件表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则.（2）解：由题意，随机变量的可能取值为3，4，5，6，因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为，取到黑球的概率为，可得，，，，所以随机变量的分布列为：34564．记是等差数列的前项和，若.(1)求数列的通项公式；(2)求使成立的的最小值.【答案】(1)(2)7【分析】（1）根据等差数列的前项和的定义列出方程求得公差，即得通项公式；（2）将的解析式代入，解一个一元二次不等式，再按要求取值即得.【详解】（1）设等差数列的公差为，因，则有：，解得：，故数列的通项公式为：.（2）由数列的前通项公式可得：，由可得，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为7.5．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC与BD交于点O，连接OE，则，结合线面平行的判定定理即可证明.【详解】（1）因为平面，平面，所以，又平面为菱形，所以，又平面，所以平面；（2）E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE，则，又平面，平面，所以平面.6．曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等.(1)求出曲线的标准方程；(2)若直线与曲线交于两点，求弦的长